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ex
e
e2
lim
x0
双曲正弦
:
shx
1)x
lim(1
2.718281828459045...
双曲余弦
chx
chx
双曲正切
thx
x2
xx
1)
arshx
archx
ln(x1ln1
21
arthx
三角函数公式:
·
诱导公式:
函数
角A
-α
90°
-α
+α
180°
270°
360°
tg
ctg
-sinα
cosαcosαsinα
-cosα
cosα
sinα
-tgα
ctgα
-ctgα
-tgαtgαctgα
tgα
-tgα
-ctgαctgαtgα
α
αα
-sin
-cos
和差角公式:
和差化积公式:
sin(
cos(
)
costg
2sin
2cos
tg(
ctg(
第2页,共14页
倍角公式:
sin2
cos2
2cos
ctg2
2ctg2tg
1tg2
4sin3
3cos
tg3
sin3
cos3
3sin
3
4cos
3tg
ctg2
tg2
半角公式:
coscos
sinA
b
c
sinC
c2
b2
2R
正弦定理:
2abcosC
余弦定理:
sinB
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
反三角函数性质:
高阶导数公式——莱布尼兹(
)公式:
Leibniz
(uv)(n)
k
(nk)v(k)
Cu
k0
n(n1)
2!
n(n
(n
k!
(n)
(n1)
(n2)
(nk)(k)
(n)
uv
nu
v
uv
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
f(a)
F(a)
f()(b
a)
F(b)
f
F
(
拉格朗日中值定理。
柯西中值定理:
当F(x)
曲率:
x时,柯西中值定理就是
y2dx,其中y
弧微分公式:
ds
平均曲率:
K
从M点到M
点,切线斜率的倾角变
化量;
s:
MM
弧长。
.
s
y
d
M点的曲率:
s0
23
(1
y)
直线:
0;
1.
半径为a的圆:
第3页,共14页
定积分的近似计算:
矩形法:
f(x)
ab
梯形法:
(y0
y1
yn1)
a1
[(y0
yn)
yn
1]
n2
抛物线法:
f(x)
[(y0
2(y2
y4
2)
4(y1
y3
1)]
3n
定积分应用相关公式:
功:
W
水压力:
p
A
m1m2
引力:
k为引力系数
r
函数的平均值:
y
f(x)dx
f2(t)dt
均方根:
空间解析几何和向量代数:
)2
)2
空间2点的距离:
MM
(x
(y
(z
z)
12
向量在轴上的投影:
是AB与u轴的夹角。
PrjuAB
AB
Prju(a1
a2)
bcos
Prja1
axbx
Prja2
ayby
azbz,是一个数量
ab
azbz2
两向量之间的夹角:
ay
az
bx
by
bz
i
j
az,cbz
.例:
线速度:
bsin
w
r.
bxcx
cy
bzcz
向量的混合积:
[abc]
为锐角时,
(a
b)
ccos
代表平行六面体的体积
。
第4页,共14页
平面的方程:
1、点法式:
0,其中
A(x
x0)
By
yb
B(y
Cz
y0)C(z
z0)
{A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax
D
z
3、截距世方程:
Ax0By0Cz0
平面外任意一点到该平
面的距离:
B
yz
x0
y0z0
mt
ntpt
m
yy0
zz0
空间直线的方程:
t,其中s
{m,n,p};
参数方程:
二次曲面:
1、椭球面:
2、抛物面:
x
z(,
p,q同号)
2p
2q
3、双曲面:
单叶双曲面:
双叶双曲面:
(1马鞍面)
多元函数微分法及应用
zdx
zdyy
udx
udy
udzz
全微分:
dz
du
全微分的近似计算:
多元复合函数的求导法
:
dz
fx(x,y)
fy(x,y)
dt
uz
t
f[u(t),v(t)]
f[u(x,y),v(x,y)]
当u
u(x,y),v
v(x,y)时,
vdxx
vdyy
dv
隐函数的求导公式:
dy
zx
Fx,
Fy
dy
Fx
Fx)Fy
隐函数F(x,y)
0,
)+
Fz
zy
隐函数F(x,y,z)
第5页,共14页
uG
vG
F(x,y,u,v)
隐函数方程组:
G(x,y,u,v)
Fu
Gu
Fv
Gv
(F,G)
(u,v)
J
uy
J1
(F,G)
(x,v)
(y,v)
vy
(F,G)
(u,x)
(F,G)
(u,y)
微分法在几何上的应用:
(t)
(t)在点M(x(t)
xx0
(t0)
y0
(t0)
z0
空间曲线
)处的切线方程:
y
z
000
在点M处的法平面方程:
(t0)(x
(t0)(y
y0)
Gy
(t0)(z
Gz
Gy
F(x,y,z)
G(x,y,z)
Gz
若空间曲线方程为:
则切向量
T
{
}
Gx
Gx
曲面F(x,y,z)
0上一点
M(x0,y0,z0),则:
{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
1、过此点的法向量:
2、过此点的切平面方程
Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(y
Fz(x0,y0,z0)(z
3、过此点的法线方程:
Fx(x0,y0,z0)
Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
方向导数与梯度:
l
函数z
f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向
l的方向导数为:
其中
为x轴到方向l的转角。
f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)
它与方向导数的关系是
e,其中e
j,为l方向上的
gradf(x,y)
单位向量。
是gradf(x,y)在l上的投影。
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)
0,令:
fy(x0,y0)
fxx(x0,y0)
A,
fxy(x0,y0)
B,
fyy(x0,y0)
0,(x0,y0)为极大值
0,(x0,y0)为极小值
0时,
AC
则:
0时,
无极
不确定
值
第6页,共14页
重积分及其应用:
f(x,y)dxdy
f(rcos
rsin
)rdrd
曲面z
f(x,y)的面积A
dxdy
(x,y)d
M
平面薄片的重心:
(x,y)d
平面薄片的转动惯量:
对于x轴I
对于
y轴I
平面薄片(位于
xoy平面)对
z轴上质点
0)的引力:
{Fx,Fy,Fz},其中:
M(0,0,a),(a
(x,y)yd
(x,y)xd
fa
a2)2
(x2
y2
y2
柱面坐标和球面坐标:
xrcos
yrsin
柱面坐标:
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
z)rdrd
dz,
z)
其中:
rsin
rsin
r2sin
球面坐标:
rd
dr
drd
rcos
r(
)
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
)rsin
dv,
重心:
zdv,
dv,
转动惯量:
I
(x
Iz
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧
长的曲线积分):
(t)
设f
(x,y)在L上连续,
L的参数方程为:
),则:
2(t)
2(t)dt
特殊情况:
f(x,y)ds
f[
(t),
(t)]
L
第7页,共14页
第二类曲线积分(对坐
标的曲线积分):
设L的参数方程为
,则:
P(x,y)dx
Q(x,y)dy
{P[
Q[
(t)]
(t)}dt
两类曲线积分之间的关
系:
Pdx
的方向角。
)ds,其中
和分别为
Qdy
(Pcos
Qcos
L上积分起止点处切向量
Q
P
)dxdy
格林公式:
Qdy格林公式:
x,即:
Q
2L
当P
2时,得到D的面积:
A
y,Q
xdy
ydx
平面上曲线积分与路径
无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
Q=
P。
注意奇点,如
2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数
,且
(0,0),应
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
二元函数的全微分求积
P时,Pdxy
(x,y)
P(x,y)dx
(x0,y0)
在
Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
Q(x,y)dy,通常设x0
0。
u(x,y)
曲面积分:
对面积的曲面积分:
f(x,y,z)ds
f[x,y,z(x,y)]
zx(x,y)
zy(x,y)dxdy
Dxy
对坐标的曲面积分:
R(x,y,z)dxdy,其中:
P(x,y,z)dydz
Q(x,y,z)dzdx
R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正
号;
R(x,y,z)dxdy
P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正
P(x,y,z)dydz
Dyz
Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正
号。
Dzx
两类曲面积分之间的关
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
Rcos
)ds
高斯公式:
第8页,共14页
R
)dv
Pdydz
(Pcos
Qcos
Rcos
)ds
高斯公式的物理意义
—
Ands
—通量与散度:
R,即:
单位体积内所产生z
散度:
的流体质量,若
0,则为消失
div
...
通量:
)ds,
nds
因此,高斯公式又可写
成:
divAdv
Ands
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
Q)dydzz
R)dzdxx
P)dxdyy
Rdz
dydz
dzdx
上式左端又可写成:
PP
R,
关的条件:
R
Q,
空间曲线积分与路径无
旋度:
rotA
的环流量:
Pdx
向量场A沿有向闭曲线
tds
常数项级数:
1q
q2
qn1
等比数列:
q
1)n2
(n
等差数列:
1是发散的
调和级数:
级数审敛法:
第9页,共14页
1、正项级数的审敛法
——根植审敛法(柯西判
1时,级数收敛
1时,级数发散
1时,不确定
别法):
设:
un,则
2、比值审敛法:
Un
1,则
U
3、定义法:
un;
limsn存在,则收敛;
否则发
散。
sn
u1
交错级数u1
(或
0)的审敛法——莱布尼兹定理:
u3u4
un
u3
un
如果交错级数满足
,那么级数收敛且其和
u1,其余项rn的绝对值
1。
rn
limun
绝对收敛与条件收敛:
,其中un为任意实数;
(1)u1
(2)u1
如果
(2)收敛,则
如果
(2)发散,而
(1)肯定收敛,且称为绝对
收敛级数;
(1)收敛,则称
(1)为条件收敛级数。
1发散,而
(1)
收敛;
级数:
p
1时发散
1时收敛
p级数:
幂级数:
第10页,共14页
1时,收敛于
1时,发散
对于级数
,如果它不是仅在原点
R时收敛
收敛,也不是在全
(3)a0
a1x
a2x
anx
数轴上都收敛,则必存
在R,使
R时发散,其中R称为收敛半径。
R时不定
0时,R
an
求收敛半径的方法:
设
,其中
an,an
是(3)的系数,则
时,R
函数展开成幂级数:
f(x0)
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