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若把这个分数的分子、分母调换位置,原题中的分母加、减1就变成分子加、减1,这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数,再求倒数即可。
个分数。
分析与解:
因为加上和减去的数不同,所以不能用求平均数的方法求解。
,这个分数是多少?
如果把这个分数的分子与分母调换位置,问题就变为:
这个分数是多少?
于是与例3类似,可以求出
在例1~例4中,两次改变的都是分子,或都是分母,如果分子、分母同时变化,那么会怎样呢?
数a。
分子减去a,分母加上a,(约分前)分子与分母之和不变,等于29+43=72。
约分后的分子与分母之和变为3+5=8,所以分子、分母约掉
45-43=2。
求这个自然数。
同一个自然数,得到的新分数如果不约分,那么差还是45,新分数约分后变
例7一个分数的分子与分母之和是23,分母增加19后得到一个新分数,
分子与分母的和是1+5=6,是由新分数的分子、分母同时除以42÷
6=7得到
分析与解:
分子加10,等于分子增加了10÷
5=2(倍),为保持分数的大小不变,分母也应增加相同的倍数,所以分母应加
8×
2=16。
在例8中,分母应加的数是
在例9中,分子应加的数是
由此,我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式:
分子应加(减)的数=分母所加(减)的数×
原分数;
分母应加(减)的数=分子所加(减)的数÷
原分数。
这道题的分子、分母分别加、减不同的数,可以说是这类题中最难的,我们用设未知数列方程的方法解答。
(2x+2)×
3=(x+5)×
4,
6x+6=4x+20,
2x=14,
x=7。
练习2
是多少?
对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握一些特殊的运算技巧,才能提高运算速度,解答较难的问题。
1.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
2.约分法
3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差,并且使中间的分数相互抵消,则能大大简化运算。
例7在自然数1~100中找出10个不同的数,使这10个数的倒数的和等于1。
这道题看上去比较复杂,要求10个分子为1,而分母不同的
就非常简单了。
括号。
此题要求的是10个数的倒数和为1,于是做成:
所求的10个数是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10。
的10和30,仍是符合题意的解。
4.代数法
5.分组法
利用加法交换律和结合律,先将同分母的分数相加。
分母为n的分数之和为
练习3
8.在自然数1~60中找出8个不同的数,使这8个数的倒数之和等于1。
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