春季学期新版新人教版九年级数学下学期第29章投影与视图单元复习教案6文档格式.docx
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图形的平移、轴对称、旋转都可以利用图形全等解决问题,图形的位似、解直角三角形、相似以及我们今天学习的投影都可以利用相似的性质进行解决问题。
投影对于我们并不陌生,生活中常常会遇到投影的现象,如我们看电影时,就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子,幕布所在的平面即为投影
面.首先用光线照射物体,在某个平面上得到的影子就是物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.
三、知识讲解:
考点1投影
投影:
一般地,用光线照射物体,在某个平面上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.例如:
我们看电影时,就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子,幕布所在的平面即为投影面.
知识拓展:
(1)光线移动时,物体的影子的大小,方向也随着变化,物体的形状与影子的形状有密切的联系.
(2)光是沿直线传播的,因此我们可以投影与物体确定光线方向.
考点2
:
投影的种类
投影有两类:
一类是平行投影,一类是中心投影.
平行投影:
由平行光线形成的投影是平行投影
登高的物体垂直于地面放置时,在太阳光下,它们的影子一样长,等长的物体平行于地面放置时,在太阳光下,它们的影子一样长,且影子的长度等于物体本身的长度.
平行投影头两类:
正投影和非正投影.
中心投影:
由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影,这个点就是中心,相当于物理中的点光源.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒,路灯,台灯,投影仪的灯光,放映机的灯光等.
我们会得到两个结论:
等高的物体垂直于地面放置时,如图:
在灯光下,离点光源近的物体的影子短,离点光源远的物体的影子长,
等
场的物体平行于地面放置时,一般情况下,离点光源近,影子越长;
离点光源越远,影子越短,但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下,还有一个重要的结论,点光源,物体边缘上的点以及它在影子的对应点在同一条
直线上,根据其中两个点的位置,就可以确定第三个点的位置.
1、平行投影的应用:
(1)根据阳光下物体影子的大小,位置的变化判断时刻的不同;
(2)已知一个物体及其在阳光下的影子,可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子;
(3)根据物体高与影长的关系可以求出物高或影长.
2、中心投影的应用:
(1)根据点光源下两种或两种以上物体影子的情况判断点光源的位置;
(2)已知点光源的位置,可以画物体在点光源下的影子.
考点3正投影及其性质
正投影:
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
1、当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状,大小完全相同.
2、只有在平行投影中,才会出现正投影,正投影是光线与投影面的关系,与物体的放置无关.
人们在实际作图中,经常采用正投影.正投影有如下性质:
如图:
是不同位置放置时,直木棒AB在平面P上的正投影.
①当木棒AB平行于投影面P时,它的正投影是线段
,木棒与他的投影的大小关系为AB=
.
②当木棒AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段
木棒与他的投影的大小关系为AB>
③当木棒AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点
所示的是不同位置放置时,长方形硬纸板ABCD在平面上的正投影.
①当纸板ABCD平行于投影面时,ABCD的正投影与ABCD的形状,大小一样;
②当纸板ABCD倾斜于投影面时,ABCD的正投影与ABCD的大小,不一样;
③当纸板ABCD垂直于投影面时,ABCD的正投影为一条线段.
考点4三视图
当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个视图,单一的视图通常只能反映无图的一个方面的形状,为了全面的反映物体的形状,生产实际中,往往采用多个视图来反映物体不同方面的形状.
我们用三个互相垂直的平面作为投影面,其中正对我们的叫做正面,下方的平面叫做水平面,右边的平面叫做侧面
一个物体在三个投影面内进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图;
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫作俯视图.在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图.如图:
右边的三个视图是左边几何体的三视图.
(1)三个视图分别从不同方向表示物体的形状,单独一个视图难以全面的反应物体的
形状,三者结合起来才能较全面地反映物体的形状.
(2)对于同一个物体,观察的角度不同,所得到的视图可能不同.
(3)在生产实际中常用三视图描述物体的形状.
考点5:
三视图的画法
三视图中,主视图与俯视图表示同一物体的长,主视图与左视图表示同一物体的高,左视图与俯视图表示同一物体的宽,因此三个视图的大小是互相联系的.
将三个投影面展开在一个平面内,得到这一物体的三视图,三视图中的各视图分别从不同方向表示物体,三者合起来就能较全面地反映物体的形状,如图:
画图时规定:
看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线化成虚线.
知识拓展:
俯视图在主视图的下方,左视图在主视图的右边,画三视图时,三个视图要放在正确的位置,不能随意乱放,三视图之间要保证长对正,高平齐,宽相等,这三个关系是看图与画图的基本规律.一般情况下,一个视图不能确定物体的空间形状,看图时必须将各视图对照起来看,这样才能看清楚物体的全貌.
考点6由三视图想象
出立体图(实物)
由三视图想象立体图时,要先分别根据主视图,俯视图和左视图想象立体图形的前面,上面和左侧面,然后再综合起来考虑整体图形.
知识拓展
(1)由一个视图不能确定物体的空间形状,根据三视图描述几何体或实物原型时,必须将各视图对照起来看,
(2)一个摆好的几何体的视图是唯一的,但从视图反过来考虑几何体时,它有多种可能性.例如正放正方形的主视图是正方形,但主视图是正方形的几何体直三棱柱的,长方体,圆柱等.
(3)三视图是平面图形,它是平行光线从不同方向照物体所
得的投影,并且平行光线和投影面是垂直的
考点7:
根据视图制作立体图形模型
制作立体图形模型的一般步骤:
以硬纸板为主要材料,做已知的两组视图所标示的立体模型;
按照所给的两组视图,用马铃薯(或萝卜)做出相应的实物模型;
研究由
(1)中的立体模型是如何得到
(2)中的实物模型的;
体会长对正,高平齐,宽相等.
四、例题精析
【例题1】
【题干】1.下
面四个几何体中,从上往下看,其正投影不是圆的几何体是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】正投影是投影线垂直于投影面产生的投影,
A中正方体的正投影为正方形,
B中圆柱的正投影为圆,
C中圆锥的正投影是圆(含圆心),
D中球的正投影是圆,故选A.
【例题2】
【题干】如图是一木杆在一天中不同时刻阳光下的影子,按时间顺序排列正确的是()
A.①③②④
B.④①③②
C.④②①③
D.②③①④
【答案】D
【解析】根据平行投影的特点和规律可知,图①中影子斜向东北,是下午;
图②中影子指向正西,是早晨;
图③中影子指向西北,是上午;
图④中影子指向正东,是傍晚.故按时间顺序排列为②③①④.
故选D.
【例题3】
【题干】由6个大小相同
的正方体搭成的几何体如图所示,关于它的视图,说法正确的是()
A.主视图的面积最大
B.左视图的面积最大
C.俯视图的面积最大
D.三个视图的面积一样大
【答案】C.
【解析】试题分析:
此题主要考查了组合体的三视图,关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数,再根据所看到的小正方形的个数可得答案.
解:
主视图有4个小正方形,左视图有4个小正方形,俯视图有5个小正方形,因此俯视图的面积最大,
故选:
C.
【例题4】
【题干】如图是某几何体的三视图,则该几何体的全面积是().
A.36πB.60πC.96πD.120π
此几何体为圆锥,底面直径为12,高为8,那么半径为6,母线长为10,
∴圆锥的全面积=π×
62+π×
6×
10=96π.
【例题5】
【题干】下列投影图不正确的是()
【答案】B
【解析】太阳光线是平行光线,不可能相交,所以选项B是不正确的.
【例题6】
【题干】学校里旗杆的影子整个白天的变化情况是()
A.不变B.先变短后变长C.一直在变短D.一直在变长
【解析】早晨和晚上太阳高度角较小,影长较长;
中午太阳高度角较大,影长较短.
由图可知,旗杆为AE,影长从AC变为AB,变为AD,
过程为先变短,后变长.
故选B.
【题干】下图中两幅图所示的是两根标杆在同一时刻的投影,请在图中画出形成投影的光线,判断它们是平行投影还是中心投影,并说明理由.
【答案】图①是平行投影,因为它们的投影线是平行的;
图②是中心投影,因为它们的投影线是相交的。
【解析】先画出投影线,若投影线平行,则是平行投影,若投影线不平行,则是中心投影.如图所示:
图①是平行投影,因为它们的投影线是平行的.
图②是中心投影,因为它们的投影线是相交的.
【例题7】
【题干】如已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是()
【答案】D.
由左视图、俯视图看到的都是矩形,可以判定上下两个都是柱体,
由主视图看到的是三角形与矩形,所以上面是三棱柱,下面是长方体.
【例题8】
【题干】如图,路灯(P点)距地面4.8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)6米的A点,沿OA所在的直线行走4米到B点时,身影的长度变短了多少米?
【答案】2米
【解析】∵∠MAC=∠MOP=90°
,∠
AMC=∠OMP,
∴△MAC∽△MOP,
∴
,
即
,解得MA=3.
同理,由△NBD∽△NOP可求得NB=1.
所以,小明的身影变短了2米.
【例题9】
【题干】图①②是晓东同学在进行“居民楼高度、楼间距对住户采光影响问题”的研究时画的两个示意图.请你阅读相关文字,解答下面的问题.
(1)图①是太阳光线与地面所成角度的示意图.冬至的正午时刻,太阳光线直射在南回归线(南纬23.5°
)B地上,在地处北纬36.5°
的A地,太阳光线与地面水平线l所成的角为α,试借助图①求α的度数.
(2)图②是乙楼高度、楼间距对甲楼采光影响的示意图.甲楼地处A地,其二层住户南面窗户的下端距地面3.4m,现要在甲楼正南面建一幢高度为22.3m的乙楼,为不影响甲楼二层住户(一层为车库)的采光,两楼之间的距离至少应为多少米?
(精确到1m)
【答案】
(1)α=30°
(2)33米
【解析】
(1)因为太阳光线是平行的,
所以α+90°
+36.5°
+23.5°
=180°
解得α=30°
.
(2)如图,过点D作DE⊥CF于点E.
在Rt△CDE中,CE=22.3-3.4=18.9(m).
因为∠CDE=30°
所以
(m).
答:
两楼之间的距离至少应为33m.
【例题10】
【题干】某一空间图形的三视图如右图所示,其中主视图:
半径为1的半圆以及高为1的矩形;
左视图:
半径为1的圆以及高为1的矩形;
俯视图:
半径为1的圆求此图形的体积
【答案】此图形的体积为
根据题意,该图形为圆柱和一个1/4的球的组合体,
球体积应为:
圆柱体积:
【例题11】
【题干】如图,小明想测量电线杆AB的高度,但在太阳光下,电线杆的影子恰好落在地面和土地的坡面上,量得坡面上的影长CD=4m,地面上的影长BC=10m,土坡坡面与地面成30°
的角,此时测得1m长的木杆的影长为2m,求电线杆的高度.(结果精确到0.1m)
【答案】8.7m
【解析】解法一:
如图,连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则得矩形BFDE,所以DF=BE,DE=BF.在Rt△DCF中,由CD=4m,∠DCF=30°
,得DF=2m,
m,所以
m,BE=DF=2m.因为此时1m长的木杆的影长为2m,所以
,即
,解得
m.
电线杆的高度约为8.7m.
解法二:
如图,连接AD并延长交BC的延长线于点M,过点D作DF⊥BM于点F.
在Rt△DCF中,由CD=4m,∠DCF=30°
,得DF=2m,所以
m.因为此时1m长的木杆的影长为2m.所以
,所以FM=2DF=4m.又DF∥AB,所以
解得
【例题12】
【题干】如图是一个几何体的三视图.
(1)写出这个几何体的名称.
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积.
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出这只蚂蚁所经路线的
最短长度.
(1)圆锥
(2)
(平方厘米)(3)
厘米
(1)圆锥
(2)由题意可知,这个几何体的表面积为
(平方厘米).
(3)将圆锥的侧面展开,如图所示,连接BD,则线段BD即为这只蚂蚁走的最短路线.
设圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角度数为n°
由
,解得n=120,且∠BAB′=120°
因为C为弧BB′的中点,
所以∠BAC=∠B′AC=60°
因为AB=AC,连接BC,所以△ABC为等边三角形.
又D为AC的中点,所以BD⊥AC,
(厘米),
故这只蚂蚁所经路线的最短长度为
厘米.
课程小结
1、知识小结及要点小结:
(1)投影:
一般地,用光线照射物体,在某个平面上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,
投影所在的平面叫做投影面.
(2)投影的分类:
①平行投影:
由平行光线形成的投影叫做平行投影,其中,投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
②中心投影:
由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.
(3)投影的特点:
①当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状,大小完全相同
②物体正投影的形状,大小与它们相对于投影面的位置有关
2、解题方法及技巧小结:
要掌握平行投影和中心投影的区别,前者的光线是平行的,后者的光线是相交的.
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- 春季 学期 新版 新人 九年级 数学 下学 29 投影 视图 单元 复习 教案