二阶电路的零输入响应文档格式.docx
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同样,也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能,并如此反复,当然也可能不存在能量的反复转换。
图5-37RLC串联电路的零输入响应
由图5-37所示参考方向,据KVL可得
且有iC=-C-―^,Ur=Ri二RC,uL=L①=-LCUc。
将其代入上式得
dtdtdtdt
式(5-33)是RLC串联电路放电过程以比为变量的微分方程,为一个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流i作为变量,则RLC串联电路的微分方程为
(5-34)
在此,仅以Uc为变量进行分析,令Uc=AePt,并代入(5-33),得到其对应的特征方程
求解上式,得到特征根为
因此,电容电压Uc用两特征根表示如下:
(5-36)
uc=AePltA2ep2t
从式(5-35)可以看出,特征根p、p2仅与电路的参数和结构有关,而与激励和初始储能无关。
Pi、P2又称为固有频率,单位为奈培①每秒(Np/s),它与电路的自然响应函数有关。
根据换路定则,可以确定方程(5-33)的初始条件为uC(0UC(0U0,
i(02(0)丄,又因为ic「畤,所以有C罟八C。
将初始条件和式(5-36)
联立可得
(5-37)
AiA2二U°
I
A®
+A2P2=-g
A=P2U0
(5-38)
P1U0
P2-P1
P2一p1
将A、A2的表达式代入(5-36)式即可得到RLC串联电路的零输入响应,但特征根P1、
P2与电路的参数R、L、C有关,根据二次方程根的判别式可知P1、P2只有三种可能情况,
F面对这三种情况分别讨论
在此情况下,P1、P2为两个不相等的实数,电容电压可表示为
(5-39)
Uc业P2eP"
t_pft
P2—P1
根据电压电流的关系,可以求出电路的其他响应为
uL二L虫二-―^0—p1eP1^p2eP2t(5-41)
dtP2-Pi
1
其中利用了P1P2—的关系。
LC
由于p1p2,因此t0时,-eP2t,且一臼0。
所以t.0时uC
P2—P1P2—P1
一直为正。
从(5-40)可以看出,当t.0时,i也一直为正,但是进一步分析可知,当t=0
时,i(0.)=0,当t:
时,i(:
:
)=0,这表明i(t)将出现极值,可以求一阶导数得到,
tmaxJln山
P2—P1P1
其中tmax为电流达到最大的时刻。
Uc、i、Ul的波形如图5-38所示。
图5-38过阻尼放电过程中Uc、i、Ul的波形
从图5-38可以看出,电容在整个过程中一直在释放储的电能,称之为非振荡放电,有叫做过阻尼放电。
当t:
:
tm时电感吸收能量,建立磁场;
t-tm时,电感释放能量,磁场衰减,
趋向消失。
当t二tm时,电感电压过零点。
2.Rv2(L,欠阻尼情况
当R<
^L时,特征根p1、p2是一对共轭复数,即
R
其中「一正称之为振荡电路的衰减系数;
(r~可
屆一詁称之为振荡电路的衰减角频率。
显然有=:
・2亠八2,令v-arctan—,则有-0co^,:
0sinr,如图5-39
-j2■
U。
%_「ej®
切-e」®
帕”
=e"
①Ij2一
=U^-°
sin(・tr)(5—44)
co
根据式(5-40),(5-41)可知
i=be^sin(・t)(5-45)
L
uL=-U0%e七sin(⑷t—日)(5-46)
从上述情况分析可以看出,uc、i、uL的波形呈振荡衰减状态。
在衰减过程中,两种
储能元件相互交换能量,如表5-2所示。
uc、i、UL的波形如图5-40所示。
图5-40欠阻尼情况下uc、i、UL的波形
表5-2
电容
释放
吸收
电感
电阻
消耗
从欠阻尼情况下Uc、i、UL的表达式还能得到以下结论:
(1)7=k二,k=0,1,2,3为电流i的过零点,即uc的极值点。
(2)「t=k二二,k=0,1,2,3为电感电压Ul的过零点,即电流i的极值点。
(3)4二k二-v,k=0,1,2,3为电容电压uC的过零点。
在上述阻尼的情况中,有一种特殊情况,k=0,此时p1、p2为一对共轭虚数,
所示
图5-41LC零输入电路无阻尼时Uc、i、Ul波形
显然,uC、i、uL不作振荡变化,随着时间的推移逐渐衰减,其衰减过程的波形与图
5-38类似。
此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线,所以将R=2二的过程称为临界
非振荡过程,其电阻也被称之为临界电阻。
5.7二阶电路的零状态响应
如果二阶电路中动态元件的储能(电容储存电场能与电感储存的磁场能)均为零时,其
响应仅由外施激励产生,称为二阶电路的零输入响应。
5.7.1RLC串联电路的零状态响应
电路如图5-47所示,开关S闭合前,电容和电感电流均为零。
t=0时,开关S闭合。
图5-47RLC串联电路的零状态响应
以Uc为电路的变量,根据VCR和KVL,有
方程(5-64)为二阶常系数非齐次微分方程,其解由两部分组成,一部分为非齐次方程的特解uC=US,另一部分为对应齐次方程的通解uC二Aept,即uC二uC•uC。
方程(5-63)对应的齐次微分方程
方程(5-64)与方程(5-33)完全相同,其对应的特征方程的根也有三种情况。
将结论分别表示如下
电路响应表示为其中pi、P2为特征根,表达式与(5-35)式相同。
比、i和ue的波形如图5-48所示,
图5-48uL、i和uC的波形图
2.R-2,振荡充电过程
电路响应表示为
其中,此情况下的充电过程也为非振荡充电。
2L
5.7.2RLC并联电路的零状态响应
二阶RLC并联电路如图5-49所示,uC(0」=0,iL(0_)=0ot0时,开关S断开。
根据KCL有
图5-49RLC并联电路的零状态响应
如果以iL为待求变量,则有
LC壯丄也iL=is(5-65)
dt2Rdt
方程以(5-65)是二阶线性非齐次常微分方程,与(5-63)式的求解过程相同,其通解由特
解iL和对应齐次微分方程通解匚两部分组成。
如果is为直流激励或正弦激励,则取稳态解〔
为特解而通解i「与零输入响应形式相同,其积分常数有初始条件来确定。
分别得到二则电路的一般用
S闭合,求开
S闭合后,直
5.8二阶电路的全响应
在前两节中所讨论的二阶电路中,要么只有初始储能,要么只有外施激励。
阶微分方程求解的方法非常相似。
如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励,
响应称为二阶电路的全响应。
分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用,
零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。
例电路如图5-51所示,已知uC(OJ=O,iL(0.)=0.5A,t=0时开关关闭合后电感中的电流iL(t)。
图5-51例5-12图
解:
开关S闭合前,电感中的电流iL(OJ-0.5A,具有初始储能;
开关流激励源作用于电路,故为二阶电路的全响应。
(1)列出开关闭合后的电路微分方程,列结点①KVL方程有
2・・
即RLC吗RiL=10
dt2dtL
将参数代入得
设电路全响应为iL(t)=iL•iL
(2)根据强制分量计算出特解为
(3)为确定通解,首先列出特征方程为
特征根为:
特征根p1,p2是一对共轭复根,所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质,即
(4)
2Ae^tsin(0.7t巧
”2+Asin日=0.5(A)
0.7Acos日-0.1Asin日=0
A=1.52
全响应为
又因为初始条件为
所以有
求解得
所以电流iL的全响应为
iL(t)二[21.52e^.1tsin(0.7t261.9)](A)
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- 电路 输入 响应