六年级数学最大公约数的专项练.docx
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六年级数学最大公约数的专项练
小升初数学试题最大公约数的专项练习
(1)列举约数法
例如,求24和36的最大公约数。
显然(24,36)=12。
(2)分解质因数法
就是先把要求最大公约数的那几个数分别分解质因数,然后把这几个数公有的质因数相乘,所得的积就是要求的最大公约数。
例如,求12、18和54的最大公约数。
所以(12,18,54)=2×3=6。
(3)除数相除法(短除法)
就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数,一直除到所得的商只有公约数1为止,再把所有的除数连乘起来,乘得的积就是所求的最大公约数。
例如,求24、60和96的最大公约数。
所以(24、60、96)=2
×2×3=12。
(4)应用相除法
就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数,一直除到商只有公约数1为止。
然后用被除数除以商。
例如,求36和54的最大公约数。
(5)辗转相除法
也称欧几里得除法。
就是用大数除以小数,如果能整除,小数就是所求的最大公约数;如果不能整除,再用小数除以第一个余数,如果能整除,第一余数就是所求的最大公约数;如果不能整除,再用第一个余数除以第二个余数,如果能整除,第二个余数就是所求的最大公约数,如果不能整除,再像上面那样继续除下去,直到余数为0为止,最后的那个除数就是所求的最大公约数。
如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质数。
例如,求621和851的最大公约数。
则(621,851)=23。
(6)辗转相减法
在求几个数的最大公约数时,可从任一大数中减去任意小数的任意倍数,同时作几个减法。
理论根据:
定理1:
如果甲、乙二数的差是乙数,那么甲、乙二数的最大公约数就是乙数。
即:
如果a-b=b,那么(a,b)=b。
(本文字母都是自然数)
证明:
∵a-b=b,
∴a=2b,即b|2b→b|a。
又∵b|b,∴(a,b)=b。
定理2:
如果两个数的差不等于零,那么这两个数的最大公约数就是减数与差数的最大公约数。
即:
如果a-b=c(a>b),
那么(a,b)=(b,c)。
可理解为差与小数成倍数关系,差就是所求的最大公约数;如果差与小数不成倍数关系,差与小数的最大公约数就是所求的最大公约数。
∵a-b=c,
因此t是b、c的公约数。
又设(p2,p1-p2)=m(m>1),则
故(P2,P1-P2)=m不能成立,只能是:
(P2,P1-P2)=1。
说明t不但是b、c的公约数,而且是最大公约数。
即:
(b,c)=t,
∴(a,b)=(b,c)。
例如,429-143=286,
∴(429,143)=(143,286)。
又∵143|286,
∴(143,286)=143。
因此(429,143)=143。
根据上面的两个定理求(a,b)。
设a>b,
①当b|a时,则(a,b)=b。
②当ba时,则a-b=p1,即(a,b)=(b,P1)。
其中当P1|b时,则(b,P1)=P1。
当P1b时,则b-P1=P2,即(b,P1)=(P1,P2)。
……
照此依次减下去,被减数、减数在逐渐减小,差也随着相对减小,最后必能得到一个ppn=0。
这时pn-1=pn-2,所以(pn-2,pn-1)=pn-1。
由此得出:
(a,b)=(b,p1)=(p1,p2)=(p2,p3)=……=(pn-2,pn-1)=pn-1。
这种方法称辗转相减法。
实例说明:
如21和12。
21可以看成是3的7倍,12可看成3的4倍;用3的7倍减去3的4倍一定还是3的倍数,得3的3倍,然后用3的4倍减去3的3倍结果是3的1倍。
因此(21,12)=3。
应用中贵在灵活。
求解过程中,可随时截取判断。
例1求1105和1547的最大公约数。
1547-1105=422,
(1)
1105-422×2=211,
(2)
422-221=211,(3)
211-211=0。
(4)
没必要辗转相减到最后,由式子
(2)知221与442成倍数关系,则(1105,1547)=221。
例2求971和601的最大公约数。
∵971-601=370,
(1)
601-370=231,
(2)
370-231=139,(3)
231-139=92,(4)
139-92=47,(5)
……
1-1=0,
∴(971,601)=1。
由(5)式可知(92,47)=1,便可断定
(971,601)=1。
例3求27090、21672、11352和8127的最大公约数。
用这种方法约简分数、判断互质数等。
例略。
(7)小数缩倍法
就是求两个数的最大公约数时,如果这两个数不成倍数关系,就把小数依次除以2、3、4……,直到除得的商是较大数的约数为止,那个商就是所求的最大约数。
例如,求45和75的最大公约数。
45÷3=15,15|75,则(45,75)=15。
(8)差除法
如果两个数的差能整除较小的数,那么这个差就是这两个数的最大公约数。
已知a-b=c,且c|b(a>b)。
求证(a,b)=c。
证明:
由c|b,设b=cq。
于是a=b+c=cq+c=c(q+1)。
在a=c(q+1)和b=cq中,
因为(q+1,q)=1,
所以(a,b)=c。
例如,求91和98的最大公约数。
∵98-91=7,7|91,
∴(91,98)=7。
(9)倍差除法
当出现找出的差不能整除小数时,把小数再扩大几倍,使之略超过大数,用新得的数减去大数的差去除小数。
例4求112与420的最大公约数。
112×4=448,448-420=28,
28|112,
则(11,420)=28。
例5求168与630的最大公约数。
168×4=672,672-630=42,
42|168,
则(168,630)=42。
能够这样解的依据是什么呢?
现证明如下(字母均为自然数)。
如果nb-a=c,c<b<a,且c|b,
那么(a,b)=c。
证明:
设t是a,b的公约数,则t|a,t|b,
∴nb-a=c,且c<b<a,
∵t|nb,t|c,
因此,a,b的公约数一定是b、c的公约数。
同理也可证明b、c的公约数一定是a、b的公约数。
所以a、b的最大公约数等于b、c的最大公约数。
即:
(a,b)=(b,c)。
又∵c|b,
∴(a,b)=(b,c)=c。
或用差的从大到小的因数试除。
例6求161和115的最大公约数。
161-115=46。
∵46115,
而23|115,
∴(161,115)=23。
例7求95和152的最大公约数。
∵95×2-152=38,
且3895,
但19|95,
∴(95,152)=19。
这种方法,也适用于求三个以上数的最大公约数。
例8求217,62和93的最大公约数,
因为217-62-93=62,
且31|62、31|93,
所以(217,62,93)=31。
例9求418、494和589的最大公约数。
因为494-418=76,76418,
418-(76×5)=38,38|76,
则(418,494)=38。
而589-(38×15)=19,19|38,
所以(418,494,589)=19。
例10判断255和182是否互质。
255-182=73,73182,
182-(73×2)=36,3673,
而73-(36×2)=1,
所以(255,182)=1,即为互质数。
4862-2618=2244,
2618-2244=374,374|2244,
(10)分数法
把求最大公约数的两个数,写为真分数,逐次约成最简分数。
原分数的分子(或分母)除以最简分数的分子(或分母),商就是最大公约数。
例如,求24、30和36的最大公约数。
则(2430)=6。
则(6,36)=6。
所以(24,30,36)=6。
(11)用商法
例如,求64与48的最大公约数。
先把两个数写成除法的形式,大数作被除数,小数作除数(除数为大于1的自然数)。
所得的商写成最简分数。
这两个数的最大公约数等于除数除以商的分母。
即:
48÷3=16,∴(64,48)=16。
如果,两个数相除,商为整数,那么,这两个数的最大公约数是除数。
这种方法也适用于求两个以上的数的最大公约数。
例如,求36、30和20的最大公约数。
所以(36,30,20)=2。
(12)利用等式关系
利用(am,bm)=m(a,b)。
例如,求36与54的最大公约数。
(36,54)=(18×2,18×3)
=18(2,3)=18。
利用(an,bn)=(a,b)n。
例如,求64与216的最大公约数。
(64,216)=(43,63)
=(4,6)3=23=8。
利用若(a,b)=1,则(ac,b)=(c,b)。
例1求46与253的最大公约数。
(46,253)=(46,11×23)
=(46,23)=23。
例2求12,286的最大公约数。
(12,286)=2(6,143)
=2(6,11×13)=2(6,13)=2。
例3求245、315和560的最大公约数。
(245,315,560)=5(49,63,112)
=5(49,63,28×4)=5(49,63,28)
=5×7(7,9,4)=35。
(13)口诀查找法
就是用乘法口诀对照求最大公约数的那几个数,看哪个因数是求最大公约数的那几个数的约数,再进一步判断那个公约数是不是所求的最大公约数。
例如,求56和72的最大公约数。
看56与72,立即想到乘法口诀“七八五十六”与“八九七十二”。
8是56与72的公约数,56的另一个约数7与72的另一个约数9成互质数,所以公约数8就是56与72的最大公约数。
(14)特征心算法
根据求最大公约数的那几个数所具有的能被某些数整除的特征确定。
例如,求24和30的最大公约数。
根据24和30能同时被2整除的特征,记下2;
再根据24和30还能同时被3整除,记下3;
由2乘3得6,24与30分别除以6的商分别是4与5,4与5互质,则(24,30)=6。
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