勾股定理竞赛培训题含答案Word格式文档下载.docx
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3、如图〔,△ABC中,CDLAB于D,且BD:
ADCD=23:
4,
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)已知S“BC=10cm2,如图2,动点M从点B岀发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动,同时动点N从点A岀发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停
止•设点M运动的时间为t(秒),
1若△DMN的边与BC平行,求t的值;
2
若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?
若能,求岀t的值;
若不能,请说明理由.
4、已知,△ABC中,AC=BC/ACB=90°
D为AB的中点,若E在直线AC上任意一点,DF丄DE交直线BC于F点.G为EF的中点,延长CG交AB于点H.
(1)若E在边AC上.
1试说明DE=DF
2试说明CG=GH
(2)若AE=3,CH=5.求边AC的长.
20
5、如图①,在矩形ABCDKAB=5,AD=3,AELBD垂足是E.点F是点E关于AB的对称
点,连结AF,BF
⑵若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)•当点F分别平移到线段AB,AD上时,直接写岀相应的m的值.
⑶如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角a(0°
<
aV180°
),记旋转中的△ABF^^ABF,在旋转过程中,设AF'
所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q是否存在这样的P,Q两点,使厶DPQ为等腰三角形?
若存在,求岀此时DQ勺长;
若不存在,请说明理由.
参考答案
1、【分析】
(1)①根据旋转的特性画岀图象;
②由/ACD/BCE匀与/DCB互余可得岀/ACD=/BCE由厶ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得岀AC=BCDC=EC结合全等三角形的判定定
理SAS即可得岀厶ADC^^BEC,从而得岀AD=BE再由/BCE=ZADC=135,/CED=45即可得
岀/AEB=90°
即证岀AD丄BE③依照题意画岀图形,根据组合图形的面积为两个三角形的面
积和可用AE,BE去表示CM
(2)根据题意画岀图形,比照
(1)③的结论,套入数据即可得岀结论.
【解答】解:
(1)①依照题意补全图2,如下图
(一)所示.
②证明:
J/ACD^DCB=ACB=90,/BCE^DCB=DCE=90,•••/ACD=/BCE•/△ABC和厶CDE都是等腰直角三角形,二AC=BCDC=EC
[AC=BC
Zaci>
Zbce
在厶ADC和厶BEC中,有
DC^EC
•••△ADC^ABEC(SAS,•AD=BE/BEC=/ADC
•••点A,D,E在同一直线上,△CDE是等腰直角三角形,
•••/CDE=/CED=45,/ADC=180-/CDE=135,
•••/AEB=/BEC-/CED=135-45°
=90°
二AD丄BE.
③依照题意画岀图形,如图
(二)所示.
闫丄4
即2AC?
BC+龙BE7CM戈AE(CM+BE,:
AC2-AE?
BE=CIM(AE—BE)
•/△CDE为等腰直角三角形,•DE=2CM•AE-BE=2CM
(2)依照题意画岀图形(三)
由勾股定理得:
BP^=3.
结合
(1)③的结论可知:
EP'
DP百亠_竺1
AM===1.
故点A到BP的距离为1.
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以
及勾股定理,解题的关键:
(1)①结合题意画岀图形;
②找岀△ADC^ABEC;
③利用分割法求组合图形的面积;
(2)利用类比法借助
(1)③的算式求岀结论•本题属于中档题,
(1)①②
难度不大;
③难度不小,此处用到了分割组合图形求面积来找等式,该小问处切记线段AC当成
已知量;
(2)利用类比的方法套入
(1)③的算式即可•解决该题型题目时,画岀图形,注意数形结合是关键.
2、.解:
(1)①120°
2分,②AD=BE4分
■/AACB和adce均为等髓肓角三蒔務,
ACA-CB・CD=CE^ZACB=ZDCE=^,J.
MDCE为够fit肓角三*翻*
-ZCDE=ZCED=45*-
VSA■EHE在同一冒纸上,
AZ.WC-I3S6.
■'
-ZBEC=1站:
・
/-ZAEB=ZBEC-ZCED=90i.
(3)如下图所示
由
(2)知厶BE3AAPC,•••BE=AP=5,/BEC=ZAPC=150•••/APD=30°
AP=5,CP=4,DP=8,/APD=30,/EPC=60°
•••/BED=/BEC-ZPEC=90,/DPC=120
又•••/DPE=ZDPCVZEPC=120°
+60°
=180°
即卩DP、E在同一条直线上
•DE=DP+PE=8+4=12BE=5,
BD=JQ矿+加=屁+竽=13
•BD的长为13
3、【考点】三角形综合题.
【分析】
(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,根据勾股定理求岀AC根据等腰三角形的判定定理解答;
(2)根据三角形的面积公式求岀三角形的三边长,根据等腰三角形的性质列式计算即可;
(3)分DE=DMED=EMMD=M三种情况,根据等腰三角形的性质解答.
(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,
•AB=ACABC是等腰三角形;
I1J
(2)Smbc=x5xx4x=10cm,解得,x=1cm,贝UBD=2crr)AD=3crgCD=4crr)AC=5crg
1当MN/BC时,AM=AN即5-t=t,•t=2.5,当DN//BC时,AD=ANJ
则t=3,故若△DMN勺边与BC平行时,t值为2.5或3.
2当点M在BD上,即0WtV2时,△MDE为钝角三角形,但DMkDE,
当t=2时,点M运动到点D,不构成三角形,
当点M在DA上,即2Vt<
5时,△MDE为等腰三角形,有3种可能.
如果DE=DM则t-2=2.5,•t=4.5,如果ED=EM则点M运动到点A,
•t=5,如果MD=ME=b2,贝U(t—2)2—(t—3.5)2=22,•t='
综上所述,符合要求的t值为4.5或5或’
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及勾股定理的应用,掌
握等腰三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
4、【考点】全等三角形的判定与性质;
直角三角形斜边上的中线;
勾股定理.
(1)①连接CD推岀CD=AD/CDF=/ADE/A=/DCB证厶ADE^^CDF即可;
②连接DG根据直角三角形斜边上中线求岀CG=EG=GF=DG推岀/GCD/GDC推岀/GDH/GHD推岀DG=Gh即可;
(2)求岀EF=5,根据勾股定理求岀EC,即可得岀答案.
(1)①连接CD
AHD3
•••/ACB=90°
D为AB的中点,AC=BC二CD=AD=BD又丁AC=BC二CD丄AB,
•••/EDA+/EDC=90,/DCF=/DAE=45,•/DF丄DE,
•••/EDF=/EDC/CDF=90,ADE=/CDF在厶人。
£
和厶CDF中
rZA=ZDCFAD—CD
•••△ADE^ACDIF
②连接DG•••/ACB=90,G为EF的中点,•CG=EG=FG
•••/EDF=90°
G为EF的中点,•DG=EG=FG•-CG=DG
•/GCD=/CDG又JCD!
AB,•/CDH=90,•/GHD/GCD=90,/HDG/GDC=90,
•••/GHDNHDG二GH=GD「.CG=GH
(2)如图,当E在线段AC上时,
•/CG=GH=EG=(3F/.CH=EF=5•••△ADE^ACDF•AE=CF=3
•••在Rt△ECF中,由勾股定理得:
•AC=AE+EC=3+4=7如图,当E在线段CA延长线时,
AC=EC-AE=4-3=1,综合上述AC=7或1.
5、解:
⑴在Rt△ABD中,AB=5,ACk-,由勾股定理,
251.1^丿別门~25
=-.TSaabd=戈BD-AEk戈AB-AD•AEk=4.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,由勾股定理,得BE=3.
(第27题图解①)
(2)设平移中的三角形为△AB'
F'
如解图①所示•由对称点性质可知,/1=Z2.
由平移性质可知,AB//AB'
/4=Z5=Z1,B'
=BF=3.
1当点F'
落在AB上时,TAB//AB'
a/3=/4,二/3=/1=/2,
BB'
=B,F'
=3,即m=3;
2当点F'
落在AD上时,TAB//AB'
./6=/2.
•••/1=/2,/5=/1,./5=/6.又易知AB'
丄AD
•••△B'
D为等腰三角形,.B'
D=B'
=3,
25161616
•BB'
=BD-B'
D=「一3=二,即卩m=.m=3或匚(对一个得2分)
⑶存在•理由如下:
在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形:
①如解■图②所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ易知/2=2/Q.
(第27题图解②)
t/1=/3+/Q,/1=/2,./3=/Q•AQ=A'
B=5,
•F'
Q=F'
A'
+A'
Q=4+5=9.
在Rt△BF'
Q中,由勾股定理,得BQ==—「=3门
(第27题图解③)•••DQ=BQ-BD=3
②如解图③所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ易知/2=ZP.
•••/1=Z2,二/1=Z巳二BAIIPD则此时点A落在BC边上.
•••/3=Z2,二/3=Z1,二BQ=AQ,「.F'
—AQ=4-BQ
在Rt△BQF中,由勾股定理,得BF'
2+F'
Q=BQ,
252525125
即32+(4—BQ2=BQ,解得BQ=I.•DQ=BD-BQ=二一^=>
③如解图④所示,点Q落在BD上,且PD=DQ易知/3=Z4.
(第27题图解④)J/2+/3+/4=180°
/3=24,•/4=90°
一-/2.
•••/1=/2,•/4=90°
—二/1.•/AQB=/4=90°
—二/1,
•/A'
BQ=180°
—/AQB-/1=90°
—】/1,•/A'
QB=/ABQ
•-A'
Q=AB=5,「.F'
Q=A'
Q-A'
=5—4=1.
在Rt△BFQ中,由勾股定理,得BQ=
25
二DC^BD—BC^
④如解图⑤所示,点Q落在BD上,且PQ=PD易知/2=23.
(第27题图解⑤)J/1=22,23=24,22=23,
2510
•••/1=24,二BC=BA=5,二DC=BD—BC=—5=-
DQ的长度分别为3/
综上所述,存在4组符合条件的点P,Q使厶DPQ为等腰三角形,其中
251252510
—T玄行—质或乜
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