第2讲 平面向量复数教案有解析 高三数学文科二轮复习.docx
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第2讲 平面向量复数教案有解析 高三数学文科二轮复习.docx
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第2讲平面向量复数教案有解析高三数学文科二轮复习
第2讲平面向量、复数
1.考查平面向量的基本定理及基本运算,多以熟知的平面图形为背景进行考查,多为选择题、填空题,难度为中低档.
2.考查平面向量的数量积,以选择题、填空题为主,难度为低档;向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出现.
热点一 平面向量的线性运算
1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化.
2.在用三角形加法法则时,要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量;在用三角形减法法则时,要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.
例1
(1)(2017·北京市海淀区适应性考试)如图所示,已知=3,=a,=b,=c,则下列各式中成立的是( )
A.c=b-aB.c=2b-a
C.c=2a-bD.c=a-b
答案 A
解析 因为=3,=a,=b,
所以=+=+=+(-)
=-=b-a,故选A.
(2)(2017届福建福州外国语学校期中)已知e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=2e1-5e2,=λe1-e2,若三点A,B,D共线,则λ=________.
答案 8
解析 ∵A,B,D共线,∴与共线,
∴存在实数μ,使=μ,
∵=-=(λ-2)e1+4e2,
∴3e1+2e2=μ(λ-2)e1+4μe2,
∴ ∴
思维升华
(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底,同时注意平面向量基本定理的灵活运用.
(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.
跟踪演练1
(1)(2017届广西陆川县中学二模)如图,已知=a,=b,=4,=3,则等于( )
A.b-aB.a-b
C.a-bD.b-a
答案 D
解析 =-=b-a,
=+=(b-a)-b
=b-a.
(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于( )
A.(-5,-10)B.(-4,-8)
C.(-3,-6)D.(-2,-4)
答案 B
解析 因为a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,
所以m+4=0,m=-4,2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故选B.
热点二 平面向量的数量积
1.数量积的定义:
a·b=|a||b|cosθ.
2.三个结论
(1)若a=(x,y),则|a|==.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则
||=.
(3)若非零向量a=(x1,y1),非零向量b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,
则cosθ==.
例2
(1)(2017·湖北省武汉市武昌区调研)在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则·等于( )
A.-B.0
C.D.7
答案 B
解析 =+=+=+,
=+=+=-,那么·=·
=2-2=3-3=0,故选B.
(2)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于( )
A.1B.2C.3D.5
答案 A
解析 |a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,
将上面两式左右两边分别相减,得4a·b=4,
∴a·b=1.
思维升华
(1)数量积的计算通常有三种方法:
数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义.
(2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.
跟踪演练2
(1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )
A.-2B.-C.-D.-1
答案 B
解析 方法一 (解析法)
建立平面直角坐标系如图①所示,
则A,B,C三点的坐标分别为A(0,),
B(-1,0),C(1,0).
设P点的坐标为(x,y),图①
则P=(-x,-y),
=(-1-x,-y),
=(1-x,-y),
∴·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)
=2(x2+y2-y)=2
≥2×=-.
当且仅当x=0,y=时,·(+)取得最小值,最小值为-.
故选B.
方法二 (几何法)
如图②所示,+=2(D为BC的中点),则·(+)=2·.
要使·最小,则与方向相反,即点P在线段AD上,则(2·)min=-2||||,问题转化为求||·||的最大值.图②
又||+||=||=2×=,
∴||||≤2=2=,
当且仅当||=||时取等号,
∴[·(+)]min=(2·)min=-2×=-.
故选B.
(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,则|a+2b|=________.
答案 2
解析 因为|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=,
故a·b=2cos〈a,b〉=-1,则(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=4-4+4=4,即|a+2b|=2.
热点三 平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件.
例3 (2017·江苏)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解
(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,
所以-cosx=3sinx.
若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,
故cosx≠0.
于是tanx=-.
又x∈[0,π],所以x=.
(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-)
=3cosx-sinx=2cos.
因为x∈[0,π],所以x+∈,
从而-1≤cos≤,
于是,当x+=,即x=0时,f(x)取得最大值3;
当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值-2.
思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.
跟踪演练3 已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈R,函数f(x)=a·(b-c).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f =,求sinα的值.
解
(1)因为a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),
c=(-cosx,-sinx),
所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),
f(x)=a·(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx)
=sin2x+2sinxcosx-cos2x
=sin2x-cos2x=sin.
当2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z时,函数f(x)为减函数.
所以函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z.
(2)由
(1)知,f(x)=sin,
又f =,
则sin=,sin=.
因为sin2+cos2=1,
所以cos=±.
又sinα=sin
=sincos+cossin,
所以当cos=时,
sinα=×+×=;
当cos=-时,
sinα=×-×=.
综上,sinα=.
真题体验
1.(2017·北京改编)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 方法一 由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ,使得m=λn,
则m与n反向共线,θ=180°,
∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.
当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
方法二 ∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.
∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.
反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
2.(2017·山东)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是____________.
答案
解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
|e1-e2|==
==2.
同理|e1+λe2|=.
所以cos60°=
===,
解得λ=.
3.(2017·天津)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为________.
答案
解析 由题意知||=3,||=2,
·=3×2×cos60°=3,
=+=+
=+(-)=+,
∴·=·(λ-)
=·-2+2
=×3-×32+×22
=λ-5=-4,解得λ=.
4.(2017·北京)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.
答案 6
解析 方法一 根据题意作出图象,如图所示,A(-2,0),P(x,y).
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0).
·=||||cosθ,
||=2,||=,
cosθ==,
所以·=2(x+2)=2x+4.
点P在圆x2+y2=1上,所以x∈[-1,1].
所以·的最大值为2+4=6.
方法二 如图所示,因为点P在圆x2+y2=1上,
所以可设P(cosα,sinα)(0≤α<2π),
所以=(2,0),=(cosα+2,sinα),
·=2cosα+4≤2+4=6,
当且仅当cosα=1,即α=0,P(1,0)时“=”号成立.
押题预测
1.如图,在△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N,设=a,=b,用a,b表示向量,则等于( )
A.(a+b)B.(a+b)
C.(a+b)D.(a+b)
押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据,而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础.
答案 C
解析 因为DE∥BC,所以DN∥BM,
则△AND∽△AMB,所以=.
因为=,
所以=.
因为M为BC的中点,
所以=(+)=(a+b),
所以==(a+b).
故选C.
2.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·等于( )
A.-B.-
C.-D.-
押题依据 数量积是平面向量最重要的概念,平面向量数量积的运算是高考的必考内容,和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式.
答案 B
解析 ∵=2,圆O的半径为1,∴||=,
∴·=(+)·(+)=2+·(+)+·=2+0-1=-.
3.在△ABC中,=(cos32°,
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