圆经典例题精析.doc
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圆经典例题精析.doc
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圆经典例题精析
考点一、圆的有关概念和性质
1.有下列四个命题:
①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有()
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
【考点】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念,
【思路点拨】其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件.若三点在一条直线上,则不能作出过这三点的圆,故②不对.
【答案】B.
2.下列判断中正确的是()
(A)平分弦的直线垂直于弦
(B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
(C)弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
(D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【考点】垂径定理
【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦,因此平分弦所对的两条弧.A中被平分的弦应不是直径;
B理由同A;D中平分弧的直线的直线应过圆心.
【答案】C.
3.如图,在两半径不同的同心圆中,∠AOB=∠A′OB′=60°,则()
(A) (B)
(C)的度数=的度数 (D)的长度=的长度
【思路点拨】因为在圆中,圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,而∠AOB=∠A′OB′,所以的度数=的度数.
【答案】C.
4.如图,已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是()
A.80° B.100° C.120° D.130°
【考点】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,圆内接四边形的对角互补.
【思路点拨】可连结OC,则由半径相等得到两个等腰三角形,
∵∠A+∠B+∠ACB=360°-∠O=260°,且∠A+∠B=∠ACB,∴∠ACB=130°.
或在优弧AB上任取一点P,连结PA、PB,则∠APB=∠O=50°,
∴∠ACB=360°-∠APB=130°.
【答案】D.
总结升华:
圆的有关性质在解决圆中的问题时,应用广泛,运用简便.
举一反三:
【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧),跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为_____.
【考点】垂径定理.
【思路点拨】本题可用几何语言叙述为:
如图,AB为⊙O的弦,CD为拱高,AB=24米,半径OA=13米,求拱高CD的长.
【解析】由题意可知:
CD⊥AB,AD=BD,且圆心O在CD的延长线上.连结OA,
则OD===5(米).所以CD=13-5=8(米).
【答案】8米.
【变式2】如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=15°,则∠BAD=__________°.
【考点】同弧所对的圆周角相等,直径所对的圆周角是90°.
【思路点拨】AB是直径,则∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD=15°,可求得∠BAD.
【答案】75°.
【变式3】如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,且AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=60°,求CD的长.
【解析】因为AE=1cm,EB=5cm,所以OE=(1+5)-1=2(cm),半径等于3cm.在Rt△OEF中可求EF的长,再求OF的长,连结OD,利用勾股定理求得FD,可得CD的长.
【略解】∵AE=1cm,BE=5cm,∴⊙O的半径为3cm.∴OE=3-1=2(cm).在Rt△OEF中,∠OEF=60°,
∴OF=sin60°·OE=·2=(cm).
连结OD,在Rt△ODF中,OF⊥CD,∴FC=FD.FD2=OF2+OD2即FD2=32-()2,
解得FD=±(负值舍去).∴CD=2FD=2(cm).
考点二、与圆有关的位置关系
5.圆心O与直线AB上一点的距离等于半径,则直线AB与⊙O的位置关系是()
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
【考点】直线和圆的位置关系.
【思路点拨】注意审题,本题说的是圆心和直线上一点的距离等于半径,不是圆心到直线的距离等于半径.故不能选B.如下图有两种情况均符合题意:
点O到点A的距离均等于半径.
【答案】D.
6.如图,AB、AC是⊙O的切线,将OB延长一倍至D,若∠DAC=60°,则∠D=_____.
【思路点拨】连结OA.∵AB、AC是⊙O的切线,
∴AO平分∠BAC,且OB⊥AB.又OB=BD,
∴OA=DA.∴∠OAB=∠DAB.
∴3∠DAB=60°.∴∠DAB=20°.∴∠D=70°.
【答案】∠D=70°.
7.若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2=r2+2Rd,则两圆的位置关系为()
A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交
【考点】圆和圆位置关系的判定
【思路点拨】由R2+d2=r2+2Rd得R2+d2-2Rd=r2,(R-d)2=r2,所以d=R±r,故选B.
【答案】B.
8.OA平分∠BOC,P是OA上任一点,P不与点O重合,且以P为圆心的圆与OC相离,那么圆P与OB的位
置关系是()
(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)不确定
【考点】直线和圆的位置关系.
【思路点拨】因为以点P为圆心的圆与OC相离,则P到OC的距离大于圆的半径.又因为角平分线上的一点
到角的两边的距离相等,则点P到OB的距离也大于圆的半径,故圆P与OB也相离.
【答案】A.
9.△ABC的三边长分别为a、b、c,它的内切圆的半径为r,则△ABC的面积为()
(A)(a+b+c)r (B)2(a+b+c) (C)(a+b+c)r (D)(a+b+c)r
【考点】内心到三角形三边的距离相等.
【解析】连结内心与三个顶点,则△ABC的面积等于三个三角形的面积之和,
所以△ABC的面积为a·r+b·r+c·r=(a+b+c)r.
【答案】A.
总结升华:
主要考查用点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及切线长定理解决问题.
举一反三:
【变式1】已知半径分别为r和2r的两圆相交,则这两圆的圆心距d的取值范围是()
(A)0<d<3r (B)r<d<3r (C)r≤d<3r (D)r≤d≤3r
【考点】相交两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.
【解析】当两圆相交时,圆心距d与两圆半径的关系为2r-r<d<2r+r,即r<d<3r.
【答案】B.
【变式2】如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.
【考点】角平分线的性质和切线的性质.
【解析】△AED是直角三角形,理由如下:
连结OE
AE平分∠BAC,∴∠1=∠2
OA=OE,∴∠1=∠3
∴∠2=∠3,∴AC//OE
ED是⊙O的切线,∴∠OED=90°
∴∠ADE=90°,∴△AED是直角三角形.
【变式3】在射线OA上取一点A,使OA=4cm,以A为圆心,作一直径为4cm的圆,问:
过O的射线OB与OA所夹的锐角取怎样的值时,⊙A与OB
(1)相离;
(2)相切;(3)相交.
【考点】直线与圆的位置关系的判定.
【思路点拨】判定直线与圆的位置关系,主要通过圆心到直线的距离与半径之间的比较:
设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离OP=d,则有:
①直线与圆相交d<r;
②直线与圆相切d=r;
③直线与圆相离d>r.
【解析】作于点C
AC=AO·sin
当AC=2cm时,锐角=30°,
∴当=30°时,该圆与OB相切;
当0°<<90°时,sin随的增大而增大.
∴30°<<90°时,AC>2cm,该圆与OB相离;0°<<30°时,该圆与OB相交.
【变式4】⊙O2和⊙O1相交于点A、B,它们的半径分别为2和,公共弦AB长为2,若圆心O1、O2在AB的同侧,则∠O1AO2=_____.
【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
【思路点拨】连结O1O2并延长交AB于点C,则O1O2⊥AB,AC=AB=1,在Rt△AO2C中可求得∠CAO2=60°,在Rt△AO1C中可求得∠CAO1=45°,得出结论∠O1AO2=15°.
【变式5】⊙O2和⊙O1相交于点A、B,它们的半径分别为2和,公共弦AB长为2,若圆心O1、O2在AB的同侧,则O1O2=_____.
【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理.
【思路点拨】连结O1O2并延长交AB于点C,则O1O2⊥AB,AC=AB=1,运用勾股定理,在Rt△AO2C中可求得CO2=,在Rt△AO1C中可求得CO1=1,则O1O2=CO2-CO1=-1.
【答案】O1O2=-1.
【变式6】⊙O2和⊙O1相交于点A、B,它们的半径分别为2和,公共弦AB长为2,则O1O2=_____.
【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理.
【思路点拨】分两种情况:
1、圆心O1、O2在AB的同侧,如图1;2、圆心O1、O2在AB的两侧,如图2.
图1 图2
【解析】连结O1O2并延长交AB于点C,则O1O2⊥AB,AC=AB=1,运用勾股定理,
在Rt△AO2C中可求得CO2=,在Rt△AO1C中可求得CO1=1,
(1)如图1,圆心O1、O2在AB的同侧时,则O1O2=CO2-CO1=-1;
(2)如图2,圆心O1、O2在AB的两侧时,则O1O2=CO2+CO1=+1.
【答案】O1O2=-1或+1.
考点三、圆与正多边形
10.如图,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.
【考点】切线的性质和扇形面积公式.
【解析】∵BC∥OA∴△ABC和△OBC同底等高∴S△ABC=S△OBC
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积.
∵AB是⊙O的切线∴OB⊥BA在Rt△ABO中,OA=4,OB=2∴∠OAB=30°
则可得∠BOA=60°可得结论.
11.扇形的半径为6cm,面积为9cm2,那么扇形的弧长为______,扇形的圆心角度数为_____.
【考点】弧长公式和扇形面积公式.
【解析】已知扇形面积为9cm2,半径为6cm,则弧长;设圆心角的度数为n,
则,所以.
【答案】3;.
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