等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版Word文件下载.docx
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等比数列
定义
an+_an=d
时=q(q式0)an
递推公
式
an=anJL+d;
an=am_n+md
an=an」q;
an=amqn』
通项公
an=ar+(n-1)d
an=a1q(ai,q式0)
中项
A=an」十叭卡/n,k€N*,n»
kA°
)
G=±
^'
anjsan4k(anj^an*A0)(n,k€N*,nAkA°
前n项
和
n
Sn=二佝+an)
c」(n—1)j
Sn—naL+d
'
na'
q=1)
Snufa』_qn)aiVnq
i—~_—(qX2)
重要
性质
am*an=ap*aq
(m,n,p,qwN*,m+n=p+q)
am'
an=ap'
aq
*
(m,n,p,q^N,m+n=p+q)
经典例题透析
类型一:
等比数列的通项公式
例1.等比数列{a.}中,aia?
=64,a3'
a?
=20,求a^.
思路点拨:
由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于ai和q的二元方程组,解出ai和q,可得an;
或注意到下标1^3?
,可以利用性质可求出a3、a?
,再求an.
解析:
8
法一:
设此数列公比为q,则a1a^a1a2q=64⑴
Ia3+a?
=a1q+ag=20
(2)
由
(2)得:
ag2(1q4)=20(3)
由
(1)得:
(ag4)2=64,/.ag4=8(4)
⑶一⑷得:
1q4
2~q
205
~8~2
-2q4一5q22=0,解得q2=2或q2=£
当q2=2时,a-=2,a--=a-q10=64;
当心时,a-=32,a—qJ.
/法——:
•a-a?
=a3已7=64,^又a3'
a^=20,
二a3、a7为方程x2—20x•64=0的两实数根,
a3Qi=a7
…a^==1^或aii=64.
a3
总结升华:
1列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算
量;
2解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).
举一反三:
【变式1】{an}为等比数列,a仁3,a9=768,求a6。
【答案】±
96
设公比为q,贝U768=a1q8,q8=256,:
q=±
2,二a6=±
96;
法二:
a52=a1a9:
a5=±
48二q=±
96。
【变式2】{an}为等比数列,an>
0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【答案】64;
T印玄89勺45=16,又an>
0,二a45=4
…844845846=a45-64。
从而aia3=5,解之得a—1,a^4或a—4,a^1阴=4
当印=1时,q=2;
当ai=4时,
故an=2“或a^23-。
代入已知得aiaiqa;
q2=7
)a1aiqaiq=8
◎(i+q+q2)=7,Q(i+q+q2)=7,(i)=<
33=«
曰q=8(aq=2⑵
将ai=2代入(i)得2q2-5q2=0,
解得q=2或q=丄
a_i吕=4
由
(2)得ai"
或i,以下同方法
lq=2卩=2
类型二:
等比数列的前n项和公式
例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9求数列的公比q.解析:
若q=i,则有S3=3ai,S6=6ai,S9=9ai.
因aiz0,得S3+S甘2S9,显然q=i与题设矛盾,故qzi.
369
由S3S^2S9得,),
i-qi-qi-q
整理得q3(2q6-q3-i)=0,由qz0,得2q6-q3-i=0,从而(2q3+i)(q3-i)=0,因q3zi,故q3
【变式1】求等比数列1丄丄川的前6项和
3
9
【答案】121或121
【答案】或2,"
6;
*2日门」=a〔an,•・a〔an=128
①将鳥4代入『兰,
由an=邛2,解得n=6;
【答案】
364
243,
.a1=1,
1
q,n=6
由an二眄2,解得n=6
二q=」或2,n=6o
类型三:
等比数列的性质
例3.等比数列{a.}中,若日6=9,求logsailogsa?
...log3aio.
•{a*}是等比数列,••ai印。
=a?
&
=a3a^=a4a^=a5©
=9
55
a6)log39i0
log3ailog3a2卷…^log3aio=log3(aia?
as丨l|aio)=log3(a
【变式i]正项等比数列{an}中,若ai・aoo=ioo;
则
Igai+lga2++lgaiOO=.
【答案]ioo;
tIgai+lga2+lga3++lgaiOO=lg(ai•a2^a3aiOO)
而ai•aiOO=a2•a99=a3•a98==a5O•a5i
•••原式=lg(ai・aiOO)5O=5Olg(ai^aiOO)=5OxlgiOO=iOO。
【变式2]在8和27之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的
32
三个数的乘积为。
【答案]2i6;
:
设这个等比数列为{a*},其公比为
27484.48i29
2TaiqWq,…q飞,q
二a2a3a4yqag2ag3-a;
q6二8〔9^63=2i6。
34
加入的三项分别为a2,a3,a4,
二a28384二a;
83二a;
=2i6。
类型四:
等比数列前n项和公式的性质
例4.在等比数列{an}中,已知&
=48,翁乂。
,求%思路点拨:
等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办
法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,,第n个k项和仍然成等比数列。
令b仁Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n
观察b1=a1+a2++an,
b2=an+1+an+2++a2n=qn(a1+a2++an),
b3=a2n+1+a2n+2++a3n=q2n(a1+a2++an)
易知b1,b2,b3成等比数列,二―區二逻=3,
b48
二S3n=b3+S2n=3+60=63.
法:
•S2n=2Sn,…q=1,
01(旦=48①
由已知得/1—q2
丨ai(1_q)=6o②
l1-q
②*①得1qn=5,即qn」③
44
③代入①得亡"
4,
…S3n:
=空口丸4(1二)=63。
1-4
法三:
T为等比数列,•••Sn,S2n-Sn,-S?
n也成等比数列,
S2n-&
)2
6n_S2n
Sn
【变式1】等比数列{an}中,公比q=2,S4=1,则S8=.
【答案】17;
S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q
4S4=S4(1+q4)=1X(1+24)=17
【变式2】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求:
S30=?
【答案】130;
S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列,/.(S20-S10)2=S10•(S30-S20)
即302=10(S30-40),二S30=130.
T2S1OS20,「.q"
30、
1-q
S30=a1(1_q)=(-5)(1-33)=130.
【变式3】等比数列{an}的项都是正数,若Sn=80,S2n=6560,前n项中最
大的一项为54,求n.
【答案】空辽,.q“(否则处J)
S2n6560S2n2
...&
二型心=80
(1)
务/(1-q勿)=6560
(2),
(2)一
(1)得:
1+qn=82,.qn=81……(3)
•••该数列各项为正数,.由(3)知q>
.{an}为递增数列,.an为最大项54.
.•an=a1qn-1=54,.a1qn=54q,
.81a1=54q(4)
.a^54^2q代入
(1)得fq(1-81)=80(1-q),
8133
.q=3,.n=4.
【变式4】等比数列{an}中,若a1+a2=324,a3+a4=36,则
a5+a6=.
【答案】4;
令b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),
易知:
b1,b2,b3成等比数列,二b3=b2=竺=4,即a5+a6=4.
b1324
【变式5】等比数列{%}中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。
【答案】448;
•••{an}是等比数列,二(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,二q3=8,
二a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56X8=448.
类型五:
等差等比数列的综合应用
例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差
数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.
恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.
设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.
则a-d,a,a+d+32成等比数列,a-d,a-4,a+d成等比数列.
.'
a2=(a-d)(a+d+32)
(1)
・・丿
(a-4)=(a-d)(ad)⑵
由
(2)得a=「^(3)
由
(1)得32a=d2+32d(4)
(3)代⑷消a,解得d=8或d=8.
•••当d时,a^26;
当d=8时,a=10
39
・原来三个数为2,些,空或2,10,50.
999
设原来三个数为a,aq,aq2,则a,aq,aq2-32成等差数列,a,aq-4,
aq2-32成等比数列
.2aq=a+aq-32
(1)
••“22
Jaq—4)=a(aq—32)……
(2)
由⑵得,代入
(1)解得q=5或q=13
q-4
当q=5时a=2;
当q=13时a=2.
•••原来三个数为2,10,50或2,哲,避.
总结升华:
选择适当的设法可使方程简单易解。
一般地,三数成等差数列,
可设此三数为a-d,a,a+d;
若三数成等比数列,可设此三数为-,x,xy
y
但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简
便。
举一反三:
【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三
项又成为等比数列,求原来的等比数列•
【答案】为2,6,18或卫,50;
设所求的等比数列为a,aq,aq2;
则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);
解得a=2,q=3或a=2,q=-5;
故所求的等比数列为2,6,18或
【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,
求这三个数。
【答案】1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1
设这三个数分别为-,a,aq,
得9q4_82q2,。
,所以[9或q=,
即q=_3或q
故所求二个数为:
1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1。
【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,
并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.
【答案】0,4,8,16或15,9,3,1;
设四个数分别是x,y,12-y,16-x
2y=x+12-y.……
(1)
…j(12_y)2=y(16_x).……
(2)
由
(1)得x=3y-12,代入
(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)
.144-24y+y2=-3y2+28y,二4y2-52y+144=0,
.y2-13y+36=0,.y=4或9,
.x=0或15,
•••四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
类型六:
等比数列的判断与证明
例6.已知数列{an}的前n项和Sn满足:
log5(Sn+1)=n(n€N+),求出数列
{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列?
由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式
判断{an}类型.
解析:
vlog5(Sn+1)=n,•Sn+1=5n,•Sn=5n-1(n€N+),
•a1=S1=51-1=4,
当n》2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4X5n-1
而n=1时,4X5n-1=4X51-1=4=a1,
二n€N■时,an=4X5n-1
由上述通项公式,可知{an}为首项为4,公比为5的等比数列.
【变式1】已知数列{Cn},其中Cn=2n+3口且数列{Cn+1-pCn}为等比数列,求常数p。
【答案】p=2或p=3;
v{Cn+1-pCn}是等比数列,
二对任意n€N且n》2,有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)
vCn=2n+3n,二[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]
•[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]
即
[(2-p)・2n+(3-p)n]2=[(2-p)・2n+1+(3-p)n+1]•[(2-p)・2n-1+(3-p)n-1]
整理得:
1(2-p)(3-p)2n3JO,解得:
p=2或p=3,
6
显然Cn+1-pCnz0,故p=2或p=3为所求.
【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数
列{Cn}不是等比数列.
【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p,q,且pHq
为证{Cn}不是等比数列,只需证gC3乂2.
VC;
=(印ppq)2二a:
p2b12q22a4pq,
GC3=佝0)佝p2pq2)=aip2bjq2aQ(p2q2)
二GC3-C2=狐9-q),
又Vp工q,a1工0,b1工0,
二C1C3_C;
=0即C1c3=c
•••数列{Cn}不是等比数列
【变式3】判断正误:
(1){an}为等比数列=a7=a3a4;
⑵若b2=ac,则a,b,c为等比数列;
(3){an},{bn}均为等比数列,贝U{anbn}为等比数列;
(4){an}是公比为q的等比数列,贝U{£
}、[丄]仍为等比数列;
(5)若a,b,c成等比,贝Ulogma,logmb,logmc成等差.
(1)错;
a7=a1q6,a3a4=a1q2^a1q3=a12q5,等比数列的下标和性质要求项数相同;
⑵错;
反例:
02=0X0,不能说0,0,0成等比;
⑶对;
{anbn}首项为albl,公比为q1q2;
⑸错;
-2,-4,-8成等比,但logm(-2)无意义.
类型七:
Sn与an的关系例7.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10S^a25an6,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an.
T10Sn5a「6,①
二伽=a;
5a16,解之得a1=2或a1=3.
又10S2二a;
」5a^6(n一2),②
由①-②得10a^(a;
-a;
d)5(a^anJ),即(an玄心)何-a^-5)=0
:
an+an-1>
0,二an-an-1=5(n>
2).
当a仁3时,a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列--a1工3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,•-a1=2,—an=5n-3.
等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是
a^ai(n=1),尤其注意首项与其他各项的关系.
Sn-S“(n_2)
【变式】命题1:
若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a^1),则数列{an}是等比数列;
命题2:
若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列。
上述两个命题中,真命题为个.
【答案】0;
由命题1得,a1=a+b,当n》2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)•an-1.
若{an}是等比数列,贝U更"
,即乞日二a,
印a+b
所以只有当b=-1且az0时,此数列才是等比数列.
由命题2得,a1=a-1,当n》2时,an=Sn-Sn-1=a-1,
显然{an}是一个常数列,即公差为0的等差数列,
因此只有当a-1工0,即az1时数列{an}才又是等比数列.
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