全国高中数学联赛试题及答案4Word文档格式.docx

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1．若函数f

x

x2

且f（n）

f

fx

，则f99

1

．

n

2．已知直线L:

xy

9

0和圆M:

2x2

2y2

8x

8y

10，点A在直线L上，B，

C为圆M上两点，在

ABC中，

BAC

45

，AB过圆心M，则点A横坐标范围

为

y≥

．在坐标平面上有两个区域

M

和N，

y

≤

，N是随

t

变化的区域，它由

3

y≤

2

不等式t≤x≤t

1所确定，

t的取值范围是

0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数

ft

4．使不等式

a

20071对一切正整数

n都成立的最小正整数

1n

2n

a的值为

5．椭圆x

b

0上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OPOQ的最

a2

b2

小值为

6．若方程lgkx

2lg

仅有一个实根，那么

k的取值范围是

7．一个由若干行数字组成的数表，

从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数

之和，最后一行仅有一个数，第一行是前

100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的

数是

（可以用指数表示）

8．某车站每天

8∶00~9∶00，9∶00~10∶00

都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随

机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为

到站时刻

8∶10

8∶30

8∶50

9∶10

9∶30

9∶50

概率

6

一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为

（精确到分）．

二、解答题

1．（14分）设直线l:

y

kxm（其中k，m

为整数）与椭圆

16

1交于不同两

y2

12

点A，

B，与双曲线

1交于不同两点

C，D，问是否存在直线

l，使得向量

4

ACBD0，若存在，指出这样的直线有多少条？

若不存在，请说明理由．

2．（15分）已知p，qq0是实数，方程x2pxq0有两个实根，，数列an满足a1p，a2p2q，anpan1qan2n3，4，

（Ⅰ）求数列an的通项公式（用，表示）；

（Ⅱ）若p1，q1，求an的前n项和．

3．（15分）求函数yx2713xx的最大和最小值．

加试

一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）

9．如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆

中点．过点C作PC∥MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI

⑴求证：

MPMTNPNT；

⑵在弧AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记

上弧BC、AC的并延长交圆于T．

AQC，△QCB的内

心分别为I1，I2，

PC

NM

IB

A

求证：

Q，I1，I2，T四点共圆．

T

Q

10．求证不等式：

k

lnn≤1，n

1，2，⋯

k1k

11．设k，l是给定的两个正整数．证明：

有无穷多个正整数m≥k，使得Ckm与l互素．

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