高中数学双曲线抛物线知识点总结.docx
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高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线
平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
方程
简图
范围
顶点
焦点
渐近线
离心率
对称轴
关于x轴、y轴及原点对称
关于x轴、y轴及原点对称
准线方程
a、b、c的关系
考点
题型一求双曲线的标准方程
1、给出渐近线方程的双曲线方程可设为,与双曲线共渐近线的方程可设为。
2、注意:
定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)焦距为26,且经过点M(0,12);
(3)与双曲线有公共渐进线,且经过点。
解:
(1)设双曲线的标准方程为或。
由题意知,2b=12,=。
∴b=6,c=10,a=8。
∴标准方程为或。
(2)∵双曲线经过点M(0,12),
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12。
又2c=26,∴c=13。
∴。
∴标准方程为。
(3)设双曲线的方程为
在双曲线上
∴得
所以双曲线方程为
题型二双曲线的几何性质
方法思路:
解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e、a、b、c四者的关系,构造出和的关系式。
【例2】双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥。
求双曲线的离心率e的取值范围。
解:
直线l的方程为,级bx+ay-ab=0。
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离,
同理得到点(-1,0)到直线l的距离,
。
由s≥,得≥,即。
于是得,即。
解不等式,得。
由于e>1>0,所以e的取值范围是。
【例3】设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使,且︱AF1︱=3︱AF2︱,求双曲线的离心率。
解:
∵
∴
又︱AF1︱=3︱AF2︱,
∴即,
∴,
∴即。
题型三直线与双曲线的位置关系
方法思路:
1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组,即,对解的个数进行讨论,但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长:
【例4】如图,已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点,如果,且曲线E上存在点C,使,求
(1)曲线E的方程;
(2)直线AB的方程;
(3)m的值和△ABC的面积S。
解:
由双曲线的定义可知,
曲线E是以为焦点的双曲线的左支,
且,a=1,易知。
故直线E的方程为,
(2)设,,
由题意建立方程组消去y,得。
又已知直线与双曲线左支交于两点A、B,有
解得。
又∵
依题意得,整理后得,
∴或。
但,
∴。
故直线AB的方程为。
(3)设,由已知,得,
∴。
又,,
∴点。
将点C的坐标代入曲线E的方程,的,
得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。
∴,C点的坐标为,
C到AB的距离为,
∴△ABC的面积。
一、抛物线
高考动向:
抛物线是高考每年必考之点,选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如。
(一)知识归纳
方程
图形
顶点
(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线
(二)典例讲解
题型一抛物线的定义及其标准方程
方法思路:
求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为或。
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
(1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点;
(2)经过点A(2,-3);
(3)焦点在直线x-2y-4=0上;
(4)抛物线焦点在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,︱AF︱=5.
解:
(1)双曲线方程可化为,左顶点是(-3,0)
由题意设抛物线方程为且,
∴p=6.
∴方程为
(2)解法一:
经过点A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式:
y2=2px或x2=-2py.
点A(2,-3)坐标代入,即9=4p,得2p=
点A(2,-3)坐标代入x2=-2py,即4=6p,得2p=
∴所求抛物线的标准方程是y2=x或x2=-y
解法二:
由于A(2,-3)在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为或,代入A点坐标求得m=,n=-,
∴所求抛物线的标准方程是y2=x或x2=-y
(3)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(0,-2),(4,0)。
∴焦点为(0,-2),(4,0)。
∴抛物线方程为或。
(4)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为,A(m,-3),由抛物
线定义得,
又,
∴或,
故所求抛物线方程为或。
题型二抛物线的几何性质
方法思路:
1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线l的距离处理,例如若P(x0,y0)为抛物线上一点,则。
2、若过焦点的弦AB,,,则弦长,可由韦达定理整体求出,如遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。
【例6】设P是抛物线上的一个动点。
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求的最小值。
解:
(1)抛物线焦点为F(1,0),准线方程为。
∵P点到准线的距离等于P点到F(1,0)的距离,
∴问题转化为:
在曲线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小。
显然P是AF的连线与抛物线的交点,
最小值为
(2)同理与P点到准线的距离相等,如图:
过B做BQ⊥准线于Q点,交抛物线与P1点。
∵,
∴。
∴的最小值是4。
题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路:
函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB的中点纵坐标的最小值。
分析一:
要求AB中点纵坐标最小值,可求出y1+y2的最小值,从形式上看变量较多,结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABCD的两底,这样使得中点纵坐标y成为中位线,可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一:
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)
由抛物线方程y=x2知焦点,准线方程,设点A、B、M到准线的距离分别为|AD1|、|BC1|、|MN|,则|AD1|+|BC1|=2|MN|,且,根据抛物线的定义,有|AD1|=|AF|、|BC1|=|BF|,∴=|AF|+|BF|≥|AB|=2,
∴
∴,即点M纵坐标的最小值为。
分析二:
要求AB中点M的纵坐标y的最小值,可列出y关于某一变量的函数,然后求此函数的最小值。
解法二:
设抛物线y=x2上点A(a,a2),B(b,b2),AB的中点为M(x,y),则
∵|AB|=2,∴(a―b)2+(a2―b2)=4,则(a+b)2-4ab+(a2+b2)2-4a2b2=4
则2x=a+b,2y=a2+b2,得ab=2x2-y,∴4x2―4(2x2―y)+4y2―4(2x2―y)=4
整理得
即点M纵坐标的最小值为3/4。
练习:
1、以y=±x为渐近线的双曲线的方程是( )
A、3y2―2x2=6B、9y2―8x2=1C、3y2―2x2=1D、9y2―4x2=36
【答案D】解析:
A的渐近线为,B的渐近线为
C的渐近线为,只有D的渐近线符合题意。
2、若双曲线的左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为,则a+b的值为()
A、B、C、D、2
【答案A】解析:
∵P在双曲线上,
∴即(a+b)(a-b)=1
又P(a,b)到直线y=x的距离为
∴且
即
∴a+b=
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴,焦点在直线上,那么抛物线的方程是()
A、B、
C、D、
【答案C】解析:
令x=0得y=-3,令y=0得x=4,
∴直线与坐标轴的交点为(0,-3),(4,0)。
∴焦点为(0,-3),(4,0)。
∴抛物线方程为或。
4、若抛物线y=x2上一点P到焦点F的距离为5,则P点的坐标是
A.(4,±4)B.(±4,4)C.(,±)D.(±,)
【答案B】解析:
抛物线的焦点是(0,1),准线是,
P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。
设P(x,y),则y=4,
∴
5、若点A的坐标为(3,2),为抛物线的焦点,点是抛物线上的一动点,则取得最小值时点的坐标是(C)
A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.
【答案C】解析:
抛物线焦点为F(1,0),准线方程为。
∵P点到准线的距离等于P点到F(1,0)的距离,
∴问题转化为:
在曲线上求一点P,使点P到A(3,2)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小。
显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点,
∴P的坐标为(2,2)
6、已知A、B是抛物线上两点,O为坐标原点,若︱OA︱=︱OB︱,且
△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是()
A、x=pB、x=3pC、x=pD、x=p
【答案D】解析:
设A(,y),B(,-y),
∵F(p,0)是△AOB的垂心,
∴
整理得
∴
7、过点P(4,1),且与双曲线只有一个公共点的直线有条。
【答案】两条
解析:
因为P(4,1)位于双曲线的右支里面,故只有两条直线与双曲线有一个公共点,分别与双曲线的两条渐近线平行。
这两条直线是:
和
8、双曲线C与双曲线有共同的渐近线,且过点,则C的两条准线之间的距离为。
【答案】
解析:
设双曲线C的方程为,
将点A代入,得k=。
故双曲线C的方程为:
∴,b=2,
所以两条准线之间的距离是。
9、已知抛物线,一条长为4P的弦,其两个端点在抛物线上滑动,则此弦中点到y轴的最小距离是
【答案】
解析:
设动弦两个端点为A、B,中点为C,作AA’,BB’,CC’垂直于准线的垂线,垂足分别为A’、B’、C’,连接AF、BF,由抛物线定义可知,︱AF︱=︱AA’︱,
︱BF︱=︱BB’︱
∵CC′是梯形ABB′A′的中位线
∴︱CC′︱===2p
当AB经过点F时取等号,所以C点到y轴的距离最小值为。
10、抛物线的一条弦的中点为M,则此弦所在的直线方程是。
【答案】2x-y+1=0
解析:
设此弦所在的直线方程为,
与抛物线的交点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),
则
将的方程代入抛物线方程整理得
由韦达定理得
解得
∴此直线方程为即2x-y+1=0
11、已知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,焦距为16,离心率为,求双曲线的方程。
解:
由题意知,
又
12、已知双曲线的离心率,过点和B(a,0)的直线与原点的距离为。
(1)求双曲线的方程;
(2)直线与该双曲线交于不同的两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上,求m的取值范围。
解:
(1)由题设,得
解得,
∴双曲线的方程为。
(2)把直线方程代入双曲线方程,
并整理得
因为直线与双曲线交于不同的两点,
∴①
设,
则,
设CD的中点为,
其中,,
则,
依题意,AP⊥C
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- 高中数学 双曲线 抛物线 知识点 总结