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这意思就是,第一次余数乘以70,第二次余数乘以21,第三次余数乘以15,把这三次运算的结果加起来,再除以105,所得的除不尽的余数便是所求之数(即总数)。
例如,如果3个3个地报数余1;
5个5个地报数余2,7个7个地报数余3,则总数为52。
算式如下:
1×
70+2×
21+3×
15=157
157÷
105=1……52
下边给同学们出一道题,请用“韩信点兵法”算一算。
小红暑假期间帮着张二婶放鸭子,她总也数不清一共有多少只鸭子。
她先是3只3只地数,结果剩3只;
她又5只5只地数,结果剩4只;
她又7个7个地数了一遍,结果剩6只。
她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。
?
2、爱因斯坦的数学游戏
大科学家爱因斯坦小时候就特别聪明,有一次同学们在一起玩,他说:
“我们做一个数学游戏怎么样?
”同学们说:
“怎么做法呢?
爱因斯坦说:
“你们随便想一个数,然后做一些运算,我就能知道你们一开始想的那个数是多少?
”汤姆说:
“我不信,但是我可以试一试。
”爱因斯坦说:
“那么好吧,现在开始。
你心里随便想一个数吧。
”“我想好了。
”汤姆说。
“在这个数上加上18。
”“再加上136。
”“减去27。
”“减去你所想的数。
”汤姆按照爱因斯坦的要求做了运算。
他还没有说出答案,爱因斯坦就说:
“最后得数是254。
”汤姆惊呆了,爱因斯坦说的一点也不错,可是他是怎么算出来的呢?
第3讲速算与巧算
(一)
专题简析:
速算与巧算是计算中的一个重要组成部分,掌握一些速算与巧算的方法,有助于提高我们的计算能力和思维能力。
这一周我们学习加、减法的巧算方法,这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质,通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里,蕴含着一种重要的解决问题的策略。
转化问题法即把所给的算式,根据运算定律和运算性质,或改变它的运算顺序,或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
例1:
计算9+99+999+9999
分析与解答:
这四个加数分别接近10、100、1000、10000。
在计算这类题目时,常使用减整法,例如将99转化为100-1。
这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)
=10+100+1000+10000-4
=11106
人生应该像线段,有始有终;
不应象射线,有始无终。
练习一
1,计算99999+9999+999+99+9
2,计算9+98+996+9997
3,计算1999+2998+396+497
4,计算198+297+396+495
5,计算1998+2997+4995+5994
6,计算19998+39996+49995+69996
例2:
计算489+487+483+485+484+486+488
认真观察每个加数,发现它们都和整数490接近,所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490×
7-1-3-7-5-6-4-2
=3430-28
=3402
想一想:
如果选480为基准数,可以怎样计算?
练习二
1,50+52+53+54+51
2,262+266+270+268+264
3,89+94+92+95+93+94+88+96+87
4,381+378+382+383+379
5,1032+1028+1033+1029+1031+1030
6,2451+2452+2446+2453
例3:
计算下面各题。
(1)632-156-232
(2)128+186+72-86
历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。
——培根
在一个没有括号的算式中,如果只有第一级运算,计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。
=632-232-156
=400-156
=244
=128+72+186-86
=(128+72)+(186-86)
=200+100
最聪明的人是最不愿浪费时间的人。
—但丁
=300
练习三
计算下面各题
1,1208-569-208
2,283+69-183
3,132-85+68
4,2318+625-1318+375
例4:
1.248+(152-127)
2.324-(124-97)
3.283+(358-183)
减法
数学课上,数学教师对一位学生说:
“你怎么连减法都不会?
例如,你家里有十个苹果,被你吃了四个,结果是多少呢?
”
这个学生沮丧地说道:
“结果是挨了十下屁股!
在计算有括号的加减混合运算时,有时为了使计算简便可以去括号,如果括号前面是“+”号,去括号时,括号内的符号不变;
如果括号前面是“-”号,去括号时,括号内的加号就要变成减号,减号就要变成加号。
我们可以把上面的计算方法概括为:
括号前面是加号,去掉括号不变号;
括号前面是减号,去掉括号要变号。
1.248+(152-127)324-(124-97)
=248+152-127=324-124+97
=400-127=200+97
把语言化为行动,比把行动化为语言困难得多。
——高尔基
=273=297
283+(358-183)
=283+358-183
=283-183+358
=100+358
=458
练习四
1,348+(252-166)
2,629+(320-129)
3.462-(262-129)
4.662-(315-238)
5,5623-(623-289)+452-(352-211)
6,736+678+2386-(336+278)-186
合理安排时间,就等于节约时间。
——培根
例5:
(1)286+879-679
(2)812-593+193
在计算没有括号的加减法混合运算式题时,有时可以根据题目的特点,采用添括号的方法使计算简便,与前面去括号的方法类似,我们可以把这种方法概括为:
括号前面是加号,添上括号不变号;
括号前面是减号,添上括号要变号。
(1)286+879-679
(2)812-593+193
=286+(879-679)=812-(593-193)
=286+200=812-400
学习数学的惟一方法是做数学
——哈尔莫斯
=868=412
练习五
1,368+1859-859
2,582+393-293
3,632-385+285
4,2756-2748+1748+244
5,612-375+275+(388+286)
6,756+1478+346-(256+278)-246
第4讲巧妙求和
知识要点与基本方法:
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式:
“通项公式”和“项数公式”。
通项公式:
第n项=首项+(项数-1)×
公差
项数公式:
项数=(末项-首项)÷
公差+1
趣味数学:
1、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称五斤以上,问他该如何称量。
答:
先称3只,再拿下一只,称量后算差。
例题精讲
有一个数列:
4,10,16,22,…,52,这个数列共有多少项?
容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52,要求项数,可直接带入项数公式进行计算。
项数=(52-4)÷
6+1=9,即这个数列共有9项。
1,等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项?
2,有一个等差数列:
2,5,8,11,…,101,这个等差数列共有多少项?
3,已知等差数列11,16,21,26,…,1001,这个等差数列共有多少项?
有一等差数列:
3,7,11,15,……,这个等差数列的第100项是多少?
这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是100。
要求第100项,可根据“末项=首项+公差×
(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×
(100-1)=399
1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少?
2,求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。
3,求等差数列2,6,10,14……的第100项。
有这样一个数列:
1,2,3,4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
如果我们把1,2,3,4,…,99,100与列100,99,…,3,2,1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×
100÷
2=5050
上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:
等差数列总和=(首项+末项)×
项数÷
2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习三
(1)1+2+3+…+49+50
(2)6+7+8+…+74+75
(3)100+99+98+…+61+60
求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。
要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:
项数=(末项-首项)÷
公差+1
=(50-2)÷
2+1=25
首项=2,末项=50,项数=25
等差数列的和=(2+50)×
25÷
2=650
练习四
(1)2+6+10+14+18+22
(2)5+10+15+20+…+195+200
(3)9+18+27+36+…+261+270
计算
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。
进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。
因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
=(2-1)+(4-3)+…+(100-99)
=1+1+1+…+1
=50
练习五
用简便方法计算下面各题。
(1)(2001+1999+1997)-(2000+1998+1996)
(2)(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)
(3)(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
一道好题的价值之一在于它能产生其他
一些好题。
——波利亚
第5讲数数图形
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:
1,弄清被数图形的特征和变化规律。
2,要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。
数出下面图中有多少条线段。
要正确解答这类问题,需要我们按照一定的顺序来数,做到不重复,不遗漏。
从图中可以看出,从A点出发的不同线段有3条:
AB、AC、AD;
从B点出发的不同线段有2条:
BC、BD;
从C点出发的不同线段有1条:
CD。
因此,图中共有3+2+1=6条线段。
练习一:
数出下列图中有多少条线段。
(1)
(2)
(3)
数一数下图中有多少个锐角。
数角的方法和数线段的方法类似,图中的五条射线相当于线段上的五个点,因此,要求图中有多少个锐角,可根据公式1+2+3……(总射线数-1)求得:
1+2+3+4=10(个)
练习二:
下列各图中各有多少个锐角?
数一数下图中共有多少个三角形。
图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形,也就是说,AD边上有几条线段,就构成了几个三角形,因为AD上有4个点,共有1+2+3=6条线段,所以图中有6个三角形。
练习三:
数一数下面图中各有多少个三角形。
与前一个例子相比,图中多了一条线段EF,因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。
显然,以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个,所以图中共有6×
2=12个三角形。
练习四
数一数下面各图中各有多少个三角形。
数一数下图中有多少个长方形。
数长方形与数线段的方法类似。
可以这样思考,图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段,AB边上的线段条数是1+2+3=6条,所以图中有6个长方形。
练习五
数一数下面各图中分别有多少个长方形。
()()()
逻辑学的用处:
有个学生请教数学家逻辑学有什么用。
数学家问他:
“两个人从烟囱里爬出去,一个满脸烟灰,一个干干净净,你认为哪一个该去洗澡?
“当然是脏的那个。
”学生说。
“不对。
脏的那个看见对方干干净净,以为自己也不会脏,哪里会去洗澡?
第6讲找规律
(一)
专题简介:
观察是解决问题的根据。
通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律:
1.根据每组相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数;
2.根据相隔的每两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数;
3.要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律;
4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的。
某人先向正北走32km,再向正南走36km,问以下哪些可能是正确的
①他离出发点4km②他离出发点大于48km③他离出发点68km④他离出发点小于4km⑤他离出发点大于4km小于68km
1,3,5
先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。
1,4,7,10,(),16,19
分析:
在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律,括号里应填的数为:
10+3=13或16-3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)2,6,10,14,(),22,26
(2)3,6,9,12,(),18,21
(3)33,28,23,(),13,(),3
(4)55,49,43,(),31,(),19
(5)3,6,12,(),48,(),192
(6)2,6,18,(),162,()
(7)128,64,32,(),8,(),2
(8)19,3,17,3,15,3,(),(),11,3
先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。
1,2,4,7,(),16,22
在这列数中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3。
由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:
7+4=11。
经验证,所填的数是正确的。
应填的数为:
7+4=11或16-5=11
(1)10,11,13,16,20,(),31
(2)1,4,9,16,25,(),49,64
(3)3,2,5,2,7,2,(),(),11,2
(4)53,44,36,29,(),18,(),11,9,8
(5)81,64,49,36,(),16,(),4,1,0
(6)28,1,26,1,24,1,(),(),20,1
(7)30,2,26,2,22,2,(),(),14,2
(8)1,6,4,8,7,10,(),(),13,14
先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
23,4,20,6,17,8,(),(),11,12
在这列数中,第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数,第四个数加上2的和是第六个数……依此规律,8后面的一个数为:
17-3=14,11前面的数为:
8+2=10
练习三
(1)1,6,5,10,9,14,13,(),()
(2)13,2,15,4,17,6,(),()
(3)3,29,4,28,6,26,9,23,(),(),18,14
(4)21,2,19,5,17,8,(),()
(5)32,20,29,18,26,16,(),(),20,12
(6)2,9,6,10,18,11,54,(),(),13,486
(7)1,5,2,8,4,11,8,14,(),()
(8)320,1,160,3,80,9,40,27,(),()
在数列1,1,2,3,5,8,13,(),34,55……中,括号里应填什么数?
经仔细观察、分析,不难发现:
从第三个数开始,每一个数都等于它前面两个数的和。
8+13=21或34-13=21
上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列,也叫做“兔子数列”。
(1)2,2,4,6,10,16,(),()
(2)34,21,13,8,5,(),2,()
(3)0,1,3,8,21,(),144
(4)3,7,15,31,63,(),()
(5)33,17,9,5,3,()
(6)0,1,4,15,56,()
(7)1,3,6,8,16,18,(),(),76,78
(8)0,1,2,4,7,12,20,()
下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的,在□里填上适当的数。
(8,4)(5,7)(10,2)(□,9)
每个括号里的两个数相加的和都是12。
根据这一规律,□里所填的数应为:
12-9=3
练习五:
下面括号里的两个数是按一定的规律组合的,在□里填上适当的数。
(1)(6,9)(7,8)(10,5)(□,)
(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)
(3)(18,17)(14,10)(10,1)(□,5)
(4)(2,3)(5,9)(7,13)(9,□)
(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)
(6)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)
(7)(100,50)(86,43)
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