海明码的校验Word文档格式.docx

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=k+r+1。

海明码的编码效率为：

R=k/（k+r）；

式中k为信息位位数，

r为增加冗余位位数，

2.2海明码的原理

在数据中间加入几个校验码，将玛距均匀拉大，将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。

海明不等式：

校验码个数为K，2的K次幂个信息，1个信息用来指出“没有错误”，其余2K-1个指出错误发生在那一位，但也可能是校验位错误，故有N<

=2的K次-1-K能被校验。

2.3海明码的编码规则

若为011是第六位错1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，

2.海明玛的每一位（Hi）是由多个/1个校验值进行校验的，被校验玛的

位置玛是所有校验这位的校验位位置玛之和。

一个例题：

4个数据位d0,d1,d2,d3,3个校验位r0,r1,r2，对应的位置为：

d3d2d1r2d0r1r0======b7b6b5b4b3b2b1

校验位的取值，就是他所能校验的数据位的异或

b1为b3,b5,b7的异或，b2为b3,b6,b7b4为b5,b6,b7[/font]

海明玛传送到接受方后，将上三式的右边（b1,b2,b4）的逻辑表达式分别

异或上左边的值就得到了校验方程，如果上题采用偶校验

G1=b1b3b5b7的异或

G2=b2b3b6b7的异或

G3=b4b5b6b7的异或

若G1G2G3为001是第四位错

2.4海明码的生成与接收

特注：

以下的+均代表异或

方法一：

1）海明码的生成。

例1.已知：

信息码为：

"

0010"

。

海明码的监督关系式为：

S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

求：

海明码码字。

解：

1）由监督关系式知冗余码为a2a1a0。

2）冗余码与信息码合成的海明码是：

0010a2a1a0"

设S2=S1=S0=0,由监督关系式得：

异或运算：

a2=a4+a5+a6=1

a1=a3+a5+a6=0

a0=a3+a4+a6=1

因此，海明码码字为：

0010101"

2）海明码的接收。

例2.已知：

接收码字为：

0011101"

（n=7）

发送端的信息码。

1）由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。

2）由监督关系式可构造出下面错码位置关系表：

S2S1S0

000

001

010

100

011

101

110

111

错码位置

无错

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

3）由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。

4）纠错--对码字的a3位取反得正确码字：

0010101"

5）把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码：

方法二：

（不用查表，方便编程）

1）海明码的生成（顺序生成法）。

例3.已知：

11001100"

（k=8）

1）把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码

码字:

AB1C100D1100"

码位:

123456789101112

其中A,B,C,D分别插于2的k次方位（k=0,1,2,3）。

码位分别为1,2,4,8。

2）冗余码A,B,C,D的线性码位是：

（相当于监督关系式）

A->

1,3,5,7,9,11；

B->

2,3,6,7,10,11；

C->

4,5,6,7,12；

（注5=4+1；

6=4+2；

7=4+2+1；

12=8+4）

D->

8,9,10,11,12。

3）把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值（设冗余码初值为0）：

A=∑（0,1,1,0,1,0）=1

B=∑（0,1,0,0,1,0）=0

C=∑（0,1,0,0,0）=1

D=∑（0,1,1,0,0）=0

4）海明码为:

101110001100"

例4.已知：

接收的码字为：

100110001100"

（k=8）

1）设错误累加器（err）初值=0

2）求出冗余码的偶校验和，并按码位累加到err中：

A=∑（1,0,1,0,1,0）=1err=err+20=1

B=∑（0,0,0,0,1,0）=1err=err+21=3

C=∑（1,1,0,0,0）=0err=err+0=3

D=∑（0,1,1,0,0）=0err=err+0=3

由err≠0可知接收码字有错，

3）码字的错误位置就是错误累加器（err）的值3。

4）纠错--对码字的第3位值取反得正确码字：

5）把位于2的k次方位的冗余码删除得信息码：

11001100"

三流程图

四运行代码

编码（encode）和纠错（check）的相关程序。

#include<

iostream>

fstream>

stdio.h>

#defineN1270

#defineK1200

#defineG70

//#defineHAIMING

usingnamespacestd;

intlen[N];

inti_2_r（inta）//求一个2^n次方的数的幂

{

intcount=0;

if（a==1）

return0;

while（a>

1）

a=a/2;

count++;

}

returncount;

voidin_to_Group（inta[],intb,intn）//添加到各组中

inti;

for（i=1;

i<

=n;

i++）

if（a[i]==-1）

a[i]=b;

int_2_r_gt_k_r（intk,intr）//判断2^r>

=k+r+1

inti,s=1;

for（i=1;

i<

=r;

s=2*s;

if（s>

=k+r+1）

return1;

else

intis_i_2_r（inti）//判断i是否为2^n位

if（i==1）

if（i%2!

=0）

while（i%2==0&

&

i!

=1）

i=i/2;

if（i==1）

intint_to_invdec（inta[],intn）//求一个整数的逆序的二进制码

inti=1;

//以计算校验位号

while（n）

a[i++]=n%2;

n/=2;

returni-1;

//返回位数

intcount1（inta[],intn）//计算1的个数

inti,count=0;

=n;

if（a[i]==1）

if（count%2==0）

voidmain（）

#ifdefHAIMING

freopen（"

海明码.txt"

"

r"

stdin）;

#endif

intinfor[N],i,k,r,findr=1;

intgroup[G][K],g,j;

//group用于分组检测1的个数

inta[N],a_l;

printf（"

\n输入有效信息位位数k（0=<

k<

=1200）:

）;

scanf（"

%d"

&

k）;

i=2;

while（findr）//找所需检测位数r的值

r=i;

if（_2_r_gt_k_r（k,r））

findr=0;

i++;

\n需添加%d位检测位.\n"

r）;

\n输入信息码:

\n"

=k+r;

infor[i]=-1;

if（!

is_i_2_r（i））

infor[i]）;

=r;

for（j=1;

j<

=k;

j++）

group[i][j]=-1;

//***初始化各组为-1表示空信息

len[i]=0;

//***初始化各组元素个数为0

海明码（偶校验）为:

=k+r;

i++）//!

!

*从添加检测位后的第1位开始进行分组（关键）

a_l=int_to_invdec（a,i）;

//**将位号转化为逆序的二进制数存入数组a[]中,返回数组长度

for（g=1;

g<

g++）//共分为r组

=a_l;

if（a[j]==1）//**查转化后a[]中为1的下标位（如为1则分给第1组,为2则分给第二组等等）

if（g==j）//若分组号与下标位相同,

in_to_Group（group[g],infor[i],len[g]）;

//**将该信息码添加到第g小组中

len[g]++;

//*第g小组长度增1

break;

i++）//******检测各小组中1的个数

{if（is_i_2_r（i）&

count1（group[i_2_r（i）+1],len[i_2_r（i）+1]））//如果位号为2^n位即检测位

infor[i]=0;

//***且该小组中1的个数为偶数,则该检测位上添为0用以校验

if（is_i_2_r（i）&

infor[i]=1;

//***且该小组中1的个数为奇数,则该检测位上添为1用以校验

cout<

<

infor[i]<

"

;

//输出编写好的海明码

}

五运行界面及截图

六总结

海明码的纠错位数是1位，最多检测错位为2位，所需要记录海明码的位数，现在我参照程序来解释一下海明码是怎么纠的1位错，最多能检测2位错。

设数据位数，依此存储在数组中，计算所需要的海明码的位数，并声明存储海明码的数组。

计算海明码的实际代码，可以看出海明码的计算是根据相应数据位的二进制数来计算的，例如对于7而言，它的二进制代码为000111，所以它对海明码的贡献就是影响了海明码第1，2，3位的值，那么假设在只有一个数据位p错的话，它所导致的校验不一致的海明码的位，就是它二进制代码所影响的海明码的位，反过来，只要我们找出所有校验不一致的海明码的位数，那么也就知道了相应数据位的二进制的值，也就知道是第几位出错，从而可以把相应的位取反，达到纠错的效果。

那么为什么海明码最多能检测2位错呢，现在我们来看看海明码是如何检验出两位的错误的，假设第p1,p2（p1<

>

p2）位数据错误，可以知道，他们相应的二进制位所影响位必不完全相同，因为p1,p2是不同的数，所以必然导致海明码某个校验位不一致，也就检测出错误，但是我们并不能从所得到的不一致的位来推测出p1,p2的值，例如：

第3位与第7位都错，那么最后导致不一致的校验位是第3位，根据程序显然得出的是第4位出错（实质上是x+y=z，由z求x,y的不定方程问题，解是不唯一的）。

那么为什么海明码无法检测3位或3位以上的错误呢，这是因为3位或3位以上的错误有可能互相影响使得最后的校验值全部一致，例如：

取第3，4，7位出错，就会导致这种情况。

七参考资料

《计算机网络（第二版）》吴功宜清华大学出版社