全等三角形解题方法文档格式.docx
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AD,DC=BC,求证:
∠B+∠D=180°
。
分析:
利用角平分线构造三角形,将∠D转移到∠AEC,而∠AEC与∠CEB互补,∠CEB=∠B,从而证得∠B+∠D=180°
主要方法是:
“线、角进行转移”。
证明:
在AB上截取AE=AD,DC在?
ADC与?
AEC中,?
AD=AE?
∠DAC=∠EAC?
AC=AC?
∴?
ADC≌?
AEC(SAS)∴∠D=∠AEC,DC=CE,∵DC=BC,∴CE=BC,∴∠CEB=∠B,∵∠CEB+∠AEC=180°
∴∠B+∠D=180°
.2、翻折法构造全等三角形例2如图2所示,已知?
ABC中,AC=AE图1BBC,∠ACB=90°
,BD平分∠ABC,求证:
AB=BC+CD。
证明:
∵BD平分∠ABC,将?
BCD沿BD翻折后,点C落在AB上的点E,则有BE=CE,B在?
BCD与?
BED中,?
BC=BE?
∠CBD=∠EBD?
BD=BD?
BCD≌?
BED(SAS)∴∠DEA=∠ACB=90°
CD=DE,∵已知?
ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
,∴∠A=45°
∴∠EDA=∠A=45°
∴DE=EA,∴AB=BE+EA=BC+CD。
3、旋转法构造全等三角形、例3如图3所示,已知点E、F分别在正方形ABCD的边ECD图2AADBC与CD上,并且AF平分∠EAD,求证:
BE+DF=AE。
本题要证的BE和DF不在同一条直线上,因而要设法分析将它们“组合”到一起。
可将?
ADF绕点A旋转90°
到?
ABG,则?
ADF≌?
ABG,BE=DF,从而将BE+BG转化为线段FGE,再进一步证明GE=AE即可。
证明略。
4、延长法构造全等三角形、例4如图4所示,在?
ABC中,∠ACB=2∠B,GB图3EC∠BAD=∠DAC,求证:
AB=AC+CD。
证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长分析一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一短线段相等即可;
或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段。
本题可延长AC至E,使AE=AB,构造ABD图4CE?
ABD≌?
AED,然后证明CE=CD,就可得AB=AC+CD。
5、截取法构造全等三角形、例5如图5所示,在?
ABC中,边BC上的高为AD,又∠B=2∠C,求证:
CD=AB+BD。
欲证明CD=AB+BD,可以在CD上截取一线段等分析于BD,再证明另一线段等于AB。
如果截取DE=BD(如图所ABDE图5C
示),则?
ADE可认为而?
ADB沿AD翻折而来,从而只需证明CE=AE即可。
构造全等三角形解题的技巧全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容,是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一(全等和相似),在解决几何问题时,若能根据图形特征添加恰当的辅助线,构造出全等三角形,并利用全等图形的性质,可以使问题化难为易,出奇制胜,现举几例供大家参考。
友情提示:
证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL(Rt△)。
一、见角平分线试折叠,构造全等三角形例1如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC。
求证:
∠B:
∠C=2:
1。
证法一:
在线段AC上截取AE=AB,连接DE。
在△ABD和△AED中,∵AE=AB,∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD△AED。
∴DE=DB,∠B=∠AED。
∵AB+BD=AC,∴AE+DE=AC。
又∵AE+CE=AC,∴DE=CE。
∴∠C=∠EDC。
∵∠AED=∠C+∠EDC,∴∠AED=2∠C,即∠B=2∠C。
∴∠B:
图1证法二:
延长AB到F,使BF=BD,连接DF。
∴∠F=∠BDF。
∵∠ABC=∠F+∠BDF,∴∠ABC=2∠F。
∵AB+BD=AC,∴AB+BF=AC,即AF=AC。
在△ADF和△ADC中,∵AF=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△ADF△ADC。
∴∠F=∠C。
又∵∠ABC=2∠F,∴∠ABC=2∠C,即∠ABC:
图2点评:
见到角平分线时,既可把△ABD沿AD折叠变成△AED,也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD,利用全等三角形的性质,可使问题得以解决。
练习:
如图3,△ABC中,AN平分∠BAC,CN⊥AN于点N,M为BC中点,若AC=6,AB=10,求MN的长。
图3提示:
延长CN交于AB于点D。
则△ACN△ADN,∴AD=AC=6。
又AB=10,则BD=4。
可证为△BCD的中位线。
∴。
点评:
本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。
二、见中点“倍长”线段,构造全等三角形例2如图4,AD为△ABC中BC上的中线,BF分别交AC、AD于点F、E,且AF=EF,求证:
BE=AC。
图4证明:
延长AD到G,使DG=AD,连接BG。
∵AD为BC上的中线,∴BD=CD,在△ACD和△GBD中,∵AD=DG,∠ADC=∠BDG,BD=CD,∴△ACD△GBD。
∴AC=BG,∠CAD=∠G。
∵AF=EF,∴∠CAD=∠AEF。
∴∠G=∠AEF=∠BEG,
∴BE=BG,∵AC=BG,∴BE=AC。
见中线AD,将其延长一倍,构造△GBD,则△ACD△GBD。
例3如图5,两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置,E、A、C三点在同一直线上,连接BD,取BD中点M,连接ME、MC图5试判断△EMC的形状,并说明理由。
解析:
△EMC为等腰直角三角形。
理由:
分别延长CM、ED,使其相交于点N,可证△BCM△DNM。
则BC=DN,CM=NM。
由于△DEA△ACB,则DE=AC,AE=BC,∴DE+DN=AC+AE。
即EN=EC,则△ENC为等腰直角三角形。
∵CM=NM,∴EM⊥CN,则可知△EMC为等腰直角三角形。
注:
①本题也可取EC的中点N,连接MN,利用梯形中位线定理来证明。
②亦可连接AM,利用角的度数来证明。
练习1:
如图6,在平行四边形ABCD中,E为AD中点,连接BE、CE,∠BEC=,图6求证:
(1)BE平分∠ABC。
(2)若EC=4,且,求四边形ABCE的面积。
提示:
见图中所加辅助线,证△ABE△DFE。
练习2:
△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB的取值范围为多少?
延长AD到E,使DE=AD,连接BE。
则△BDE△CDA。
∴BE=AC=5,DE=AD=7。
在△ABE中,BE=5,AE=14。
利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为:
9&
lt;
AB&
19。
三、构造全等三角形,证线段的和差关系例4如图7,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠1=∠2。
图7求证:
BE+DF=AE。
延长CB到G,使BG=DF,连接AG。
在△ABG和△ADF中,∵AB=AD,∠ABG=∠D=,BG=DF,∴△ABG△ADF。
∴∠G=∠AFD,∠4=∠1。
∵∠1=∠2,∴∠4=∠2。
∵AB∥CD,∴∠AFD=∠2+∠3=∠4+∠3=∠GAE。
又∵∠G=∠AFD,∴∠G=∠GAE。
∴AE=GE。
∵EG=BE+BG=BE+DF,∴BE+DF=AE。
从以上几例可以看出,全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。
在解决有关角平分线、中点、线段的和差的问题时,通过添加辅助线构造全等三角形的办法,不仅能使问题迎刃而解,而且有助于学生创新思维的培养,提高学生的数学思维能力和分析能力。
见到角平分线时,既可把△ABD沿AD折叠变成△AED,也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD,利用全等三角形的性质,可使问题得以解决。
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