浙江省届中考数学第36讲《分类讨论型问题》名师讲练含答案Word格式.docx
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首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;
其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);
再对各个分类逐步进行讨论,分层进行,获取阶段性结果;
最后进行归纳小结,综合得出结论.
类型一 由计算化简时,运用法则、定理和原理的限制引起的讨论
(2016·
南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为( )
A.3cm2B.4cm2C.12cm2D.4cm2或12cm2
【解后感悟】解此题的关键是求出AB=AE,注意AE=1或3不确定,要进行分类讨论.
1.
(1)若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为____________________.
(2)已知平面上有⊙O及一点P,点P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则⊙O的半径为 cm.
(3)若|a|=3,|b|=2,且a>b,则a+b=( )
A.5或-1B.-5或1C.5或1D.-5或-1
类型二 在一个动态变化过程中,出现不同情况引起的讨论
为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.
人均住房面积(平方米)
单价(万元/平方米)
不超过30(平方米)
0.3
超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)
0.5
超过m平方米部分
0.7
根据这个购房方案:
(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房,求其应缴纳的房款;
(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米,缴纳房款y万元,请求出y关于x的函数关系式;
(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米,缴纳房款为y万元,且57<y≤60时,求m的取值范围.
【解后感悟】本题是房款=房屋单价×
购房面积在实际生活中的运用,由于单价随人均面积而变化,所以用分段函数的解析式来描述.同时建立不等式组求解,解答本题时求出函数解析式是关键.
2.
(1)在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=-x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
A.b>
2B.-2<
b<
2C.b>
2或b<
-2D.b<
-2
(2)如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是边长为4的正方形,平行于对角线BD的直线l从O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线l与正方形没有交点为止.设直线l扫过正方形OBCD的面积为S,直线l运动的时间为t(秒),下列能反映S与t之间函数关系的图象是( )
3.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2=x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.
类型三 由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论
(2017·
湖州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A,B,过点B作BD⊥x轴于点D,交y=的图象于点C,连结AC.若△ABC是等腰三角形,则k的值是________.
【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标,再进行分类讨论.
4.
(1)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1,),M为坐标轴上一点,且使得△MOA为等腰三角形,则满足条件的点M的个数为( )
A.4B.5C.6D.8
(2)(2016·
北流模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=12,BC=6,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,要使△ABC和△QPA全等,则AP= .
(3)(2016·
临淄模拟)如图,在正方形ABCD中,M是BC边上的动点,N在CD上,且CN=CD,若AB=1,设BM=x,当x= 时,以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似.
类型四 由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论
鄂州模拟)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,∠ABC=90°
,点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动,点Q从点C同时出发,以3cm/s的速度向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,四边形ABQP成为矩形?
(2)当t为何值时,以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形?
(3)四边形PBQD是否能成为菱形?
若能,求出t的值;
若不能,请说明理由,并探究如何改变Q点的速度(匀速运动),使四边形PBQD在某一时刻为菱形,求点Q的速度.
【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题,涉及四边形的知识,同时也是存在性问题,解答时要注意分类讨论及数形结合.
5.
(1)(2016·
盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1,1),B(1,3),C(3,2),在直角坐标系中再找一个点D,使这四个点构成平行四边形,则D点坐标为 .
(2)(2016·
江阴模拟)如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.如果点E、F同时出发,设运动时间为t(s),当t= s时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
金华模拟)如图,B(6,4)在函数y=x+1的图象上,A(5,2),点C在x轴上,点D在函数y=x+1上,以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形,写出所有满足条件的D点的坐标 .
(4)(2016·
萧山模拟)已知在平面直角坐标系中,点A、B、C、D的坐标依次为(-1,0),(m,n),(-1,10),(-7,p),且p≤n.若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形,则n的值是 .
类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论
如图,已知⊙O的半径为6cm,射线PM经过点O,OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发,点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动,点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为t(s).
(1)求PQ的长;
(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切?
【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用,题目设置具有创新性.解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系,及其对应数量关系进行分析.
6.(2016·
泗洪模拟)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2-1上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为 .
【压轴把关题】
如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-3,0),(0,6),动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.
(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标;
(2)当点C在线段OB上时,求证:
四边形ADEC为平行四边形;
(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在第一、四象限,在运动过程中,设▱PCOD的面积为S.
①当点M,N中,有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;
②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.
【方法与对策】本题是四边形的综合题,对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解.①当点C在BO上时,第一种情况,当点M在CE边上时,由△EMF∽△ECO求解,第二种情况,当点N在DE边上时,由△EFN∽△EPD求解;
当点C在BO的延长线上时,第一种情况,当点M在DE边上时,由EMF∽△EDP求解,第二种情况,当点N在CE边上时,由△EFN∽△EOC求解;
②当1≤t<时和当<t≤5时,分别求出S的取值范围.这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略.
【分类讨论应不重复、不遗漏】
在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°
,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有________条.
参考答案
【例题精析】
例1 ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AB=AE,①当AE=1cm时,AB=1cm=CD,AD=1cm+3cm=4cm=BC,此时矩形的面积是1cm×
4cm=4cm2;
②当AE=3cm时,AB=3cm=CD,AD=4cm=BC,此时矩形的面积是:
3cm×
4cm=12cm2;
故选D.
例2
(1)由题意,得三口之家应缴购房款为:
0.3×
90+0.5×
30=42(万元);
(2)由题意,得①当0≤x≤30时,y=0.3×
3x=0.9x;
②当30<x≤m时,y=0.9×
30+0.5×
3×
(x-30)=1.5x-18;
③当x>m时,y=0.9×
3(m-30)+0.7×
(x-m)=2.1x-18-0.6m.∴y=(45≤m≤60).(3)由题意,得①当50≤m≤60时,y=1.5×
50-18=57(舍).②当45≤m<50时,y=2.1×
50-0.6m-18=87-0.6m.∵57<y≤60,∴57<87-0.6m≤60,∴45≤m<50.综合①②得45≤m<50.
例3 ∵点B是y=kx和y=的交点,y=kx=,解得:
x=,y=3,∴点B坐标为,点A是y=kx和y=的交点,y=kx=,解得:
x=,y=,∴点A坐标为,∵BD⊥x轴,∴点C横坐标为,纵坐标为=,∴点C坐标为,∴BA≠AC,若△ABC是等腰三角形,①AB=BC,则=3-,解得:
k=;
②AC=BC,则=3-,解得:
故答案为k=或.
例4
(1)∵∠ABC=90°
,AP∥BQ,∴当AP=BQ时,四边形ABQP成为矩形,由运动知,AP=t,CQ=3t,∴BQ=22-3t,∴t=22-3t,解得t=.∴当t=时,四边形ABQP成为矩形;
(2)当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时,就是
(1)中的情形,此时t=.当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时,∵PD∥QC,∴当PD=QC时,四边形PQCD为平行四边形.此时,16-t=3t,t=4;
当P、Q两点与B、D两点构成的四边形是平行四边形时,同理,16-t=22-3t,t=3;
当P、Q两点与A、C两点构成的四边形是平行四边形时,同理,t=3t,t=0,不符合题意;
故当t=或t=4或t=3时,以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形.(3)四边形PBQD不能成为菱形.理由如下:
∵PD∥BQ,∴当PD=BQ=BP时,四边形PBQD能成为菱形.由PD=BQ,得16-t=22-3t,解得t=3,当t=3时,PD=BQ=13,AP=AD-PD=16-13=3.在Rt△ABP中,AB=8,根据勾股定理得,BP===≠13,∴四边形PBQD不能成为菱形;
如果Q点的速度改变为vcm/s时,能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形,由题意得,解得故点Q的速度为2cm/s时,能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形.
例5
(1)连结OQ,∵PN与⊙O相切于点Q,∴OQ⊥PN,即∠OQP=90°
.∵OP=10,OQ=6,∴PQ==8(cm).
(2)过点O作OC⊥AB,垂足为C.∵点A的运动速度为5cm/s,点B的运动速度为4cm/s,运动时间为ts,∴PA=5t,PB=4t.∵PO=10,PQ=8,∴==.∵∠P=∠P,∴△PAB∽△POQ,∴∠PBA=∠PQO=90°
.∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°
,∴四边形OCBQ为矩形,∴BQ=OC.∵⊙O的半径为6,∴BQ=OC=6时,直线AB与⊙O相切.①当AB运动到如图1所示的位置时,BQ=PQ-PB=8-4t,由BQ=6,得8-4t=6,t=0.5.②当AB运动到如图2所示的位置时,BQ=PB-PQ=4t-8,由BQ=6,得4t-8=6,t=3.5.综上,当t=0.5s或3.5s时,直线AB与⊙O相切.
【变式拓展】
1.
(1)0或-1
(2)4或2 (3)C 2.
(1)C
(2)D
3.根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8.分类讨论:
①n=8时,易得A(-6,0),如图1,∵抛物线经过点A、C,且与x轴交点A、B在原点的两侧,∴抛物线开口向下,则a<0,∵AB=16,且A(-6,0),∴B(10,0),而A、B关于对称轴对称,∴对称轴为直线x==2,要使y1随着x的增大而减小,∵a<0,∴x≥2;
②n=-8时,易得A(6,0),如图2,∵抛物线过A、C两点,且与x轴交点A,B在原点两侧,∴抛物线开口向上,则a>0,∵AB=16,且A(6,0),∴B(-10,0),而A、B关于对称轴对称,∴对称轴为直线x==-2,要使y1随着x的增大而减小,且a>0,∴x≤-2.
4.
(1)C
(2)6或12 (3)或 5.
(1)(3,0)或(-1,2)或(3,4)
(2)2或6 (3)(2,2)或(-6,-2)或(10,6) (4)2,5,18 6.(,2)或(-,2)
【热点题型】
【分析与解】
(1)∵OB=6,C是OB的中点,∴BC=OB=3.∴2t=3,即t=s.∴OE=+3=,E(,0).
(2)如图1,连结CD交OP于点G,在▱PCOD中,CG=DG,OG=PG,∵AO=PE,∴AG=EG.∴四边形ADEC是平行四边形.(3)①(Ⅰ)当点C在线段BO上时,第一种情况:
如图2,当点M在CE边上时,∵MF∥OC,∴△EMF∽△ECO.∴=,即=,解得t=1.第二种情况:
如图3,当点N在DE边时,∵NF∥PD,∴△EFN∽△EPD.∴=即=,解得t=.(Ⅱ)当点C在BO的延长线上时,第一种情况:
如图4,当点M在DE边上时,∵MF∥PD,∴EMF∽△EDP.∴=即=,解得t=.第二种情况:
如图5,当点N在CE边上时,∵NF∥OC,∴△EFN∽△EOC.∴=即=,解得t=5.综上所述,所有满足条件的t的值为1,,,5.②<S≤或<S≤20.
【错误警示】当PD∥BC时,△APD∽△ABC,当PE∥AC时,△BPE∽△BAC,连结PC,∵∠A=36°
,AB=AC,点P在AC的垂直平分线上,∴AP=PC,∠ABC=∠ACB=72°
,∴∠ACP=∠PAC=36°
,∴∠PCB=36°
,∴∠B=∠B,∠PCB=∠A,∴△CPB∽△ACB,故过点P的△ABC的相似线最多有3条.故答案为:
3.
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