校本课程数学速算Word文件下载.docx

校本课程数学速算Word文件下载.docx

《校本课程数学速算Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《校本课程数学速算Word文件下载.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

3+1=4

4×

4=16

7×

4=28

44=1628

４.几十一乘几十一：

头乘头，头加头，尾乘尾。

21×

41=？

2×

4=8

2+4=6

1×

41=861 

５.11乘任意数：

首尾不动下落，中间之和下拉。

11×

23125=？

2+3=5

1+2=3

2+5=7

2和5分别在首尾

23125=254375

和满十要进一。

６.十几乘任意数：

第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。

13×

326=？

13个位是3

3×

3+2=11

2+6=12

6=18

326=4238

第二讲常用巧算速算中的思维与方法

（1）

【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。

例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为

1+2+……+99+100

所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100

=101×

100÷

2

=5050

“3+5+7+………＋97+99=？

3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×

49÷

2=2499。

这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。

张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：

“今有女子不善织，日减功，迟。

初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。

问织几何？

”

题目的意思是：

有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。

她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。

问她一共织了多少布？

张丘建在《算经》上给出的解法是：

“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。

”“答曰：

二匹一丈”。

这一解法，用现代的算式表达，就是

1匹=4丈，1丈=10尺，

90尺=9丈=2匹1丈。

张丘建这一解法的思路，据推测为：

如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是：

5＋…………＋1

在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。

若把这个式子反过来，则算式便是：

1+………………＋5

此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。

同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。

假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”

这一特点，那么，就会出现下面的式子：

所以，加得的结果是6×

30=180（尺）

但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。

所以，这妇女30天织的布是

180÷

2=90（尺）

可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。

第三讲常用巧算速算中的思维与方法

（2）

方法一：

分组计算

一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。

例如：

求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。

这道题是求“10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。

什么是“数字之和”？

例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是

1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。

显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。

怎么办呢？

我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。

然后，将它们分组：

0和999，999，999；

1和999，999，998；

2和999，999，997；

3和999，999，996；

4和999，999，995；

5和999，999，994；

………………

依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000以外，其他的自然数与添上的0共10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81，如

0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81

1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81

………………

最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1。

所以，此题的计算结果是

（81×

500，000，000）＋1

=40，500，000，000＋1

=40，500，000，001

方法二：

由小推大

计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。

（1）计算下面方阵中所有的数的和。

这是个“100×

100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。

不妨先化大为小，再由小推大。

先观察“5×

5”的方阵，如下图（图4.1）所示。

容易看到，对角线上五个“5”之和为25。

这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。

所以，“5×

5”方阵的所有数之和为25×

5=125，即53=125。

于是，很容易推出大的数阵“100×

100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。

（2）把自然数中的偶数，像图4.3那样排成五列。

最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。

那么2002出现在哪一列：

因为从2到2002，共有偶数2002÷

2=1001（个）。

从前到后，是每8个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。

所以，由1001÷

8=125…………1，可知这1001个偶数可以分为125组，还余1个。

故2002应排在第二列。

方法三：

凑整巧算

用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。

例如

（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）=111

（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）

=10＋100＋1000

=1110

（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125

=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5

=125×

8-5

=1000-5

=995

第四讲常用巧算速算中的思维与方法（3）

巧妙试商

除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。

（1）用“商五法”试商。

当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。

如70÷

14=5，125÷

25=5。

当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。

“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“5”。

例如1248÷

24=52，2385÷

45=53

（2）同头无除商八、九。

“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。

“无除”仍指被除数前两位不够除。

这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8或商9。

5742÷

58=99，4176÷

48=87。

（3）用“商九法”试商。

当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”。

一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n时，n除m的商才是9。

同样地，10n≤m＋n＜11n。

这就是我们上述做法的根据。

例如4508÷

49=92，6480÷

72=90。

（4）用差数试商。

当除数是11、12、13…………18和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。

若差数是1或2，则初商为9；

差数是3或4，则初商为8；

差数是5或6，则初商为7；

差数是7或8，则初商是6；

差数是9时，则初商为5。

若不准确，只要调小1就行了。

1476÷

18=82（18与14差4，初商为8，经试除，商8正确）；

1278÷

17=75（17与12的差为5，初商为7，经试除，商7正确）。

为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：

差一差二商个九，差三差四八当头；

差五差六初商七，差七差八先商六；

差数是九五上阵，试商快速无忧愁。

恒等变形

恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。

它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。

（1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）

=1800＋100

=1900

（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）

=359.8-10

=349.8

第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）

拆数加减

在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。

（1）拆成两个分数相减。

又如

（2）拆成两个分数相加。

同分子分数加减

同分子分数的加减法，有以下的计算规律：

分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。

分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。

（注意：

分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。

）

由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，

根据这一关系，我们也可以简化运算过程。

先借后还

“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。

做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。

现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。

第六讲常用巧算速算中的思维与方法（5）

个数折半

下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。

（1）分母相同的所有真分数相加。

求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2，就能得出结果。

这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2，就能得出结果。

（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。

比方

（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折

半法”求得数。

带分数减法

带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。

（1）减数凑整。

（2）交换位置。

在这两种方法中，第

（1）种“凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去。

第七讲常用巧算速算中的思维与方法（6）

带分数乘法

有些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。

（1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是1，则乘积也是个带分数，它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数，分数部分是两个因数的分数部分的乘积。

（2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数，它用较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。

（注：

这是根据“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出来的。

（3）相乘的两个带分数，整数部分都是1，分子也都是1，分母相差1，则乘积也是个带分数。

这个带分数的整数部分是1，分子是2，分母与较大因数的分母相同。

读者自己去试一试，此处略）。

两分数相除

有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：

（1）分子、分母分别相除。

在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：

用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。

不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。

（2）分母相除，一次得商。

在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整数与分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。

用除法法则可以推出这种方法，此处略。

第八讲小数的速算与巧算

【知识精要】

凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。

用的时候主要看末位。

但是小数计算中“小数点”一定要对齐。

【例题精讲】

<

一>

凑整法

例1、计算5.6+2.38+4.4+0.62。

【分析】5.6与4.4刚好凑成10，2.38与0.62刚好凑成3，这样先凑整运算起来会更加简便。

【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）

=10+3

=13

【评注】凑整，特别是“凑十”、“凑百”等，是加减法速算的重要方法。

例2、计算：

1.999+19.99+199.9+1999。

【分析】因为小数计算起来容易出错。

刚好1999接近整千数2000，其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。

再把多加的那部分减去。

【解答】1.999+19.99+199.9+1999

=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1

=2222-1.111

=2220.889

【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以引申为读整法，譬如此题。

“1.999”刚好与“2”相差0.001，因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。

但是，一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。

“多减的”要“加上”！

第九讲乘法速算1

　　一．前数相同的：

　　1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=（10+B+D）×

10+A×

B

　　方法：

百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。

　　例：

17

　　13+7=2--（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）

　　3×

7=21

　　-----------------------

　　221

　　即13×

17=221

　　1.2.十位是1,个位不互补,即A=C=1,B+D≠10,S=（10+B+D）×

乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

15×

　　15+7=22-（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）

　　5×

7=35

　　255

　　即15×

17=255

　　1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×

（A+1）×

　　方法:

十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积

56×

54

　　（5+1）×

5=30--

　　6×

4=24

　　----------------------

　　3024

　　1.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×

先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然

67×

64

　　（6+1）×

6=42

　　7×

　　7+4=11

　　11-10=1

　　4228+60=4288

　　4288

　　方法2：

两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

6=36--

　　（4+7）×

6=66-

　　4×

7=28

第十讲乘法速算2

　二、后数相同的：

　　2.1.个位是1，十位互补即B=D=1,A+C=10S=10A×

10C+101

十位与十位相乘，得数为前积，加上101.。

　　--8×

2=16--

　　101

　　1701

　　2.2.<

不是很简便>

个位是1，十位不互补即B=D=1,A+C≠10S=10A×

10C+10C+10A+1

十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.。

71×

91

　　70×

90=63--

　　70+90=16-

　　1

　　6461

　　2.3个位是5，十位互补即B=D=5,A+C=10S=10A×

10C+25

十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25。

35×

75

7+5=26--

　　25

　　2625

　　2.4<

个位是5，十位不互补即B=D=5,A+C≠10S=10A×

10C+525

两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

　　例:

75×

95

　　7×

9=63--

　　（7+9）×

5=80-

　　----------------------------

　　7125

　　2.5.个位相同，十位互补即B=D,A+C=10S=10A×

10C+B100+B2

十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方。

86×

26

　　8×

2+6=22--

　　36

　　2236

　　2.6.个位相同，十位非互补

十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然

73×

43

4+3=31

　　9

　　3109+30=3139

　　3139

第十一讲乘法速算3

2.7.个位相同，十位非互补速算法2

头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10

　　2809+（7+4）×

10=2809+11×

30=2809+330=3139

　　三、特殊类型的：

　　3.1、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘。

互补的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

66×

37

　　（3+1）×

6=24--

7=42

　　2442

第十二讲乘法速算4

3.2、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。

杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然

38×

44

　　（3+1）×

　　8*4=32

　　1632

　　3+8=11

　　1632+40=1672

　　1672

第十三讲乘法速算5

3.3、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘。

乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然

46×

75

　　（4+1）*7=35

　　6*5=30

　　5-7=-2

　　2*4=8

　　3530-80=3450

　　3450

　　3.4、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。

凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。

56×

36

　　10-6=4，3+1=4，36÷

9也等于4

　　5*（10-6）=20

　　4*（10-6）=16

　　“注：

（10-6）也可以写作（3+1）和（36÷

9）”

　　---------------

　　2016

　　3.5、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。

确定乘数与被乘数，反之亦然。

被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。

再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然

74×

56

　　（7+1）*5=40

　　4*6=24

　　7-5=2

　　2*6=12

　　12*10=120

　　4024+120=4144

　　4144

第十四讲乘法速算6

　3.6、两因数首尾差一，尾数互补的算法

不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积

24×

　　3>

　　3*3-1=8

　　6^2=36

　　100-36=64