大学数学练习题docxWord文档下载推荐.docx
- 文档编号:17947288
- 上传时间:2022-12-12
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:124.80KB
大学数学练习题docxWord文档下载推荐.docx
《大学数学练习题docxWord文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大学数学练习题docxWord文档下载推荐.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(A)Cj+C2e3'
(B)Qx+Ge-3'
(C)+C,e^x(D)C2e-3r
(A)x,e—2'
很)1折一2"
(C)x2,e'
A(D)e"
xe^2,
(A)是该方程的通解(B)是该方程的解
(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解
13方程空=Jl—y2过点(0,0)的解为v=sinx,此解存在().dx
(A)(-oo,+oo)(B)(-oo,0](C)[0,+co)(D)[一号,号]
14方程y=3『y—e"
是().
(A)可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程
15微分方程^--y=0的通解是().
dxx
c1
(A)y=—(B)y-ex(C)y=—+c(D)y=x+c
XX
16在下列函数中是微分方程y'
(A)y=1(B)y=x(C)y=sinx(D)y=ex
17方程y”—y=的一个数解形如().
(A)aex+b(B)axex+bx(C)aex+Zzx+c(D)axex+Zzx+c
、、fO)、
18初值I可题X’x;
x(0)=在区间一8<,<CO上的解是().
[1OJkV
邕、
(-t\e
字]
(A)"
(»
=
(B)侃°
)—
侦)
(C)"
('
)=
L
—t
7
(D)"
⑴=
叫
19.方程&
的奇解是().
(A)q
(B)y=i(oy=-i<d)y=。
20.方程&
(A)一
i-y2(:
i)
过点2共有()个解.
(B)无数(C)两(D)三
21.〃阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个・
22.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差().
莎
(2)dy_了(乂'
)
23.如果f(x,y),3都在平面上连续,那么方程dx'
的任一解的存在区间().
(D)将因解
(A)必为(―00,+8)(b)必为(0,+co)
而定三求下列方程的解:
1求下列方程的通解或通积分:
(3)—=y+xy5(4)2xydx+(x2-y2)dy=0dx
(5)y=xy'
+2(y'
)3
2求方程的解x(5)--x(4)=0t
3解方程:
求(3口之+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0的通解.
z/4X
求解方程:
^_+2^—+x=0dt4dt2
d'
x1x
求方程:
=o的解
dttdt
求方程y'
-5y'
=-5子的通解
dx1
——=y+
dtsint
dy-r
———x
dt
11求初值问题\y=X~y7?
:
|x+l|<
lly|<
l的解的存在区间并求出第二次近似解"
1)=011
12求方程的通解
(1)——=——~—
(2)——=—4-tan—(3)(y-3x~)dx—(4y—x)dy=0(二种方法)
dxx+y~dxxx'
'
13计算方程y"
+4y=3sin2x的通解
d2xdx
14计算方程—-4—+4.X-COSZdtdt
15求下列常系数线性微分方程:
y"
+10y=xe2'
21
16试求x=x的基解矩阵
02
17试求矩阵4=21的特征值和对应的特征向量.
-14
35
18试求矩阵A=的特征值和特征向量
-53
解方程组
20.求下列方程组的通解
四名词解释
1微分方程
4伯努利方程
Li也=3x+4y[dt
3变量分离方程
6线性相关
2常微分方程、偏微分方程
5Lipschitz条件五证明题
1在方程y"
+p(x)y'
+q(x)y=0中已知p(x);
q(x)在(-co;
+co)上连续
求证:
该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.
2设Xi(t)、X2(t)分别是非齐次性线方程
d"
xd"
~lx
—+G.W—+-+Gn(Ox=/1(O
~'
x
^r+G.a)—+-+g„(Ox-/2(Oatat
dnxdn~xx
证明:
X|(t)+X2(t)是方程—+G,(0+•••+G“(Ox=f,(0+L(0的解o
dtdt_
3设f(x)在[0;
+8]上连续且limf(x)=o求证:
方程空+y=f(x)的一切解y(x);
XT8dx
均有limy(x)=0
•XT00
4在方程y"
+q(x)y=0中p(x)、q(x)在(-oo,+oo)上连续;
求证:
若p(x)恒不为零;
则该方程
的任一基本解组的朗斯基行列式w(x)是(-8,+8)上的严格单调函数。
dnxd"
5证明:
X](t)+X2(t)是方程FC](?
)—+■••+(!
(X)'
+L(0的解。
de"
dt_
LxAqXAnx
6证明:
函数组e'
e---e(其中当zVj时儿。
为)在任意区间(a,b)上线性无关。
业=)()
7.在方程dxW中,已知f(y),弓3在(—8,+8)上连续,且9(±
1)=0.求证:
对任意X。
和<1,满足初值条件卜3。
)=%的解y(w的存在区间必为(―°
°
+°
).
8.在方程y"
+p3)y'
+0(x)y=°
中,已知,⑴,如0在(-吃+^)上连续.求证:
该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切.
练习题答案
1、2
2、线性无关(或:
它们的朗斯基行列式不等于零)
3、ex;
xex
4、开
5、y=±
1
6、x=xx\ydt
7、g)c,c为常数列向量
8、y=x+c
9、初始
10、常微分方程
eJp(x)dx
12、x2+y2=c;
c任意正常数
13、/
5pc
jq—
I666
15、<
512
y=-p--p
loo
16、4
17、0
18、©
(x)c;
其中c是确定的n维常数列向量
19、y=±
l,x=±
l
20.sin2x,cos2x
21.D=((x,y)e7?
2|y>
0),(或不含尤轴的上半平面)
22.充分
23.没有
二单项选择
I、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C
II、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19.D20.B21.A
22.C23.D
三求下列方程的解
1
(1)解:
当y^O.y^l时,分离变量取不定积分,得
通积分为lny=Cex
分离变量,取不定积分,得
+1hC(CO)
u2
(3)
通积分为:
arcsin—=InCx
解:
方程两端同乘以广,得
令yj,则一4疽空=空,代入上式,得
dxdx
1dzZ=X
4dx
通解为
z=Ce~4x~x+—
4
原方程通解为
4=Ce-4x_x+l
(4)
dMdN
因为丝=2尤=竺,所以原方程是全微分方程。
dydx
取(xo,yo)=(0,0)原方程的通积分为
(5)
2解:
g2xydx-Jy2dy=C
213c
xy--y=c
原方程是克莱洛方程,通解为:
y=cx+2c3
设y=—则方程化为—--y-0,积分后得y=ct即—=ctdtdttdt
于是X=Cit5+C2t3+C3t2+C4t4-C5其中Ci,C2,C3,C4,C5为任意常数
rdnx(t)厂,、厂,、,、[』'
业)厂,、d'
ix(f)
[———+G.(?
)+•••+G,,(0-v,(0]+[—+G.(?
)
dtn1dt1'
-1"
1dtn1dL
H1-Gh(Z)-Y2(0]
故Xi(t)+X2(t)为方程d"
+G](t)dX?
)+...+G„x(0=fl①+f2(t)的解。
dt"
dt"
—】
3解:
将变量分离,得到
当=cosxdx
y
两边积分,即得
因而,通解为
i
y-:
sinx+c
这里c是任意常数。
以x=O,y=l代入通解中以决定任意常数c,得到c=-1
因而,所求特解为
y=-:
1-sinx
4解:
以】="
及空=》空+〃代入,则原方程变为
xdxdx
du
xu=u+tgu
即
du_tgu
将上式分离变量,即有
7dx
ctgudu=——
两边积分,得到
zzt|sinw|=zn|x|+c
这里c'
是任意函数,整理后,得到
sinw=±
ec•x
令±
=c,得至Usinu=ex
5解:
4Z=y1W
色=一广四
代入原方程得到
dz6
——=——z+x
这是线性方程,求得它的通解为
代回原来的变量y,得到
lex2
—=—7-H
yx68
这就是原方程的通解。
此外,方程还有解y=0o6解:
这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3,这时
dM,°
6N,°
=12xy.=12xydydx
因此方程是恰当方程。
现在求u,使它同时满足如下两个方程—=3x2+6xy2
主=6fy+4y3dy
由
(1)对x积分,得到u=x3+3x2y2+^(y)
为了确定代),将(3)对y求导数,并使它满足
(2),即得
伽2|d(p(y)2,A3
——=6尤yH=6iy+4y
dydy
于是
些®
=4y4
dy'
积分后可得
0(y)=y4
将9(y)代入(3),得到
u=x3+3x2y2+y4
因此,方程的通解为
x3+3x2y2+y4=c
这里c是任意常数
7解:
特征方程24+222+1=0即特征根2=+i是重根,因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、
tsint
故通解为x=(ci+c2t)cost+(c3+c4t)sin其中Ci;
c2;
c3;
C4为任意常数
8解:
令乌=)则方程化为:
^---y=0
dtdtt
积分后得y=ct艮———=ct于是x=cit5+c2t3+c3t2+C41+c5
其中Ci;
C2...C5为任意常数,这就是原方程的通解。
9解对应齐次方程的特征方程为22-52=0,
特征根为2]=0,%=5
齐次方程的通解为y=C1+C2e5x
因为a=0是特征根。
所以,设非齐次方程的特解为
y](x)=x(Ax2+Bx+C)
代入原方程,比较系数确定出
A=—,
3
2
B=-,C=—
525
原方程的通解为
y=C,+C,e5'
+-x3+-x-+—x
1-3525
10
先解出齐次方程的通解
X
=Ci
cost
+C2
sin,
y_
一sint_
cos,_
令非齐次方程特解为
=Ci(t)
+c2(t)
_y_
cost_
r1]
sinf]
「C'
l。
—
sint
sint
cosf」
[_C'
2(0
COQt
解得C'
]。
)=冬,仁2。
)=1
siiW
积分,得C/0=ln|sin^|,C2(r)=t
-sint
sint+G+cost
cosdn|sin^|+^sin^
-sindn|sint\+tcost
uii
11解:
M=max|/(x,y)|=4h=min(6Z,—)=—故解的存在区间为|工+1|<彳
2)qo(x)=Oqi(x)=0+F(g2—0)dg=号|、=;
+:
q2(x)=0+\x[g2~^-+-g3--]dg=^--^-+^---gY999363369
XXXX11
~3~9-18-60+42
12求方程的通解:
])孚=
axx+y
变形^=^±
yL=Lx+y...⑴,将y看作自变量,X为未知函数dxyy
解齐线性方程—=-.r.通解为x=cy
dyy
qI、八若dxd(c(y)y)dc(y)
令X=c(y)y.....
(2)微分侍,一==y+c(y)
dydydy
由
(1)
(2)知马尸竺写+心)=旦Z+yydyy
四也=1,积分得c(v)=v+3故X=(y+8)y(&
是任意常数)dy
2)^=2+tan2
dxxx
令/=〃贝Uy=〃尤,于是—=x—+u
则原方程变为x—+u=〃+tan〃
口口dutanu
即——=
将上式分离变量有cotudu=一
积分得ln|sini/|=ln|x|+c,c为任意常数。
整理sinu=+ec•x
=c主0得sin〃=cx(c。
0)
方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=cx(c为任意常数)
3)(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0(三种方法)
法一,这里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y
SMdN
丝=1,竺=1,因此此方程是恰当方程dydx
现求u使——=y-3x2
(1),——=x-4y
(2)dxdy
对
(1)中x积分得u=yx-x3+^(y)(3)
对(3)中y求导业=x+些=-4ydydy
积分得0(y)=—2y2,代入(3)得u=yx-x3-2y2
故通解为yx—2y2=c,c为任意常数
法二,重新组合得
ydx-3x'
dx-4ydy+xdy=0,即ydx-dx3-2dy~+xdy=0
d{xy-x3-2y2=0)
于是通解为xy-妒-2y2=c其中c是任意常数。
2+4y=0
4)A4-
ax
令p=空则/—5,2+4y=0,y=0p2_j_p4dx44
*十曰/曰n5如3dp.53
对x求导得P=—pp——=(—p-p
2dxdx2
p—p3)dp-pdx=0
5“4
积分得(日,2_—)一pr=c,x=
P"
c
_T~513c
=—p——p——p44p
于是方程通解为
513
X^4P~4P
521
y=-p-~p
44
(p=0)
13方程y'
齐次方程是y"
+4y=0,22+4=0,212=+2i
y=crcos2t+c2sin2t
由于2i是特征方程单根
故所求特解应具形式Vi=x(Acos2x+bsin2x)
3代入原方程—4A=3,8=0nA=—j,8=0
3cy,=——xcos2x
14
故通解为y=-—xcos2x+c1cosIt+c2sinIt,其中c<
2为任意常数
d2x4dxA
14+4x=cost
dtdt
特征方程万―4九+4=0有重根4=;
l2=2
因此对应齐线性方程的通解为x=(cl+c2t)e2t,其中C1,C2为任意常数。
因为土z•不是特征根,现求形如x=Acost+Bsint的特征解,
代入原方程化简(3A-4B)cost+(4A+3B)sint=cost
A一邑于是*仙=1故-254A+3B=0D_4D—
25
。
34
故通解为%=(c,+c盘)e~‘Hcostsin,其中ci,c,为任意常数
12525
15求下列常系数线性微分方程
对应的齐次方程为y"
+10y=0特征方程为22-22+10=0
特征根为Aa=l+3ia不是特征根,
故原方程有形如y*=(ax+b)e2*的特解代入原方程得。
=土力=-土
故原方程通解为y=e'
v(C|cos?
+c2sin3?
)+(—x-—)e2v,任意常数)
12001
=+而且后面的两个矩阵是可交换的
020200
t2
一+•••}但是,2!
「or
0o-
00
所以,级数只有两项。
因此,基解矩阵就是
expA?
=e2t
17解:
特征方程为
因此,2=3是A的二重特征值.为了寻求对应于2=3的特征向量,考虑方程组
~1
-1
Ci
_C2_
=0
(3E-A)c=
因此,向量
是对应于特征值2=3的特征向量,其中a?
0是任意常数.
u
特征根为人技=3±
5,对应于l=3+5i的特征向量"
=满足
~5i5
-5-5z
(A-^E)u=_=0解得u=a为任意常数
、u
对应于2,=3-5i特征向量v=满足
2-3-2
iv(A-22E)v-0解得v=/3”为任意常数
19解:
A=的特征方程为det(/lE—A)==(/l—1)(/1-4)=0
、12J—14—2
(a)
Al=l,42=4为特征根,(A—4E)“.=0n”|=为方程组解a为任意常数.
(A—4E'
)m=0=>
m
为方程组解.
y'
为方程的解
20.解方程组的特征方程为
-1-2
|A-号3
即22-32+2=0
特征根为九]=1,%=2
A-1对应的解为
"
L^i.
其中%,九是4=1对应的特征向量的分量,满足
■-1-1-2Tt?
J「0「
34-1
可解得(7]=1,—1.
同样可算出M=2对应的特征向量分量为a2=2,Z?
i=-3.
所以,原方程组的通解为
1联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式,称之为微分方程。
2如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,称这种微分方程的个数为两个或两个以上
的微分方程称为偏微分方程。
3形如
牛=f3)9。
)ax
的方程,称为变量分离方程,这里f(x)(p(y)分别是x,y的连续函数。
4形如-j-=尸⑴》+Q(x)ynax
的方程,称为伯努利方程,这里P(x),Q(x)为x的连续函数,〃?
0,1是常数
5函数f(x,y)称为在R上关于y满足Lipschitz条件,如果存在常数L>
0,使得
不等式|/(x.yi)-/(x.y2)|<
L|y1-y2|
对于所有(x,Vi),(x,y2)eR都成立,L称为Lipschitz常数.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 大学 数学 练习题 docx