导数难题含答案Word格式.docx
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fx
ax2
lnxa
R
.
(1)讨论
x的单调性;
(2)若存在x
1,
f
a,求
a的取值范围
5.设函数fxx2ax2x2xlnx.
(1)当a2时,讨论函数fx的单调性;
2x0,
时,
恒成立,求整数
a的最小值.
()若
1a
6.已知函数fxxalnx,gxaR.
若a1,求函数fx的极值;
设函数hxfxgx,求函数hx的单调区间;
若在区间1,ee2.71828上不存在...x0,使得fx0gx0成立,求实数a的取值范围.
7.已知函数fxxalnx,aR.
(1)当a0时,求函数fx的极小值;
(2)若函数fx在0,上为增函数,求a的取值范围.
8.已知函数fxx2axaex.
(1)讨论fx的单调性;
(2)若a
0,2,对于任意x1,x2
4,0,都有fx1fx2
4e2
mea恒成立,求m的取值
范围
参考答1.A
gx
fxfx
0,g02018
【解析】令gx
ex
因此fx2018e
x2018gxg0x0,选A.
e
点睛:
利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造
辅助函数常根据导数法则进行:
如fx
,fx
fx0构造
fx构造gx
xfx
fx构造gx
x0构造gx
xfx等
gxefx,
,xfxf
2.D
【解析】根据题意,设g(x)=x2f(x),
其导数g′(x)=(x2)′f(x)+x2?
f(x)=2xf(x)+x2?
f(x)=x[2f(x)+xf'
(x)],
又由当x>0时,有2f(x)+xf'
(x)<
0成立,则数g′(x)=x[2f(x)+xf'
(x)]<
0,
则函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,
若g(x)=x2f(x),且f(x)为偶函数,则g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),
即g(x)为偶函数,所以ge
因为f
x为偶函数,所以
f2f2,
g2即
所以fe
故选D
本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数的奇偶性与单调性的应用,关键是构造函数g
(x)并分析g(x)的单调性与奇偶性.
3.A
,则gx
2
∵fxxfx
∴xfxfx0,即gx
0在
上恒成立
∴gx在0,上单调递减
∵x2f
fx0
,即g1
∴
∴1
x,即x
故选A
本题首先需结合已知条件构造函数,然后考查利用导数判断函数的单调性,再由函数的单调性和
函数值的大小关系,判断自变量的大小关系.
4.
(1)f
x在0,1
上递增,在
1,
2a
上递减.;
(2),1.
【解析】试题分析:
(1)对函数
fx求导,再根据
a分类讨论,即可求出fx
的单调性;
(2)将
xa化简得
a
x2
lnx
0,再根据定义域
1,,对a分类讨论,a
0时,满足题意,
0时,构造g
lnx,求出gx
的单调性,可得gx的最大值,即可求出a的取值
范围.
12ax2
试题解析:
(1)fx2a
,
当a0时,fx0,所以fx在0,上递增,
当a
0时,令fx
0,得x
令fx
0,得x0,
;
所以f
x在0,
上递减.
(2)由fxa,得ax21lnx0,因为x1,,所以lnx0,x210,
当a0时,ax21lnx0满足题意,
ax
1lnx(x1),gx
2ax21
时,设gx
所以gx在1,上递增,所以gxg10,不合题意,
当0a
1时,令gx
0,得x
,令gx
0,得1,
所以gxmaxg
g10
,则
x1
gx0,
综上,
a的取值范围是
1.
本题考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处
理导数大题时,注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,
对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数
问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会.
.
()递增区间为(
),(1,+∞),递减区间为(
,1);
5
(1)f
0,
(2)1.
(1)求出函数f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)问题转化为a>
x-2(x-1
)lnx
恒成立,令g(x)=x-2(x-1
)lnx,根据函数的单调性求出
a的最小
值即可.
(1)由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞),当a=2时,f(x)=﹣x2+2x+2(x2﹣x)lnx,
所以f′(x)=﹣2x+2+2(2x﹣1)lnx+2(x2﹣x)?
=(4x﹣2)lnx,
由f'
(x)>0可得:
(4x﹣2)lnx>0,
所以或,
解得x>1或0<x<;
(x)<0可得:
(4x﹣2)lnx<0,
解得:
<x<1.
综上可知:
f(x)递增区间为(0,),(1,+∞),递减区间为(,1).
(2)若x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,即a>x﹣2(x﹣1)lnx恒成立,
令g(x)=x﹣2(x﹣1)lnx,则a>g(x)max.
因为g′(x)=1﹣2(lnx+)=﹣2lnx﹣1+,
所以g'
(x)在(0,+∞)上是减函数,且g'
(1)>0,g′
(2)<0,
故存在x0∈(1,2)使得g(x)在(0,x0)上为增函数,在(x0,+∞)上是减函数,
∴x=x0时,g(x)max=g(x0)≈0,
∴a>0,又因为a∈Z,所以amin=1.
导数问题经常会遇见恒成立的问题:
(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;
(2)若f
x0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为
fxmin0,
若fx
0恒成立,转化为fxmax0;
(3)若fxgx恒成立,可转化为fxmingxmax.
6.
(1)极小值为
11;
(2)见解析(3)2a
(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数符号,确定极值(
2)先求导数,求
导函数零点,讨论
a与零大小,最后根据导数符号确定函数单调性(
3)正难则反,先求存在一点x0,
使得fx0gx0成立时实数a的取值范围,由存在性问题转化为对应函数最值问题,结合
(2)单调
性可得实数a的取值范围,最后取补集得结果
解:
(I)当a
1时,
xlnx
1,列极值分布表
在(0,1)上递减,在(1,
)上递增,∴
的极小值为
(II
h'
hxx
alnx
①当
0,hx(0,)
在
上递增;
②当a
1时,h'
x0x
1a,
hx
(0,1
a)
a,
上递减,在
(III
)先解区间
1,e
上存在一点x0
使得
0成立
h
0在1,e上有解
当x1,e
xmin
由(II
)知
①当a
在1,e上递增,
hminh1
2a
2∴a2
②当
当
1时,
在(0,1
a)上递减,在
上递增
0时,
在1,e
上递增,
hmin
2a0a2a无解
当ae1时,hx在1,e上递减
heea
1,∴a
1;
当0ae1时,hx在1,1a上递减,在1a,e上递增
hminh1a2aaln1a
令F
aln1
ln1
F'
a
a2
F
在0,e
1递减,
Fa
Fe
无解,
e1
即hmin
0无解;
综上:
存在一点
x0,使得fx0
gx0成立,实数a的取值范围为:
2或a
1.
所以不存在一点x0,使得fx0gx0成立,实数a的取值范围为.
函数单调性问题,往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题,即转化为方程或不等式解的
问题(有解,恒成立,无解等),而不等式有解或恒成立问题,又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.
7.
(1)
1
(2)
(1)当a0时,得出函数的解析式,求导数,令f'
x0,解出x的值,利用导
数值的正负来求其单调区间进而求得极小值;
(2)求出f'
x,由于函数
在0,
是增函数,转化为f'
0对任意x0,
恒成立,
分类参数,利用导数
g
xlnx
x的最小值,即可求实数
a的取值范围.
(1)定义域为
0时,
xlnx,
lnx
1.
令f
'
当x
x为减函数;
x为增函数.
所以函数f
x的极小值是f
(2)由已知得f
因为函数f
是增函数,所以
由f'
0得lnx
0,即xlnx
a对任意的x
恒成立.
设g
xlnx
x,要使“xlnx
a对任意x
恒成立”,只要agxmin.
因为g'
,令g'
12时,
g'
0,g
12,
时,g'
gx为增函数.
所以g
x的最小值是g
故函数f
是增函数时,实数
本题主要考查了导数在函数中的综合应用,解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间,利用导
数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用,这属于教学的重点和难点,应熟练掌握,试题有一定的
综合性,属于中档试题,解答中把函数
成立是解答的关键.
fx在0,是增函数,所以f'
x0对任意x0,恒
8.
(1)见解析;
(2)m
e3
【解析】试题分析:
(1)求出f'
x,分三种情况讨论,分别令f'
x0求得x的范围,可得函数fx
增区间,f'
x0求得x的范围,可得函数fx的减区间;
(2)由
(1)知,
所
以
m
4e2
3a+16e4
x1
mea恒成立,即ae2
mea恒成立,即m
aa
e2
1恒成
立,利用导数研究函数的单调性,求出
aae2
的最大值,即可得结果.
(1)f
aex
①若a
,则f
a,
2,
上单调递增,在
上单调递减;
②a2,则,在上单调递增;
③若a2,则fx在,2,a,上单调递增,在2,a上单调递减;
(2)由1知,当a0,2时,fx在4,2上单调递增,在2,0单调递减,
所以fxmaxf2a4e2,f43a+16e4af0,
故fx1fx2
f2f0
a4e2
aae2
14e2,
max
fx1fx24e2mea恒成立,
即ae214e24e2mea恒成立
即m
1恒成立,
ea
令g
xx,x
0,2,
易知g
x在其定义域上有最大值g1
所以m
3
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