七年级数学经典题Word文件下载.docx
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的值.
(提示:
此题可看作例1的升级版,求出a、b的值代入就成为了例1.)
2、代数式
的所有可能的值有()个(2、3、4、无数个)
【参考答案】
1、
2、3
字母表示数篇
用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时,单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程,我们可把要求的式子适当变形,采用整体代入法或特殊值法.
【典型例题】
例1已知:
3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____
分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”,先把条件化成最简,然后把要求的代数式化成能代入的形式,代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法,可以用“特殊值法”,取y=0,由3x-6y-5=0,可得
把x、y的值代入2x-4y+6可得答案
.这种方法只对填空和选择题可用,解答题用这种方法是不合适的.
解由3x-6y-5=0,得
所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=
例2已知代数式
,其中n为正整数,当x=1时,代数式的值是,当x=-1时,代数式的值是.
分析当x=1时,可直接代入得到答案.但当x=-1时,n和(n-1)奇偶性怎么确定呢?
因n和(n-1)是连续自然数,所以两数必一奇一偶.
解当x=1时,
=3
当x=-1时,
=1
例3152=225=100×
1(1+1)+25,252=625=100×
2(2+1)+25
352=1225=100×
3(3+1)+25,452=2025=100×
4(4+1)+25……
752=5625=,852=7225=
(1)找规律,把横线填完整;
(2)请用字母表示规律;
(3)请计算20052的值.
分析这类式子如横着不好找规律,可竖着找,规律会一目了然.100是不变的,加25是不变的,括号里的加1是不变的,只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.
解
(1)752=100×
7(7+1)+25,852=100×
8(8+1)+25
(2)(10n+5)2=100×
n(n+1)+25
(3)20052=100×
200(200+1)+25=4020025
例4如图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②,再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③.S表示三角形的个数.
(1)当n=4时,S=,
(2)请按此规律写出用n表示S的公式.
分析当n=4时,我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢?
单纯从结果有时我们很难看出规律,要学会从变化过程找规律.如本题,可用列表法来找,规律会马上显现出来的.
解
(1)S=13
(2)可列表找规律:
n
1
2
3
…
S
5
9
4(n-1)+1
S的变化过程
1+4=5
1+4+4=9
1+4+4+…+4=4(n-1)+1
所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)
1、观察下面一列数,探究其中的规律:
—1,
,
①填空:
第11,12,13三个数分别是,,;
②第2008个数是什么?
③如果这列数无限排列下去,与哪个数越来越近.
2、观察下列各式:
1+1×
3=22,1+2×
4=32,1+3×
5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:
1、①
;
②
③0.
2、1+n×
(n+2)=(n+1)2
平面图形及其位置关系篇
平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单,但有时不好表述,也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样,但只要表述清楚了就可以了,不过在写清楚的情况下要尽量简便.
例1平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为______个,最多为______个.
分析6条直线两两相交交点个数最少是1个,最多怎么求呢?
我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.
解找交点最多的规律:
直线条数
4
交点个数
6
交点个数变化过程
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+…+(n-1)
图形
图1
图2
图3
例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点,任选9点中的两个连一条直线,则一共可以连()条直线.
A.20B.36C.34D.22
分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线,再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线,共22条直线.故选D.
例3如图,OM是∠AOB的平分线.射线OC在∠BOM内,ON是∠BOC的平分线,已知∠AOC=80°
,那么∠MON的大小等于_______.
分析求∠MON有两种思路.可以利用和来求,即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求,方法就多了,∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线,想办法和已知的∠AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试,不动笔是很难解出来的.
解因为OM是∠AOB的平分线,ON是∠BOC的平分线,
所以∠MOB=
∠AOB,∠NOB=
∠COB
所以∠MON=∠MOB-∠NOB=
∠AOB-
∠COB=
(∠AOB-∠COB)=
∠AOC=
×
80°
=40°
例4如图,已知∠AOB=60°
,OC是∠AOB的平分线,OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.
(1)求∠DOE的大小;
(2)当OC在∠AOB内绕O点旋转时,OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线,问此时∠DOE的大小是否和
(1)中的答案相同,通过此过程你能总结出怎样的结论.
分析此题看起来较复杂,OC还要在∠AOB内绕O点旋转,是一个动态问题.当你求出第
(1)小题时,会发现∠DOE是∠AOB的一半,也就是说要求的∠DOE,和OC在∠AOB内的位置无关.
解
(1)因为OC是∠AOB的平分线,OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.
所以∠DOC=
∠BOC,∠COE=
∠COA
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=
∠BOC+
∠COA=
(∠BOC+∠COA)=
∠AOB
因为∠AOB=60°
所以∠DOE=
∠AOB=
60°
=30°
(2)由
(1)知∠DOE=
∠AOB,和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的大小和
(1)中的答案相同.
1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点,连接其中任意两点可得到一条线段,这样的线段共可连出_______条.
2、在1小时与2小时之间,时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分.
1、15条2、
.
一元一次方程篇
一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。
解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数,去掉分母,一定要添上括号,这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时,要学会代入和分类讨论。
列方程解应用题,主要是列方程,要注意列出的方程必须能解、易解,也就是列方程时要选取合适的等量关系。
例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同,求a的值.
分析因为两方程的解相同,可以先解出其中一个,把这个方程的解代入另一个方程,即可求解.认真观察可知,本题不需求出x,可把2x整体代入.
解由2x+3=2a,得2x=2a-3.
把2x=2a-3代入2x+a=2得
2a-3+a=2,
3a=5,
所以
例2解方程
分析这是一个非常好的题目,包括了去分母容易错的地方,去括号忘变号的情况.
解两边同时乘以6,得
6x-3(x-1)=12-2(x+1)
去分母,得
6x-3x+3=12-2x-2
6x-3x+2x=12-2-3
5x=7
x=
例3某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率.
分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系,因销售价=进价×
(1+利润率),故还需设出进价,利用销售价不变,辅助设元建立方程.
解:
设原进价为x元,销售价为y元,那么按原进价销售的利润率为
原进价降低后在销售时的利润率为
由题意得:
+8%=
解得y=
故这种商品原来的利润率为
=17%.
例4解方程│x-1│+│x-5│=4
分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论,而对于含两个绝对值的方程,道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”,再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.
由题意可知,当│x-1│=0时,x=1;
当│x-5│=0时,x=和5两个“零点”把x轴分成三部分,可分别讨论:
1)当x<
1时,原方程可化为–(x-1)-(x-5)=4,解得x=1.因x<
1,所以x=1应舍去.
2)当1≤x≤5时,原方程可化为(x-1)-(x-5)=4,解得4=4,所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.
3)当x>
5时,原方程可化为(x-1)+(x-5)=4,解得x=5.因x>
5,故应舍去.
所以,1≤x≤5是比不过的。
1、已知关于x的方程3[x-2(x-
)]=4x和
有相同的解,那么这个解是.(提示:
本题可看作例1的升级版)
2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地,那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时.
2、
生活中的数据篇
生活中的数据问题,我们要分清三种统计图的特点,条形图表示数量多少,折线图表示变化趋势,扁形图表示所占百分比.学会观察,学会思考,这类问题相对是比较简单的.
例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果:
(单位:
分)
研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队,并回答下列问题:
(1)你是怎样设计统计图的?
(2)你是怎样评价这两支球队的?
和同学们交流一下自己的想法.
分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图,达到直观、有效地目的.
解用复式条形统计图:
(如下图)
从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场.
例2根据下面三幅统计图(如下图),回答问题:
(1)三幅统计图分别表示了什么内容?
(2)从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况?
(3)2050年非洲人口大约将达到多少亿你是从哪幅统计图中得到这个数据的
(4)2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论?
分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答.
解
(1)折线统计图表示世界人囗的变化趋势,条形统计图表示各洲人囗的多少,扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.
(2)折线统计图
(3)80亿,折线统计图.
(4)扇形统计图
1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图,根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)哪国金牌数最多?
(2)中国可排第几位?
(3)如果你是中国队的总教练,将会以谁为下一次奥运会的追赶目标?
1、
(1)美国
(2)第3位(3)俄罗斯.
平行线与相交线篇
平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单,当交替使用时就不太好把握了,有时不易分清何时用性质,何时用判定.我们只要记住因为是条件,所以得到的是结论,再对照性质定理和判定定理就容易分清了.
这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了,但如何写出来呢?
往往不知道先写什么,后写什么.写过程是为了说清楚一件事,是为了让别人能看懂,我们带着这种目的去写就能把过程写好了.
例1平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,过每2点作一条直线,一共可以作直线()条.
A.7B.6C.9D.8
分析与解这样的5个点我们可以画出来,直接查就可得到直线的条数.也可以设只有A、B、C三点在一条直线上,D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条,A、B、C三点确定一条直线,D、E两点确定一条直线,这样5个点共确定8条直线.故选D.
例2已知∠BED=60°
∠B=40°
∠D=20°
求证:
AB∥CD.
分析要证明两条直线平行,可考虑使用哪种判定方法得到平行?
已知三个角的度数,但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明平行.过点E作AB的平行线,可证明FG与CD也平行,由此得到AB∥CD.连接BD,利用同旁内角互补也可证明.
解延长BE交CD于O,
∵∠BED=60°
∴∠BOD=∠BED-∠D=60°
-20°
∵∠B=40°
∴∠BOD=∠B,
∴AB∥CD.
其他方法,可自己试试!
例3如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线,求证:
∠EDF=∠BDF.
分析由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF,又知AC∥ED,利用内错角和同位角相等可得到结论.
解∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴CE∥DF
∴∠EDF=∠DEC,∠BDF=∠DCE,
∵AC∥ED,
∴∠DEC=∠ACE,
∴∠EDF=∠ACE.
∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠DCE=∠ACE,
∴∠EDF=∠BDF.
例4如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点,求∠AOB的度数.
分析已知∠C=90°
,由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°
,由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°
,所以可得∠AOB的度数.
解∵OA是∠CAB的平分线,OB是∠CBA的平分线,
∴∠OAB=
∠CAB,∠OBA=
∠CBA,
∴∠OAB+∠OBA=
∠CAB+
∠CBA=
(∠CAB+∠CBA)=
(180°
-∠C)=45°
∴∠AOB=180°
-(∠OAB+∠OBA)=135°
(注:
其实∠AOB=180°
-(∠OAB+∠OBA)=180°
-
-∠C)
=90°
+
∠C.
所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关,可以作为结论记住.)
1、如图,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证:
β=2α.(提示:
本题可看作例2的升级版)
2、如图,E是DF上一点,B是AC上一点,∠1=∠2,
∠C=∠D,求证:
∠A=∠F.
1、可延长BC或DC,也可连接BD,也可过C做平行线.
2、先证BD∥CE,再证DF∥AC.
三角形篇
三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法,找出对应的边和角,注意一定要对应,不然会很容易出错.如用SAS证全等,必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等,条件中不具备两个全等的三角形,我们就需要适当作辅助构造全等.
例1如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC、AC边上,且∠1=∠B,AD=DE.求证:
△ADB≌△DEC.
分析要证△ADB和△DEC全等,已具备AD=DE一对边,由AB=AC可知∠B=∠C,还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B知,找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.
证明∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠1=∠B,
∴∠1=∠C,
∵∠BDA=∠DAC+∠C,∠CED=∠DAC+∠1
∴∠BDA=∠CED.
在△ADB和△DEC中
∴△ADB≌△DEC(AAS).
例2如图,AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E,求证:
AB=AC+BD.
分析要证AB=AC+BD有两种思路,可以把AB分成两段分别和AC、BD相等,也可以把AC、BD平移连接成一条线段,证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程.
证明在AB上截取AF=AC,连接EF,
∵EA别平分∠CAB,
∴∠CAE=∠FAE,
在△ACE和△AFE中
∴△ACE≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE.
∵AC∥BD,
∴∠C+∠D=180°
∵∠AFE+∠BFE=180°
∴∠BFE=∠D.
∵EB平分∠DBA,
∴∠FBE=∠DBE
在△BFE和△BDE中
∴△BFE≌△BDE(AAS),
∴BF=BD.
∵AB=AF+BF,
∴AB=AC+BD.
例3如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:
(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ.
分析观察AP和AQ所在的三角形,明显要证△ABP和△QCA全等.证出全等AP=AQ可直接得到,通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°
证明
(1)∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,
∴∠AEC=∠ADB=90°
∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°
∴∠ABP=∠QCA
在△ABP和△QCA中
∴△ABP≌△QCA(SAS),
∴AP=AQ.
(2)由
(1)△ABP≌△QCA,
∴∠P=∠QAC,
∵∠P+∠PAD=90°
∴∠QAC+∠PAD=90°
∴AP⊥AQ.
1、如图,在△ABC中,AB=BC=CA,CE=BD,则∠AFE=_____度.
2、如图,在△ABC中,∠BAC=90°
AB=为AC中点,AE⊥BD,垂足为E.延长AE交BC于F.求证:
∠ADB=∠CDF
1、60
2、提示:
作∠BAC的平分线交BD于P,可先证△ABP≌△CAF,再证△APD≌△CFD.
生活中的轴对称篇
轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形,会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一,好记但更要想着用,有时往往忽略性质的应用.
例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.
分析与解根据轴对称的定义和性质,仔细观察,可知
(1)是错误的,
(2)是成轴对称的.
例2下列图形中对称轴条数最多的是()
A.正方形B.长方形C.等腰三角形D.等腰梯形
E.等边三角形F.角G.线段H.圆I.正五角星
分析与解有一条对称轴的是C、D、F、G,有三条对称轴是E,有四条对称轴的是A,有两条对称轴的是B,有五条对称轴的是I,有无数条对称轴的是H.故选H.
例3如图,AOB是一钢架,且∠AOB=10°
,为使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管______根.
分析由添加的钢管长度都与OE相等,可知每增加一根钢管,就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中垂线段最短可知,当添加的钢管和OA或OB垂直时,就不能再添加了.
解每添加一根钢管,就形成一个外角.如添加EF形成外角∠FEA,添加FG形成外角∠GFB.可列表找规律:
添加钢管数
8
形成的外角度数
20
30
40
50
90
当形成的外角是90°
时,已添加8根这样的钢管,不能再添加了.故最多能添加这样的钢管8根.
例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家,每天外公都带领小明去放羊,早晨从家出发,到一片草场放羊,天黑前再把羊牵到一条小河边饮水,然后再回家,如图所示,点A表示外公家,点B表示草场,直线l表示小河,请你帮助小明和他外公设计一个方案,使他们每天所走路程最短?
分析本题A(外公家)和B(草场)的距离已确定,只需找从B到l(小河)再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧,直接确定饮水处(C点)的位
置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧,设为A′,不论饮水处在什么位置,A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等,当A′到B的距离最小时,饮水处到A和B的距离和最小.也可作B的对称点确定C点.
解如图所示,C点即为所求饮水处的位置.
1、请用1个等腰三角形,2个矩形,3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形,并用简练的语言文字说明你的创意.
2、如图所示,AB=AC,D是BC的中点,DE=DF,BC∥EF.这个图形是轴对称图形吗为什么
1、略
2、是轴对称图形,△ABC与△DEF的对称轴都过点D,都与BC垂直,所以是两条对称轴是同一条直线.
通过这些核心题目的练习
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