《材料力学》第3章 扭转 习题解上课讲义.docx
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《材料力学》第3章扭转习题解上课讲义
《材料力学》第3章扭转习题解
第三章扭转习题解
[习题3-1]一传动轴作匀速转动,转速,轴上装有五个轮子,主动轮II输入的功率为60,从动轮,I,III,IV,V依次输出18,12,22和8。
试作轴的扭图。
解:
(1)计算各轮的力偶矩(外力偶矩)
外力偶矩计算(kW换算成kN.m)
题目编号
轮子编号
轮子作用
功率(kW)
转速r/min
Te(kN.m)
习题3-1
I
从动轮
18
200
0.859
II
主动轮
60
200
2.865
III
从动轮
12
200
0.573
IV
从动轮
22
200
1.051
V
从动轮
8
200
0.382
(2)作扭矩图
[习题3-2]一钻探机的功率为10kW,转速。
钻杆钻入土层的深度。
如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶,试求分布力偶的集度,并作钻杆的扭矩图。
解:
(1)求分布力偶的集度
设钻杆轴为轴,则:
(2)作钻杆的扭矩图
。
;
扭矩图如图所示。
[习题3-3]圆轴的直径,转速为120r/min。
若该轴横截面上的最大切应力等于60,试问所传递的功率为多大?
解:
(1)计算圆形截面的抗扭截面模量:
(2)计算扭矩
(3)计算所传递的功率
[习题3-4]空心钢轴的外径,内径。
已知间距为的两横截面的相对扭转角,材料的切变模量。
试求:
(1)轴内的最大切应力;
(2)当轴以的速度旋转时,轴所传递的功率。
解;
(1)计算轴内的最大切应力
。
式中,。
,
(2)当轴以的速度旋转时,轴所传递的功率
[习题3-5]实心圆轴的直径,长,其两端所受外力偶矩,材料的切变模量。
试求:
(1)最大切应力及两端面间的相对转角;
(2)图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向;
(3)C点处的切应变。
解:
(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角
。
式中,。
故:
式中,。
故:
(2)求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向
由横截面上切应力分布规律可知:
A、B、C三点的切应力方向如图所示。
(3)计算C点处的切应变
[习题3-6]图示一等直圆杆,已知,,,。
试求:
(1)最大切应力;
(2)截面A相对于截面C的扭转角。
解:
(1)计算最大切应力
从AD轴的外力偶分布情况可知:
,。
式中,。
故:
式中,。
故:
(2)计算截面A相对于截面C的扭转角
[习题3-7]某小型水电站的水轮机容量为50,转速为300r/min,钢轴直径为75mm,若在正常运转下且只考虑扭矩作用,其许用切应力。
试校核轴的强度。
解:
(1)计算最大工作切应力
式中,;
。
故:
(2)强度校核
因为,,即,所以轴的强度足够,不会发生破坏。
[习题3-8]已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径,内径,功率,转速,钻杆入土深度,钻杆材料的,许用切应力。
假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的,试求:
(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度;
(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核;
(3)两端截面的相对扭转角。
解:
(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度
设钻杆轴为轴,则:
(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核
作钻杆扭矩图
。
;
扭矩图如图所示。
强度校核
式中,
因为,,即,所以轴的强度足够,不会发生破坏。
(3)计算两端截面的相对扭转角
式中,
[习题3-9]图示绞车由两人同时操作,若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN,已知轴材料的许用切应力,试求:
(1)AB轴的直径;
(2)绞车所能吊起的最大重量。
解:
(1)计算AB轴的直径
AB轴上带一个主动轮。
两个手柄所施加的外力偶
矩相等:
扭矩图如图所示。
由AB轴的强度条件得:
(2)计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等:
由卷扬机转筒的平衡条件得:
[习题3-10]直径的等直圆杆,在自由端截面上承受外力偶,而在圆杆表面上的A点将移动到A1点,如图所示。
已知,圆杆材料的弹性模量,试求泊松比(提示:
各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系:
。
解:
整根轴的扭矩均等于外力偶矩:
。
设两截面之间的相对对转角为,则,
式中,
由得:
[习题3-11]直径的钢圆杆,受轴向拉60kN作用时,在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。
当其承受一对扭转外力偶矩时,在标距为200mm的长度内相对扭转了0.732的角度。
试求钢材的弹性常数G、G和。
解:
(1)求弹性模量E
(2)求剪切弹性模量G
由得:
(3)泊松比
由得:
[习题3-12]长度相等的两根受扭圆轴,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者的材料相同,受力情况也一样。
实心轴直径为d;空心轴的外径为D,内径为d0,且。
试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力(),扭矩T相等时的重量比和刚度比。
解:
(1)求空心圆轴的最大切应力,并求D。
式中,,故:
(1)求实心圆轴的最大切应力
式中,,故:
(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比
(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
[习题3-13]全长为,两端面直径分别为的圆台形杆,在两端各承受一外力偶矩
,如图所示。
试求杆两端面间的相对扭转角。
解:
如图所示,取微元体,则其两端面之间的扭
转角为:
式中,
故:
=
[习题3-14]已知实心圆轴的转速,传递的功率,轴材料的许用切应力,切变模量。
若要求在2m长度的相对扭转角不超过,试求该轴的直径。
解:
式中,;。
故:
取。
[习题3-15]图示等直圆杆,已知外力偶,,,许用切应力,许可单位长度扭转角,切变模量。
试确定该轴的直径。
解:
(1)判断危险截面与危险点
作AC轴的扭矩图如图所示。
因最大扭矩出出在BC段,所以危险截面出现在BC段,危险点出现在圆周上。
(2)计算危险点的应力(最大工作切应力),并代入剪切强度条件求。
(3)计算最大单位长度扭转角(出现在BC段),并代入扭转刚度条件求。
(4)确定值
[习题3-16]阶梯形圆杆,AE段为空心,外径,内径;BC段为实心,直径。
外力偶矩,,,许用切应力,许可单位长度扭转角,切变模。
试校核该轴的强度和刚度。
解:
(1)AB段的强度与刚度校核
式中,
符合度条件。
式中,
符合刚度条件。
(2)BC段的强度与刚度校核
式中,
符合度条件。
式中,
符合刚度条件。
综合
(1)、
(2)可知,该轴符合强度与刚度条件。
[习题3-17]习题3-1中所示的轴,材料为钢,其许用切应力,切变模,许可单位长度扭转角。
试按强度条件及刚度条件选择圆轴的直径。
解:
(1)由强度条件选择直径
轴的扭矩图如图所示。
因为最大扭矩出现在II、III轮之间,所以危险截面出现在此段内,危险点在此段的圆周上。
(2)由刚度条件选择直径
故选用。
[习题3-18]一直径为d的实心圆杆如图所示,在承受扭转力偶后,测得圆杆表面与纵向线成的方向上的线应变为。
试导出以,d和表示的切变模量G的表达式。
解:
圆杆表面贴应变片处的切应力为
圆杆扭转时处于纯剪切状态,图(a)。
切应变
(1)
对角线方向线应变:
图(a)
(2)
式
(2)代入
(1):
[习题3-19]有一薄壁厚为、内径为的空心薄壁圆管,其长度为,作用在轴两端面内的外力偶矩为。
试确定管中的最大切应力,并求管内的应变能。
已知材料的切变模量。
解:
(1)求管中的最大切应力
:
[习题3-20]一端固定的圆截面杆AB,承受集度为的均布外力偶作用,如图所示。
试求杆内积蓄的应变能。
已矩材料的切变模量为G。
解:
[习题3-21]簧杆直径的圆柱形密圈螺旋弹簧,受拉力作用,弹簧的平均直径为,材料的切变模量。
试求:
(1)簧杆内的最大切应力;
(2)为使其伸长量等于所需的弹簧有效圈数。
解:
,
故
因为
故 圈
[习题3-22]一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图,簧丝直径,材料的许用切应力,切变模量为G,弹簧的有效圈数为。
试求:
(1)弹簧的许可切应力;
(2)证明弹簧的伸长。
解:
(1)求弹簧的许可应力
用截面法,以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。
由平衡条件可知,在簧杆横截面上:
剪力
扭矩
最大扭矩:
,
因为,所以上式中小括号里的第二项,即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。
此时
(2)证明弹簧的伸长
外力功:
,
[习题3-23]图示矩形截面钢杆承受一对外力偶。
已知材料的切变模量,试求:
(1)杆内最大切应力的大小、位置和方向;
(2)横截面短边中点处的切应力;
(3)杆的单位长度扭转角。
解:
(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向
,,
由表得
长边中点处的切应力,在上面,由外指向里
(2)计算横截面短边中点处的切应力
短边中点处的切应力,在前面由上往上
(3)求单位长度的转角
单位长度的转角
[习题3-24]图示T形薄壁截面杆的长度,在两端受扭转力矩作用,材料的切变模量,杆的横截面上和扭矩为。
试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。
解:
(1)求最大切应力
(2)求单位长度转角
[习题3-25]图示为一闭口薄壁截面杆的横截面,杆在两端承受一外力偶。
材料的许用切应力。
试求:
(1)按强度条件确定其许可扭转力偶矩
(2)若在杆上沿母线切开一条纤缝,则其许可扭转力偶矩将减至多少?
解:
(1)确定许可扭转力偶矩
(3)求开口薄壁时的
[习题3-26]图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面,其壁厚及管壁中线的周长均相同。
两杆的长度和材料也相同,当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时,试求:
(1)最大切应力之比;
(2)相对扭转角之比。
解:
(1)求最大切应力之比
开口:
依题意:
,故:
闭口:
(3)求相对扭转角之比
开口:
闭口:
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