第16章轴对称图形与等腰三角1Word文档下载推荐.docx

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①轴对称图形与轴对称的区别.轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是图形的性质；

轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的；

②它们的联系：

都有一条直线是它们的对称轴；

如果把轴对称图形沿对称轴看成两部分，则它们关于这条直线成轴对称，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，则它就是轴对称图形.

考点提示：

1理解轴对称图形和轴对称的概念.

2根据定义判断现实生活中轴对称图形和轴对称，并找出其对称轴.

3画已知图形关于某直线的轴对称图形.

拓展延伸

1.轴对称图形的对称轴是一条直线，不是线段，轴对称

12.在平面镜里看到其对面墙上电子钟的示数如图所示，那么电子钟的实际时间是＿＿

13.分别画出三个恰有2条对称轴、3条对称轴、4条对称轴的轴对称图形及它们的对称轴.

14.如图，以直线l为对称轴，画出图形CDEFG的对称图形.

15观察下列图形，它们是轴对称图形吗？

各有几条对称轴？

请画出这些对称轴.

16.请为学校的体育运动会设计一个会标，要求设计为轴对称图形.

趣味数学：

数的运算中会有一些有趣的对称形式，按照等式

（1）的形式填空，并检验等式是否成立？

⑴12×

231=132×

21

⑵24×

231=＿＿×

＿＿

⑶12×

462=＿＿×

⑷18×

＿＿=198×

图形的对称轴最少一条，最多有无数条.

2.判断两个图形是否成轴对称或判断一个图形是否轴对称图形，首先要找到一条合适的直线，再沿着这条直线折叠，看是否重合，予以判断.

3.研究现实生活中的轴对称现象，并总结出规律.

典例赏析

例1如图，请画出已知图形关于直线MN的对称图形.（保留作图痕迹，不写作法）

解析：

画关于直线MN的对称图形，关键是作出对称点，首先找图形的特殊点，如线段的端点、角的顶点等，然后作出它关于直线MN的对称点，顺次连接对称点就可以画出对称图形.

答案：

如图

解题规律：

关键是作出关于直线MN的对称.点.

第二课时

1.把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这条直线.

2.如图1，线段AB和线段CD关于直线MN对称，则AC∥,BD⊥.

3.下列说法错误的是（）

A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等

B.轴对称图形至少有一条对称轴

C.全等三角形一定关于某条直线对称

D.角是关于它的平分线所在直线对称的图形

4在平面直角坐标系中，点A（－6,8）关于x轴对称的点的坐标是.

5.如图2，点P关于OA、OB对称点分别是P′、P″，P′P″分别交OA、OB于点C、D，P′P″=6cm，则△PCD的周长为.

6若点A（m，2），B（3，n）关于y轴对称，则m2+n2=＿＿＿.

7.如图3，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB=2cm，∠C=95°

，则AE=，∠D=度.

8从图形的几何性质考虑，下列图形中有一个与其它三个不同，它是（）

A.MB.XC.SD.U

9（2009.济宁）.一张正方形纸片经过三次对折后沿虚线剪下，然后展开，所得图形是（）

知识点1线段的垂直平分线

经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线.

知识点2轴对称的性质.

⑴关于某直线对称的两个图形一定是全等形.

⑵如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.

3.两个图形关于某直线对称，如果对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上.

1确定对称轴和画对称图形.

2.点在坐标平面内关于x轴、y轴或坐标原点的对称.

1利用轴对称的性质进行解题.

2.会解决一些与轴对称有关的问题，如关于物体在镜子里所成的像、折纸、剪纸等.

例1如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸CD的中点的距离为500米，则：

⑴牧童从A处放牛牵到河边饮水后回家，试问在何处饮水，所走路程最短？

⑵最短路程是多少？

本题考查的是轴对称

10.下列说法中：

⑴两个全等三角形一定关于某直线对称.

⑵关于某直线对称的两个三角形一定全等.⑶两点关于连接它们的线段的中垂线成轴对称.⑷成轴对称的两个三角形的对应点，或对应线段，或对应角也分别成轴对称.⑸到直线

l的距离相等的点关于l对称.其中正确的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

11.如图，以矩形ABCD内一点为原点建立坐标系，A（－3－2），AB=7，BC=3，分别标出点B、C、D的坐标.

12.如图，是一块长方形空地，要在空地上建一些正方形和圆形花坛，并使整个图形为轴对称图形，请在图中画出你的设计草图.

13.如图，EFGH是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于A、B两点位置上，试问怎样撞击黑球，使黑球先撞击球台边EF，反弹后再击中白球？

14.已知点A（1,2），B（5，5），C（5,2），是否存在点E，使△ACE和△ACB全等？

若存在，求出所有点E的坐标.

在实际生活中的应用，关键是弄清问题情境，建立数学模型.本题抽象为数学问题是：

在直线CD同侧有两点A、B，在CD上找一点M，则M为所求作的点.

⑴已知：

直线CD和CD同侧两点A、B

求作：

CD上一点M，使AM+BM最小

作法：

①作点A关于CD的对称点A′②连接A′B交CD于M

点M为所求作的点，即牧童在M处饮水，所走路程最短.

⑵由⑴中作法可知：

A′M=AM,A′C=AC=BD,

∴Rt△A′CM≌△BDM,∴BM=A′M,CM=DM,即M为CD的中点，且A′B=2AM，∵AM=500米，∴A′B=2×

500=1000（米）

答：

最短路程为1000米.

弄清题意，建立数学模型，了解考查内容，关键是第一步，作点A关于CD的对称点，转化为两点之间线段最短加以解决.

欣赏下面对联，感悟对称在文学中的美妙.

⑴秀山青雨青山秀，香柏古风古柏香；

⑵雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天.观察上述对联，你也试试作出一副类似的对联.

一节一测16.1轴对称图形

1.下列几何图形中，不是轴对称图形的是（）

2下列图形中只有一条对称轴的是（）

3下列图形中不是轴对称图形的是（）

A.有两条边相等的三角形

B.有一个角为60°

的直角三角形

C.有一个为60°

的等腰三角形

D.一个角是40°

，一个角是100°

的三角形.

4两个图形关于某直线对称，则对称点一定在（）

A.这条直线的两旁

B.这条直线的同旁

C.这条直线上

D.这条直线的两旁或在直线上

5等腰三角形至少有a条对称轴至多有b条对称轴，则a－b=

6小红从镜子里看到对面墙上的挂钟的时针、分针指向2点30分，则实际时间为

7如图，在平面直角坐标系中，A（-1,5），B（-1,0），C（-4,3）.

⑴求出△ABC的面积；

⑵在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；

⑶写出点A1、B1、C1的坐标.

8如图，线段AC垂直平分线段BD，垂足为O.

⑴图中有几对线段相等？

分别写出来.

⑵图中有几对三角形全等？

请一一写出.

9.（2010.北京）已知：

如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC.求证：

∠ACE=∠DBF

第2节线段的垂直平分线

1.线段上的点与线段距离相等.三角形三边的垂直平分线，这点到三角形三个顶点的距离.

2.如图，BD是AC的垂直平分线，若AB=4，CD=7，则四边形ABCD的周长为.

3.如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能

4如图，在△ABC中，∠A=40°

，∠C=80°

，AB的垂直平分线交AC于点D，则∠DBC=.

5在等腰三角形的有一个角是60°

，则另两个角的度数为.

6如图，在△ABC中，AC＞BC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于E，AC=8，△BCE的周长为12，BC=.

7.已知，C、D是线段AB的垂直平分线上的两点，∠CAB=35°

，∠DAB=50°

，则∠CAD=.

8.已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC、△DBC的周长分别是60和38，则△ABC的腰和底边长分别是（）

A.24和12B.16和22C.20和16D22和16

9.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为12cm,AC=5cm，求△ABC的周长.

知识点1会用尺规作图作线段的垂直平分线.

知识点2线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.

线段的垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.线段的垂直平分线的判定定理：

与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

知识点3三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.

1.线段的垂直平分线的尺规作图以及运用它解决实际问题.

2.线段的垂直平分线的性质定理和判定定理的理解和应用.

1.综合运用轴对称的性质定理和判定定理、线段的垂直平分线的性质定理和判定定理来求三角形周长、边长、角度等.

2.利用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，将实际问题转化为数学问题，进行作图、求解、证明.

例1如图所示，甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，游戏规则：

甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙

10.已知点D在△ABC的边AB的垂直平分线上，且AD+DC=AC，若AC=5cm，BC=4cm，则△DBC的周长为（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

11已知等腰三角形的底边和底边上的高的长，用尺规作图作等腰三角形，能作（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

12.在△ABC中，∠C=∠B，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°

，则∠B的度数是.

13锐角△ABC中，∠A=60°

，AB、AC两边的垂直平分线交于点O，则∠BOC的度数是.

14作图题：

已知△ABC，求作一点P，使PA=PB=PC

15如图，△ABC中，∠ACB=90°

，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：

直线AD是CE的垂直平分线.

军军的老师布置一道课外作业：

不借助任何工具在一张正方形纸上折出一个等边三角形.军军想了很久，没有想出来，你能帮他想个办法吗？

若能，请画图说明.

最后丙跑至终点P处，如果甲、乙、丙三人的速度相同，试作图找出乙、丙必须站在何处，他们的游戏所用时间最短.

本题线段的垂直平分线的性质定理将PM和PN转化成P′M和P″N，综合运用轴对称的知识以及线段的性质定理.

如图所示，三人的速度一定且相同，要使游戏时间最短，只需三人所走的路程和最小，运用轴对称的知识，作出P点关于OA、AB的对称点P′、P″,连接

P′P″，交OA于M，交OB于N，则M、N分别是乙、丙的位置，这样连接PM、PN，三人的路程和为PM+PN+MN=P′M+MN+P″N=

P′P″，根据两点之间，线段最短，可知该路线应是最短的.

根据两点之间，线段最短和线段的垂直平分线的性质定理来求解.

一节一测16.2线段的垂直平分线

1.到三角形的三个顶点距离相等的是（）

A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点

2.BD为线段CE的垂直平分线，A在CB的延长线上，∠C=34°

，则∠ABE等于（）

A.17°

B.34°

C.68°

D.136°

3.如图，△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，BC=16cm,则△BCD的周长为（）

A.26cmB.36cmC.40cmD.21cm

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠B=30°

，BC的垂直平分线交斜边AB于D,交BC于E，图中等于60°

的角有（）个.

A.2B.3C.4D.5

5.如图所示，AB=AC,∠BAC=120°

，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=.

6.如图，∠A=90°

，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=

7.如图，△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交B于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长为.

8.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且ED⊥AB，已知△BCE周长为8，AC-BC=2,求AB、BC的长.

9如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°

，求∠NMB的度数.

第3节等腰三角形

1.等腰三角形有一个角为40°

，则另两个角的度数分别为

.

2.已知等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则此三角形的周长为.

3.等腰三角形的对称轴是（）

A.顶角的角平分线B.底边上的高C.底边上的中线所在的直线D.两腰中点的连线

4（2010.广州）如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°

，∠C=72°

，则图中的等腰三角形有个.

5如图，△ABC中,AB=AC，∠BAD=30°

，AE=AD=BD，则∠EDC=.

6（2009.黄冈）在三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°

，则∠B=

7等腰三角形的顶角是80°

，则一腰上的高与底边的夹角是（）

A.40°

B.50°

C.60°

D.30°

8.（2009.武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°

，则∠DAO+∠DCO的大小是（）

A.70°

B.110°

C.140°

D.150°

9在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=120°

，DE垂直平分AB，且交CA的延长线于点D，求∠DBC的度数.

知识点1等腰三角形的性质定理.

知识点2等腰三角形的“三线合一”的性质.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线三线合一.

知识点3等边三角形的性质.

1.“等边对等角”常用来判定三角形中的角相等.

2.等腰三角形的“三线合一”的性质是等腰三角形的一个性质，常运用它解决有关等腰三角形的问题.

1综合运用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质定理求三角形的内角的度数.

2.灵活运用等腰三角形的“等边对等角”与“三线合一”进行解题.

例1如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求∠A的度数.

本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角

10如图，D、E在BC上，AD=BD，AE=CE，∠ADE=40°

，∠DAE=30°

，则∠B=.∠C=.

11如图，△ABC为等边三角形，BC⊥CD，AC=CD，则∠CAD=.

12等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（）

A.顶角B.顶角的一半C.底角D顶角的2倍

13如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB，BC于点D、E，AE平分∠BAC，若∠C=3∠B，求∠B的度数.

14如图，在△ABC中，AB=AC，DE为线段BC上的点，且有AD=AE，试说明BD=CE.

小红对等腰三角形很感兴趣，上课时，小红提出有没有一个等腰三角形，过其一个顶点作一条直线，将它分为两个等腰三角形，有吗？

请画图说明.（最少画出2种，标明角度即可）

和定理，其解题思路是设某

一个角的度数为x，其它角都能用含x的代数式表示，列出方程求解.

设∠A=x，∵AD=DE=EB∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB又∵∠DEA=∠EBD+∠EDB∴∠EBD=∠EDB=

.∴∠BDC=∠A+∠ABD=

x.∵BD=BC,AB=AC∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=

x.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°

.即x+

x+

x=180°

.∴x=45°

，即∠A=45°

首先要找到解题思路，解题关键是设∠A=x，运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理列方程求解，用代数思想解决几何问题.注意设未知数时，通常设最小角为x，避免出现分数.

1.等边三角形的对称轴有条.

2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足，由以上两个条件可得（写出一个结论即可）

3.在△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=

4一个等腰三角形的一个外角等于110°

，则等腰三角形的顶角为

5等腰三角形腰上的高平分底角，则顶角等于.

6等腰三角形的底边长5cm，一腰上的中线将其分成周长之差为3cm的两部分，则腰长为.

7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°

，则顶角的度数为

8已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°

，P为△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC等于（）

A.100°

B.115°

C.130°

D.65°

9如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D点作EF∥BC，则EF、BE、CF三条线段间存在什么样的数量关系？

写出你的结论，并加以证明.

知识点1等腰三角形的判定定理.即“等角对等边”.

知识点2.等腰三角形的“三线合一”的逆应用.

知识点3等边三角形的判定方法.

1证明一个三角形是等腰三角形的方法①定义②等角对等边.③“三线合一”的逆应用.

2.等边三角形的判定方法①三边相等②三角相等③两边相等，一个角60°

.

1会运用等腰三角形和等边三角形的判定定理证明边相等，线段线段，角相等.

2理解等腰三角形的“三线合一”以及它的逆应用，运用该结论能使解题简单.

例1等腰三角形一腰上的高，与另一腰的夹角为40°

，求等腰三角形的底角的度数.

三角形的高有的在三角形内部，有的在三角形的外部，有的与三角形的边重合，在不清楚三角形形状时，都要进行分类讨论.

①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示，∠B=∠ACB，∠ACD=40°

，则∠A=50°

所以∠B=∠ACB=

=

=65°

10如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，S△ABC=12，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于

11已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：

4，则该等腰三角形的顶角的度数为.

12等腰三角形的周长是13cm，且三边都是整数，则底边是（）cm

A.1或3B.3或5C.1或5.D.1或3或5

13如图，已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC边上取点E、F，使AE=CF，BE、AF相交于点D，求∠BDF的度数.

14（2010.南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD.

求证：

⑴OA=OB；

⑵AB∥CD.

（方案设计）正三角形既具有对称美，又给人以庄重的美感.请设计三种不同的分割方案，将正三角形分别分割成四个等腰三角形的组合.（画出分割线，标明必要的角度）.

②当等腰三角形为钝角三角形时，如图，这时，∠B=∠ACB，∠ACD=40°

，则∠BAC=90°

+40°

=130°

.所以∠B=∠ACB=

=25°

.所以底角的度数为65°

或25°

因为三角形形状的不确定，它的高也不能确定位置，所以要进行分类讨论.

第三课时

1.在△ABC中，∠A=65°

，∠B=50°

，则AB：

BC=.

2.Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，∠B=30°

吗，AD=2cm，则AB的长度是.

3.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3，则CD=（）

A.2cmB3cmC.4cmD1.5cm

4如果一个三角形每一边的中线和这边上的高重合，那么这个三角形是三角形.

5如图，在△ABC中，AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°

，则∠EDF=.

6等腰三角形一边上的高等于这边长的一半，则这个三角形的顶角为（）

A.30°

B.90°

C.150°

D以上都有可能

7若三角形的三边a、b、c，满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则它的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

8如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠A