北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何试题解析.doc
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北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编
一、选择题:
a
a
a
正
(
主
)
视图
俯视图
侧
(
左
)
视图
(3)(北京市东城区2012年1月高三考试文科)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(A)(B)
(C)(D)
【答案】C
【解析】该几何体为底面是直角边为的等腰直角三角形,
高为的直三棱柱,其体积为。
7.(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】将三视图还原直观图,可知是一个底面为正方形(其对角线长为2),高为2的四棱锥,其体积为
A.且,则
B.且,则
C.且,则
D.且,则
【答案】C体的体积为.
2
1
1
3
3
正视图
侧视图
俯视图
2
1
(9)(北京市东城区2012年4月高考一模文科)已知一个四棱www.ks5u.com锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是.
10.(2012年4月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.
三、解答题:
(17)(北京市东城区2012年1月高三考试文科)(本小题共14分)
如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,是中点,为线段上一点.
F
E
D
B
A
P
C
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)试确定点在线段上的位置,使//平面,并说明理由.
【命题分析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。
考查学生的空间想象能力。
证明线线垂直的方法:
(1)异面直线所成的角为直角;
(2)线面垂直的性质定理;(3)面面垂直的性质定理;(4)三垂线定理和逆定理;(5)勾股定理;(6)向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进行证明;探求某证明(Ⅰ)因为平面,
所以.又四边形是正方形,
所以,,
所以平面,又Ì平面,
所以.………………7分
.………………14分
(16)(2012年4月北京市海淀区高三一模理科)(本小题满分14分)
在四棱锥中,//,,,平面,.
(Ⅰ)设平面平面,求证:
//;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)设点为线段上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
(16)(本小题满分14分)
………………………………………5分
所以,,
,
所以,
.
所以,.
因为,平面,
平面,
所以平面.
………………………………………9分
由(Ⅱ)知平面的一个法向量为.
………………………………………12分
17.(2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)(本题满分13分)
C
A
F
E
B
M
D
在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,,平面,,,,,且是的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)在上是否存在一点,使得最大?
若存在,请求出的正切值;若不存在,
请说明理由.
(17)(本小题满分13分)
(Ⅱ)解:
假设在上存在一点,使得最大.
因为平面,所以.
又因为,所以平面.………………………8分
在中,.
17.(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)(本小题满分14分)
如图,矩形中,,.,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面.
(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)若,求证:
;
(Ⅲ)求四面体体积的最大值.
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
因为四边形,都是矩形,
所以∥∥,.
所以四边形是平行四边形,……………2分
所以∥,………………3分
因为平面,
所以∥平面.………………4分
(Ⅱ)证明:
连接,设.
因为平面平面,且,
所以平面,……5分
所以.…………6分
9分
(Ⅲ)解:
设,则,其中.
由(Ⅰ)得平面,
所以四面体的体积为.………11分
所以.……………13分
当且仅当,即时,四面体的体积最大.………………14分
(17)(北京市东城区2012年4月高考一模理科)(本小题共13分)
图1图2
(17)(共13分)
(Ⅰ)证明:
取中点,连结.
因为,,
所以,而,即△是正三角形.
又因为,所以.…………2分
所以在图2中有,.…………3分
所以为二面角的平面角.图1
又二面角为直二面角,
所以.…………5分
又因为,
所以⊥平面,即⊥平面.…………6分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)可知⊥平面,,如图,以为原点,建立空间直角坐标系,
则,,,.
在图1中,连结.
因为,
所以∥,且.
所以四边形为平行四边形.
所以∥,且.
故点的坐标为(1,,0).图2
所以,,.…………8分
不妨设平面的法向量,则
即令,得. …………10分
所以.…………12分
故直线与平面所成角的大小为.…………13分
(17)(北京市东城区2012年4月高考一模文科)(本小题共14分)
如图,在边长为的正三角形中,,,分别为,,上的点,且满足.将△沿折起到△的位置,使平面平面,连结,.(如图)
(Ⅰ)若为中点,求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:
.
图1图2
(17)(共14分)
证明:
(Ⅰ)取中点,连结.
在△中,分别为的中点,
所以∥,且.
因为,
所以∥,且,
所以∥,且.
所以四边形为平行四边形.
所以∥.…………5分
又因为平面,且平面,
所以∥平面.…………7分
(Ⅱ)取中点,连结.
因为,,
所以,而,即△是正三角形.
又因为,所以.
所以在图2中有.…………9分
因为平面平面,平面平面,
所以⊥平面.…………12分
又平面,
所以⊥.…………14分
17.(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)(本小题共14分)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠BAD=60º,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.
(Ⅰ)求证:
AD⊥平面PBE;
(Ⅱ)若Q是PC的中点,求证:
PA//平面BDQ;
(Ⅲ)若VP-BCDE=2VQ-ABCD,试求的值.
17.证明:
(Ⅰ)因为E是AD的中点,PA=PD,
所以AD⊥PE.……………………1分
因为底面ABCD是菱形,∠BAD=60º,
所以AB=BD,又因为E是AD的中点,
所以AD⊥BE.……………………2分
因为PE∩BE=E,……………………3分
所以AD⊥平面PBE.……………………4分
(Ⅱ)连接AC交BD于点O,连结OQ.
……………………5分
因为O是AC中点,Q是PC的中点,
所以OQ为△PAC中位线.
所以OQ//因为,所以.……………………14分
17.(2012年4月北京市房山区高三一模理科(本小题共14分)
在直三棱柱中,=2,.点分别是,的中点,是棱上的动点.
(I)求证:
平面;
(II)若//平面,试确定点的位置,并给出证明;
(III)求二面角的余弦值.
17.(本小题共14分)
(I)证明:
∵在直三棱柱中,,点是的中点,
∴…………………………1分
,
∴⊥平面………………………2分
平面
∴,即…………………3分
又
∴平面…………………………………4分
(II)当是棱的中点时,//平面.……………………………5分
证明如下:
连结,取的中点H,连接,
则为的中位线
∴∥,…………………6分
∵由已知条件,为正方形
∴∥,
∵为的中点,
(III)∵直三棱柱且
又平面的法向量为,
==,……………………13分
设二面角的平面角为,且为锐角
.……………………14分
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