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1、整式的乘除法以及乘法公式;
2、因式分解的方法及步骤;
3、整式乘法与因式分解的互逆关系以及灵活运用公式运算。
教学难点
乘法公式的结构特征及字母的广泛含义;
添加括号符号的处理;
分解因式的方法。
思想方法及
能力培养
1、从特殊到一般的数学思想:
在性质和公式的得出过程中,从数字运算到式子运算,从具体到抽象的归纳,能用代数式和文字语言叙述,使学生较容易理解。
2、渗透转化的数学思想:
遇到新的算式,可通过转化成学过的式子,探究得出该性质和法则。
如多项式与多项式相乘,第一转化成多项式与单项式相乘,第二转化为单项式相乘,再转化为有理数的乘法与同底数幂的乘法。
深入体会知识间的相互联系。
3、重视运算性质与公式的逆运算,发展学生的逆向思维。
4、充分发挥学生的主观能动性,培养学生的探究精神与合作学习的习惯。
教学策略
(教法学法)
1、重视运算性质和公式的发生和归纳过程的教学。
整式乘除法运算性质、乘法公式的得出过程,都是从数的运算,归纳的出式的运算性质,在性质和公式发生过程的教学中,重视归纳过程,使学生理解和掌握性质和公式,并能用代数式和文字语言描述,运用它们熟练地进行运算。
2、适时渗透转化的思想方法以及注意数学知识之间的内在联系。
运用转化的思想方法给教学提供了极大地方便,幂的运算性质是整式运算的基础,单项式乘法则是整式乘法的关键,它是作为幂的三个运算性质的直接运用,更是通向多项式乘法的“桥梁”。
只有通过转化方法的运用,才能掌握运算性质和公式,理解知识之间的相互联系。
3、充分信任学生,努力发挥他们的主观能动性,让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳等,主动地进行学习,要有意识地鼓励学生寻找富有挑战性的学习资料,培养分析、解决问题的能力,还要考虑在传承数学史知识及数学文化修养方面做出努力,使学生在获得数学知识的同时人文精神也得到陶冶。
课时安排
(1)整式的乘法
4课时
(2)乘法公式
3课时
(3)整式的除法
2课时
(4)因式分解
4课时
(5)知识小结与测试
2课时
§
15.1.1
整式
教学目标
1.单项式、单项式的定义.
2.多项式、多项式的次数.
3、理解整式概念.
教学重点
单项式及多项式的有关概念.
单项式及多项式的有关概念.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
在七年级,我们已经学习了用字母可以表示数,思考下列问题
1.要表示△ABC的周长需要什么条件?
要表示它的面积呢?
2.小王用七小时行驶了Skm的路程,请问他的平均速度是多少?
结论:
1、要表示△ABC的周长,需要知道它的各边边长.要表示△ABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高.如果设BC=a,AC=b,AB=c.AB边上的高为h,那么△ABC的周长可以表示为a+b+c;
△ABC的面积可以表示为•c•h.
2.小王的平均速度是.
问题:
这些式子有什么特征呢?
(1)有数字、有表示数字的字母.
(2)数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接.
归纳:
用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
判断上面得到的三个式子:
a+b+c、ch、是不是代数式?
(是)
代数式可以简明地表示数量和数量的关系.今天我们就来学习和代数式有关的整式.
Ⅱ.明确和巩固整式有关概念
(出示投影)
(1)正方形的周长:
4x.
(2)汽车走过的路程:
vt.
(3)正方体有六个面,每个面都是正方形,这六个正方形全等,所以它的表面积为6a2;
正方体的体积为长×
宽×
高,即a3.
(4)n的相反数是-n.
分析这四个数的特征.
它们符合代数式的定义.这五个式子都是数与字母或字母与字母的积,而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号.还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同,字母的个数也不尽相同.
请同学们阅读课本P160~P161单项式有关概念.
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中,哪些是单项式?
是单项式的,写出它的系数和次数.
结论:
4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式.它们的系数分别是4、1、6、1、-1、.它们的次数分别是1、2、2、3、1、2.所以4x、-n都是一次单项式;
vt、6a2、ch都是二次单项式;
a3是三次单项式.
问题:
vt中v和t的指数都是1,它不是一次单项式吗?
不是.根据定义,单项式vt中含有两个字母,所以它的次数应该是这两个字母的指数的和,而不是单个字母的指数,所以vt是二次单项式而不是一次单项式.
生活中不仅仅有单项式,像a+b+c,它不是单项式,和单项式有什么联系呢?
写出下列式子(出示投影)
结论:
(1)t-5.
(2)3x+5y+2z.
(3)三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积,即ab-3.12r2.
(4)建筑面积等于四个矩形的面积之和.而右边两个已知矩形面积分别为3×
2、4×
3,所以它们的面积和是18.于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18.
我们可以观察下列代数式:
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18.发现它们都是由单项式的和组成的式子.是多个单项式的和,能不能叫多项式?
这样推理合情合理.请看投影,熟悉下列概念.
根据定义,我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式.请分别指出它们的项和次数.
a+b+c的项分别是a、b、c.
t-5的项分别是t、-5,其中-5是常数项.
3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z.
ab-3.12r2的项分别是ab、-3.12r2.
x2+2x+18的项分别是x2、2x、18.
找多项式的次数应抓住两条,一是找准每个项的次数,二是取每个项次数的最大值.根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式,后两个是二次多项式.
这节课,通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念,它们可以反映变化的世界.同时,我们也体会到符号的魅力所在.我们把单项式与多项式统称为整式.
Ⅲ.随堂练习
1.课本P162练习
Ⅳ.课时小结
通过探究,我们了解了整式的概念.理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点,特别是它们的次数.在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义,发展符号感.
Ⅴ.课后作业
1.课本P165~P166习题15.1─1、5、8、9题.
2.预习“整式的加减”.
课后作业:
《课堂感悟与探究》
15.1.2整式的加减
(1)
教学目的:
1、
解字母表示数量关系的过程,发展符号感。
2、会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理,发展有条理的思考及语言表达能力。
教学重点:
会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理。
教学难点:
正确地去括号、合并同类项,及符号的正确处理。
教学过程:
一、
课前练习:
1、填空:
整式包括
和
2、单项式的系数是
、次数是
3、多项式是
次
项式,其中二次项
系数是
一次项是
,常数项是
4、下列各式,是同类项的一组是(
)
(A)与
(B)与
(C)与
5、去括号后合并同类项:
二、
探索练习:
1、如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为
交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为
这两个两位数的和为
2、如果用a、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字,那么这个三位数可以表示为
交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为
这两个三位数的差为
●议一议:
在上面的两个问题中,分别涉及到了整式的什么运算?
说说你是如何运算的?
▲整式的加减运算实质就是
运算的结果是一个多项式或单项式。
三、
巩固练习:
(1)与的差是
(2)、单项式、、、的和为
(3)如图所示,下面为由棋子所组成的三角形,
一个三角形需六个棋子,三个三角形需
(
)个棋子,n个三角形需
个棋子
2、计算:
(1)
(2)
(3)
3、
(1)求与的和
(2)求与的差
4、
先化简,再求值:
其中
四、
提高练习:
若A是五次多项式,B是三次多项式,则A+B一定是
(A)
五次整式
(B)八次多项式
(C)三次多项式
(D)次数不能确定
2、足球比赛中,如果胜一场记3a分,平一场记a分,负一场
记0分,那么某队在比赛胜5场,平3场,负2场,共积多
少分?
3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和,一定能被14
整除,请证明这个结论。
4、如果关于字母x的二次多项式的值与x的取值无关,
试求m、n的值。
五、
小结:
整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。
六、
作业:
第8页习题1、2、3
15.1.2整式的加减
(2)
教学目标:
1.会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理,发展有条理的思考及其语言表达能力。
2.通过探索规律的问题,进一步体会符号表示的意义,发展符号感,发展推理能力。
整式加减的运算。
探索规律的猜想。
教学方法:
尝试练习法,讨论法,归纳法。
教学用具:
投影仪
I探索练习:
摆第1个“小屋子”需要5枚棋子,摆第2个需要
枚棋子,摆第3个需要
枚棋子。
按照这样的方式继续摆下去。
(1)摆第10个这样的“小屋子”需要
枚棋子
(2)摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子?
你是如何得到的?
你能用不同的方法解决这个问题吗?
小组讨论。
二、例题讲解:
三、巩固练习:
1、计算:
(1)(14x3-2x2)+2(x3-x2)
(2)(3a2+2a-6)-3(a2-1)
(3)x-(1-2x+x2)+(-1-x2)(4)(8xy-3x2)-5xy-2(3xy-2x2)
2、已知:
A=x3-x2-1,B=x2-2,计算:
(1)B-A
(2)A-3B
3、列方程解应用题:
三角形三个内角的和等于180°
,如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍,而第三个角比第二个角大15°
,那么
(1)第一个角是多少度?
(2)其他两个角各是多少度?
四、提高练习:
已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=0,问C是什么样的多项式?
2、设A=2x2-3xy+y2-x+2y,B=4x2-6xy+2y2-3x-y,若│x-2a│+
(y+3)2=0,且B-2A=a,求A的值。
3、已知有理数a、b、c在数轴上(0为数轴原点)的对应点如图:
试化简:
│a│-│a+b│+│c-a│+│b+c│
小
结:
要善于在图形变化中发现规律,能熟练的对整式加减进行运算。
作
业:
课本P14习题1.3:
1
(2)、(3)、(6),2。
问题导学案初三数学组李凤荣一教材分析
(一)地位及作用本节课是本章的重要内容之一,这是在学习整式的概念以及幂的意义的基础上,对整式及幂的意义的运用和深化。
它又为后面整式乘法的学习奠定了基础,起着乘前启后的桥梁作用,是中考考点之一。
(二)结合中考因为同底数幂乘法是幂的意义的拓展及深化,又是整式乘法学习的基础,所以是中考考试内容之一。
常在选择题及二十一题中出现。
(三)重点,难点重点是同底数幂的乘法法则及其应用。
难点是同底数幂的乘法法则的推导及其应用。
二学情分析八年级学生的抽象思维能力和认识规律还不是很强,从认知情况来说,学生在此之前已经学习了幂的概念,对相同因数的积已有了初步的认识,为本节课课后学习打下了基础。
三教学目标1知识目标:
了解同底数幂乘法的性质能正确地运用性质解决一些实际问题。
2、能力目标:
经历探索同底数幂乘法运算性质的过程在探索过程中,发展学生的数感和符号感培养学生的观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力发展推理能力和有条理的表达能力。
3、情感目标:
通过同底数幂乘法性质的推导和应用,使学生初步理解“特殊~~一般~~特殊”的认知规律和辨证唯物主义思想,体会科的思想方法激发学生创新精神(四)学法指导本节课在预习案的指引下,我采用小组合作探究探究分层展示的方法,增强学生参与意识,在教师设计的预习案的引导下学生自己获取知识和思考问题的方法。
预习案设计学习目标:
1.准确理解同底数幂的乘法法则,能结合实际问题进行基本运算,提高计算能力。
2.通过自主学习、合作探究、总结同底数幂的乘法法则。
3.激情投入、全力以赴、养成良好的数学思维习惯。
信息链接乘方的意义是什么?
a叫什么?
是不是只代表具体的数?
n又叫什么?
乘方的结果叫什么?
分别指出下列各个乘方的底数和指数并计算出结果。
(3)2.教材助读p141-142在同底数幂乘法公式中,对底数和指数有什么要求?
同底数幂的乘法中,底数互为相反数时,应该怎样计算?
同底数幂乘法公式是否可以逆用?
3预习自测判断对错4我的疑惑请将预习中不能解决的问题写出来供课堂解决。
设计意图:
因为乘方的意义是初一学的,学生已经遗忘。
通过旧知回顾,让学生对已学知识进行回忆,也为本节课做好铺垫。
通过预习自测题,了解学生预习情况,看学生对性质是否理解,是否注意到题中的条件和结论,是否注意到性质中关键字词。
可能出现的问题:
1.学生预习不认真,不细心。
只为完成任务。
2.预习自测体现一定基础性,又有一定的思维含量,部分同学对个别问题考虑不严密。
(二)导入新课宇宙飞船载人航天飞行是我国航天事业的伟大壮举。
它飞行的速度约为104米/秒,每天飞行时间约为105秒。
它每天约飞行了多少米?
解:
104×
105=?
109(米)答:
它每天约飞行了109米。
(三)探究案设计
(一)基础知识探究探究点:
同底数幂的乘法法则(重点)问题1:
102×
105有何意义?
结果是多少?
表示2个10的乘积与5个10的乘积相乘,得到7个10的乘积,即结果是107.问题2:
(-2)2×
(-2)5有何意义?
解:
表示2个-2的乘积与5个-2的乘积相乘,得到7个-2的乘积,即结果是(-2)7.问题3:
a2·
a5有何意义?
表示2个a的乘积与5个a的乘积相乘,得到7个a的乘积,即结果是a7.问题4:
计算am·
an(m,n都为正整数)的结果是多少?
问题5:
am·
an·
ap(m,n,p都为正整数)的结果是多少?
解法一:
ap=(am·
an)·
ap=am+n·
ap=am+n+p.解法二:
ap=am·
(an·
ap)=am·
an+p=am+n+p.【归纳总结】不管多少个幂相乘,只要每个幂的底数相同,结果都是底数不变,指数相加.
(二)知识综合应用探究探究点1:
同底数幂的乘法法则中的底数的探究(重点)例1.计算:
(1)108×
102;
(2);
(3)x2·
x5;
(4)(-m)(-m)3;
(5)(a+b)3·
(a+b)·
(a+b)2.解析指导:
当底数是多项式时,应把多项式看成一个整体,再运用同底数幂的乘法法则进行计算.解:
102=108+2=1010.
(2)(3)x2·
x5=x2+5=x7.(4)(-m)(-m)3=(-m)1+3=(-m)4=m4.(5)(a+b)3·
(a+b)2=(a+b)3+1+2=(a+b)6.【规律方法总结】同底数幂的乘法法则中的底数可以是单项式,也可以是多项式等.探究点2:
可化为同底数幂的乘法的计算(难点)例2.计算:
(-b)3·
(-b)2·
b.解析指导:
我们知道b的底数为b,指数为1,但(-b)3与(-b)2的底数都为-b.在乘方运算中,负数的偶数次方为正,负数的奇数次方为负.解:
b或(-b)3·
b=(-b)5·
b=-b3·
b2·
b=-b5·
b=-b6.=-b6.例3.计算:
(1)8×
2m×
16;
(2)9×
27-3×
34.解析指导:
底数不相同的幂的乘法,可进行相应调整,变为同底数幂的乘法,即可利用同底数幂的乘法法则进行计算.解:
16=23×
24=23+m+4=2m+7.
(2)9×
34=32×
33-3×
34=35-35=0.【规律方法总结】在应用同底数幂的乘法法则时,应注意必须是同底数幂的乘法才能运用该法则,不是同底数幂的乘法要先化成同底数幂的乘法,否则不能使用该法则.(四)知识网络图------归纳总结、串联整合设计意图:
通过上面层层深入的五个问题的设计,让学生通过合作交流,让学生领悟到从一般到特殊的认知规律。
问题1和2是针对c层同学设计,问题3---5是针对B层同学设计的。
通过例1的设计,看C层同学对法则的理解程度是否能够直接应用法则进行计算。
例2例3的是针对B层同学设计的,看B层同学遇到幂的底数不同时是否能转化为同底数幂。
通过二道混合运算题,让学生领会混合运算的运算顺序,同时让学生掌握转化的数学思想。
个别问题理解不透。
遇到底数不同时不会转化为同底数幂。
解决方法:
在黑板上多举出几个贴近学生生活并使学生感兴趣的例题,引导学生在情境中去体会总结。
(五)训练案【一填空题】1.2.3.4.5.6.7.8.【拓展探究】【数学沙龙】初中学习网,资料共分享!
我们负责传递知识!
同底数幂的乘法
★知识与技能目标:
1.掌握正整数幂的运算性质,会用它们进行计算.
2.了解整式的乘法法则(其中的多项式相乘仅指一次式相乘),会进行简单的整式的乘法运算.
3.会推导乘法公式,了解公式的几何背景,并能运用公式进行简单的计算.
4.通过从幂运算到多项式的乘法,再到乘法公式的教学,初步理解“特殊→一般→特殊”的认识过程.
5.探索并了解单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则,并能进行简单的除法运算.
6.会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).
★情感与态度目标:
学生从已有知识出发,通过适当的探究、合作讨论、实践活动,获得一些直接的经验并体会数学的实用价值.
一、教学内容分析
(一)本章内容简介
第十三章《整式的乘除》的主要内容是幂的运算,整式的乘除、乘法公式以及因式分解。
本章内容建立在已经学习了的有理数运算、整式的加减运算等知识的基础上。
整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识,这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础,在后续的数学学习中具有重要意义,同时,这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识。
本章所涉及的数学教学内容之间不仅具有密切的联系,且具有很强的逻辑关系。
整式的乘法与除法是互为逆运算,乘法公式是具有特殊形式的整式乘法问题,整式的乘法与因式分解是方向相反的恒等变形,在涉及的这些内容中,整式的乘法是引入后续内容教学的基础,学好一般整式乘法的知识是进一步学习本章其他知识的前提。
本章根据知识之间的这种逻辑关系,把教学重点放在整式乘法的教学上,符合逻辑、循序渐进地安排了单项式与单项式相乘、多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘、乘法公式的教学内容。
教科书注意渗透“转化”的思想方法。
注意了代数与几何之间的联系,体现了数形结合的重要数学思想和方法。
从某些具体的数与式计算,归纳得到一般的式的运算法则,是一个由特殊到一般,从具体到抽象的归纳过程,使学生在这个过程中理解和掌握性质和公式,并能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,运用它们熟练地进行运算。
使学生在理解的基础上加以记忆,在运用、练习的过程
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