算法设计与分析期末试题考试版Word格式.docx

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将各个子问题的解合并为原问题的解。

递归：

直接或间接的调用自身的算法，叫做递归算法。

1·

期盘覆盖

用分治策略，可以设计解棋盘问题的一个简捷的算法。

当k>

0时，将2^k*2^k棋盘分割为4个2^（k-1）*2^（k-1）子棋盘

特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。

为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小的棋盘的汇合处，如下图所示，这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。

递归的使用这种分割，直至棋盘简化为1x1棋盘。

2·

合并排序

合并排序，顾名思义，就是通过将两个有序的序列合并为一个大的有序的序列的方式来实现排序。

合并排序是一种典型的分治算法：

首先将序列分为两部分，然后对每一部分进行循环递归的排序，然后逐个将结果进行合并。

合并排序最大的优点是它的时间复杂度为O（nlgn），这个是我们之前的选择排序和插入排序所达不到的。

他还是一种稳定性排序，也就是相等的元素在序列中的相对位置在排序前后不会发生变化。

他的唯一缺点是，需要利用额外的N的空间来进行排序。

合并排序依赖于合并操作，即将两个已经排序的序列合并成一个序列，具体的过程如下：

1.申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，然后将待排序数组复制到该数组中。

2.设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置

3.比较复制数组中两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到原始待排序数组中，并移动指针到下一位置

4.重复步骤3直到某一指针达到序列尾

5.将另一序列剩下的所有元素直接复制到原始数组末尾

3·

快速排序

（1）在数据集之中，选择一个元素作为"

基准"

（pivot）。

（2）所有小于"

的元素，都移到"

的左边；

所有大于"

的右边。

　　（3）对"

左边和右边的两个子集，不断重复第一步和第二步，直到所有子集只剩下一个元素为止。

（1）快速排序问题

设a[0:

n-1]是一个未排序的数组，如{0，12，45，3，6，29，4，16，77}。

实现快速排序算法对该数组进行排序。

（2）步骤

对于输入的子序列L[p..r]分三步处理：

第一步：

分解（Divide）

先从数据序列中选一个元素，称为基准元素。

将序列中所有比基准元素小的元素都放到它的左边，比基准元素大的元素都放到它的右边。

在序列L[p..r]中选择基准元素L[q]，经比较和移动后，L[q]将处于L[p..r]中间的适当位置，使得基准元素L[q]的值大于L[p..q-1]中任一元素的值，基准元素L[q]的值小于L[q+1..r]中任一元素的值。

第二步：

递归求解（Conquer）

再对左右两边分别用同样的方法处理，直到每一个待处理的序列的长度为1。

通过递归调用快速排序算法，分别对L[p..q-1]和L[q+1..r]进行排序。

第三步：

合并（Merge）

由于对分解出的两个子序列的排序是就地进行的，所以在L[p..q-1]和L[q+1..r]都排好序后不需要执行任何计算L[p..r]就已排好序，即自然合并。

这个解决流程是符合分治法的基本步骤的。

贪心算法

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。

也就是

说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

（2）特性：

贪心算法采用自顶向下，以迭代的方法做出相继的贪心选择，每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题，通过每一步贪心选择，可得到问题的一个最优解，虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪婪法不要回溯。

能够用贪心算法求解的问题一般具有两个重要特性：

贪心选择性质和最优子结构性质

（3）贪心算法与动态规划算法的差异:

动态规划和贪心算法都是一种递推算法，均有最优子结构性质，通过局部最优解来推导全局最优解。

两者之间的区别在于：

贪心算法中作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留，贪心算法每一步的最优解一定包含上一步的最优解。

动态规划算法中全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解。

活动安排问题

由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。

直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。

也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。

最小生成树

Prim算法

设G 

= 

（V,E）是连通带权图，V 

{1,2,…,n}。

构造G的最小生成树Prim算法的基本思想是：

首先置S 

{1}，然后，只要S是V的真子集，就进行如下的贪心选择：

选取满足条件i 

∈S,j 

∈V 

– 

S,且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。

这个过程一直进行到S 

V时为止。

在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。

Kruskal算法

给定无向连同带权图G 

（V,E）,V 

{1,2,...,n}。

Kruskal算法构造G的最小生成树的基本思想是：

（1）首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。

将所有的边按权从小大排序。

（2）从第一条边开始，依边权递增的顺序检查每一条边。

并按照下述方法连接两个不同的连通分支：

当查看到第k条边（v,w）时，如果端点v和w分别是当前两个不同的连通分支T1和T2的端点是，就用边（v,w）将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；

如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看k+1条边。

这个过程一个进行到只剩下一个连通分支时为止。

动态规划

基本思想：

基本思想

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中，可能会有许多可行解。

每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。

若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。

这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

基本步骤

（1）划分阶段：

按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。

注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的（即无后向性），否则问题就无法用动态规划求解。

（2）选择状态：

将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。

当然，状态的选择要满足无后效性。

（3）确定决策并写出状态转移方程：

之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。

所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。

但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。

动态规划算法分以下4个步骤：

1.描述最优解的结构

2.递归定义最优解的值

3.按自底向上的方式计算最优解的值//此3步构成动态规划解的基础。

4.由计算出的结果构造一个最优解。

//此步如果只要求计算最优解的值时，可省略。

好，接下来，咱们讨论适合采用动态规划方法的最优化问题的俩个要素：

最优子结构性质，和子问题重叠性质。

最优子结构性

简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。

一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

重叠子问题

在递归算法自顶向下解决问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算了多次。

动态规划正是利用这种重叠子问题性质，对每一子问题直解一次，而后将其解保存在一个表格中，当每次需要时，只简单用常数时间查看一下结果。

备忘录方法

备忘录方法是动态规划算法的变形。

与动态规划算法一样，备忘录方法用表格保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此子问题时，只要简单查看该问题的解答，而不必重新计算。

与动态规划算法不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下，而动态规划算法是自底向上递归。

矩阵连乘

最长公共子序列

2.1、最长公共子序列的结构

最长公共子序列的结构有如下表示：

设序列X=<

x1,x2,…,xm>

和Y=<

y1,y2,…,yn>

的一个最长公共子序列Z=<

z1,z2,…,zk>

，则：

1.若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；

2.若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；

3.若xm≠yn且zk≠yn 

，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

其中Xm-1=<

x1,x2,…,xm-1>

，Yn-1=<

y1,y2,…,yn-1>

，Zk-1=<

z1,z2,…,zk-1>

。

2.2、子问题的递归结构

由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<

的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：

当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm（=yn）即可得X和Y的一个最长公共子序列。

当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。

这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。

由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。

例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的最长公共子序列。

而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

与矩阵连乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。

用c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。

其中Xi=<

x1,x2,…,xi>

，Yj=<

y1,y2,…,yj>

当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故c[i,j]=0。

其他情况下，由定理可建立递归关系如下：

2.3、计算最优值

直接利用上节节末的递归式，我们将很容易就能写出一个计算c[i,j]的递归算法，但其计算时间是随输入长度指数增长的。

由于在所考虑的子问题空间中，总共只有θ（m*n）个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH（X,Y）以序列X=<

作为输入。

输出两个数组c[0..m,0..n]和b[1..m,1..n]。

其中c[i,j]存储Xi与Yj的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。

最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。

由算法LCS_LENGTH计算得到的数组b可用于快速构造序列X=<

的最长公共子序列。

首先从b[m,n]开始，沿着其中的箭头所指的方向在数组b中搜索。

∙当b[i,j]中遇到"

↖"

时（意味着xi=yi是LCS的一个元素），表示Xi与Yj的最长公共子序列是由Xi-1与Yj-1的最长公共子序列在尾部加上xi得到的子序列；

↑"

时，表示Xi与Yj的最长公共子序列和Xi-1与Yj的最长公共子序列相同；

←"

时，表示Xi与Yj的最长公共子序列和Xi与Yj-1的最长公共子序列相同。

这种方法是按照反序来找LCS的每一个元素的。

由于每个数组单元的计算耗费Ο

（1）时间，算法LCS_LENGTH耗时Ο（mn）。

流水线调度

1，在M1上加工时间短的任务优先，而在M2上加工时间短的任务排在最后

2，如果最小的时间是Tk1则将任务k排在第一位，如果最小的任务Tk2则排在最后一个。

最优二叉搜索树

对于有n个关键码的集合，其关键码有n!

种不同的排列，可构成的不同二叉搜索树有

棵。

（n个结点的不同二叉树,卡塔兰数）。

如何评价这些二叉搜索树，可以用树的搜索效率来衡量。

例如：

标识符集{1,2,3}＝{do,if,stop}可能的二分检索树为：

若P1=0.5,P2=0.1,P3=0.05,q0=0.15,q1=0.1,q2=0.05,q3=0.05，求每棵树的平均比较次数（成本）。

Pa（n）=1×

p1+2×

p2+3×

p3+1×

q0+2×

q1+3×

（q2+q3） 

=1×

0.5+2×

0.1+3×

0.05+1×

0.05+2×

0.1+3×

（0.05+0.05） 

=1.5

Pb（n）=1×

p3+3×

p2+1×

q3+ 

3×

（q1+q2） 

0.05+3×

0.1+1×

0.15+2×

0.05+3×

（0.1+0.05） 

=1.6

Pc（n）=1×

p2+2×

（p1+ 

p3）+2×

（q0+q1+q2+q3） 

0.1+2×

（0.5+0.05）+2×

（0.15+0.1+0.05+0.05） 

=1.9

Pd（n）=1×

p3+2×

p1+3×

p2+1×

q3+2×

q0+3×

（q1+q2） 

0.05+2×

0.5+3×

0.1+1×

0.05+2×

0.15+3×

（0.1+0.05） 

=2.15

Pe（n）=1×

p1+1×

q2+3×

（q0+q1） 

0.1+3×

0.5+1×

（0.15+0.1） 

=2.85

因此，上例中的最小平均路长为Pa（n）=1.5。

可以得出结论：

结点在二叉搜索树中的层次越深，需要比较的次数就越多，因此要构造一棵最小二叉树，一般尽量把搜索概率较高的结点放在较高的层次。

P=*深度+*路径长。

最优二叉搜索树：

在一个表示S的二叉树T中，设存储元素xi的结点深度为ci；

叶结点（xj，xj＋1）的结点深度为dj。

注：

在检索过程中，每进行一次比较，就进入下面一层，对于成功的检索，比较的次数就是所在的层数加1。

对于不成功的检索，被检索的关键码属于那个外部结点代表的可能关键码集合，比较次数就等于此外部结点的层数。

对于图的内结点而言，第0层需要比较操作次数为1，第1层需要比较2次，第2层需要3次。

回溯法

1.简单概述

回溯法思路的简单描述是：

把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

基本思想类同于：

·

图的深度优先搜索

二叉树的后序遍历

【分支限界法：

广度优先搜索

思想类同于：

图的广度优先遍历

二叉树的层序遍历】 

一些概念

（1）问题的解向量：

回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式（x1,x2,…,xn）的形式。

（2）显约束：

对分量xi的取值限定。

（3）隐约束：

为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。

（4）解空间：

对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。

（5）扩展结点:

一个正在产生儿子的结点称为扩展结点

（6）活结点:

一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点

（7）死结点:

一个所有儿子已经产生的结点称做死结点

（8）深度优先的问题状态生成法：

如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。

在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）

（9）宽度优先的问题状态生成法：

在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点

（10）回溯法：

为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数（boundingfunction）来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。

具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法

按照深度优先策略，从根结点出发搜索解空间。

算法搜索至解空间的任一结点时总是先判断该结点是否问题的约束条件。

如果满足进入该子树，继续按深度优先的策略搜索。

否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。

其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法

回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。

剪枝函数包括两类：

1.使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；

2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。

解空间树分为两种：

子集树和排列树。

两种在算法结构和思路上大体相同。

1.子集树

所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。

如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。

它的解空间就是一个典型的子集树。

回溯法搜索子集树的算法范式如下：

[cpp] 

viewplaincopy

1.void 

backtrack 

（int 

t） 

2.{ 

3. 

if 

（t>

n） 

output（x）;

4. 

else 

5. 

for 

i=0;

i<

=1;

i++） 

{ 

6. 

x[t]=i;

7. 

（constraint（t）&

&

bound（t）） 

backtrack（t+1）;

8. 

} 

2.排列树

所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。

如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。

它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。

回溯法搜索排列树的算法范式如下：

1.<

span 

style="

font-size:

18px;

"

>

void 

i=t;

=n;

swap（x[t], 

x[i]）;

9. 

基本步骤：

1、确定问题的解空间：

应用回溯法时，首先应明确定义问题的解的空间。

问题的解空间应至少包含问题的一个解。

2、确定结点的扩展规则

3、搜索解空间：

从开始结点出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。

分支限界法

一、分支限界法与回溯法的区别与联系

（1）求解目标：

回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。

（2）搜索方式的不同：

回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

二、分支限界法的基本思想

分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。

在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。

在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。

此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。

这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止

（1）描述：

采用广度优先产生状态空间树的结点，并使用剪枝函数的方法称为分枝限界法。

所谓“分支”是采用广度优先的策略，依次生成扩展结点的所有分支（即：

儿子结点）。

所谓“限界”是在结点扩展过程中，计算结点的上界（或下界），边搜索边减掉搜索树的某些分支，从而提高搜索效率。

（2）原理：

按照广度优先的原则，一个活结点一旦成为扩展结点（E-结点）R后，算法将依次生成它的全部孩子结点，将那些导致不可行解或导致非最优解的儿子舍弃，其余儿子加入活结点表中。

然