八年级 四边形 综合拔高训练 能力提升含完整答案与解析Word文件下载.docx
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8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,AG平分△ABC的外角∠BAF,BE⊥AG,垂足为E.
四边形ADBE是矩形;
(2)连结DE,交AB于点O,若BC=8,AO=
,则△ABC的面积是:
.
9.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作OE⊥BC交BC于点E.过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G.
(1)如图1,若BC=5,OE=3,求平行四边形ABCD的面积;
(2)如图2,若∠ACB=45°
,求证:
AF+FO=
EG.
10.如图,点E为▱ABCD的边AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH,AF.
(1)若∠BAE=70°
,∠DCE=20°
,求∠DEC的度数;
(2)求证:
四边形AFHD为平行四边形;
(3)连接EH,交BC于点O,若OC=OH,求证:
EF⊥EG.
答案与解析
【解答】
(1)证明:
∵BE平分∠ABC,BC=EC,
∴∠ABF=∠CBE,∠CBE=∠E,
∴∠ABF=∠E,
∴AB∥CD,
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形;
(2)解:
由
(1)得:
四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC=2
,
∵F为AD中点,
∴AF=DF=
在△ABF和△DEF中,
∴△ABF≌△DEF(AAS),
∴BF=EF=6,AB=DE,
∵AB=CD,
∴AB=CD=DE=
CE=
BC=
∵FG⊥AB,
∴∠G=90°
∴GF2=AF2﹣AG2=BF2﹣BG2,
即(
)2﹣AG2=62﹣(
+AG)2,
解得:
AG=
∴GF=
=
.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;
熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
∵DE∥BF,
∴∠AFB=∠CED,
在△ABF和△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴AB=CD,∠BAF=∠DCE,
∴四边形ABCD是平行四边形;
图中所有的全等的直角三角形为△ABC≌△CDA,△ABF≌△CDE,△BEF≌△DFE,△BCF≌△DAE,理由如下:
∵DE⊥AC,
∴∠AED=∠CED=90°
△ABF≌△CDE,AB=CD,四边形ABCD是平行四边形,
∴∠AFB=∠CED=90°
∴∠BFC=90°
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠CDA=90°
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SAS);
同理:
△ABF≌△CDE(SAS),△BEF≌△DFE(SAS),△BCF≌△DAE(SAS).
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识;
∵点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°
∴平行四边形AEBD是矩形;
(2)∵∠BAC=90°
,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,
∴AD=BD=CD,
∵由
(1)得四边形AEBD是矩形,
∴矩形AEBD是正方形.
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识,熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠GAD=∠DCE=90°
在△GAD和△ECD中,
∴△GAD≌△ECD(SAS),
∴DE=DG,∠GDA=∠EDC,
∴∠GDA+∠ADF=∠EDC+∠ADF,
即∠GDF=∠ADC=90°
∵DE⊥CH,
∴∠DFH=∠CDF=90°
∴DG∥CH,
∵∠HCB+∠HCD=∠EDC+∠DCF=90°
∴∠HCB=∠EDC,
在△HBC和△ECD中,
∴△HBC和△ECD(ASA)
∴CH=DE,
∴DG=CH,
∵DG∥CH,
∴四边形GHCD为平行四边形;
(2)∵△HBC≌△ECD,
∴∠BHC=∠CED,
∵∠ECF+∠FEC=90°
∴∠FEC,∠BHC与∠ECF互余;
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠ADE与∠ECF互余;
∵∠DGA=∠CHB,
∴∠DGA与∠ECF互余;
∵∠DCF+∠ECF=90°
∴∠DCF与∠ECF互余;
∴与∠ECF互余的角有:
∠FEC、∠DCF、∠BHC、∠DGA、∠ADE.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质和判定,正方形性质的应用,主要考查学生的推理能力.
∵AE∥BD,BE∥AC,
∴四边形AEBO是平行四边形,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB.
∵OE=CD,
∴OE=AB.
∴平行四边形AEBO是矩形,
∴∠BOA=90°
∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形;
四边形AEBO是矩形,四边形ABCD是菱形,
∴OA=BE=2,AC⊥BD,BO=DO,∠ADO=30°
∴OD=
OA=2
∴BD=2OD=4
【点评】本题考查了菱形的判定和性质,矩形的判定和性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定与性质等知识;
灵活运用有关性质是解题的关键.
四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC=
AC,AD=CD,
∵DE∥AC且DE=
AC,
∴DE=OA=OC,
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴四边形OCED是矩形;
∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°
∴AC=AB=6,
∴在矩形OCED中,CE=OD=
=3
∴在Rt△ACE中,AE=
【点评】本题考查了菱形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理的应用.注意证得四边形OCED是平行四边形,四边形OCED是矩形是关键.
∵AB∥DC,
∴∠ABD=∠CDB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠CDB=∠CBD,
∴BC=CD,且AB=BC,
∴CD=AB,且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形;
∴OA=OC,BD⊥AC,BO=DO,
∵CE⊥AB,
∴AC=2OE=4,
∴OA=2,
∴OB=
=1,
∴BD=2OB=2,
∴菱形ABCD的面积=
AC×
BD=
×
4×
2=4.
【点评】本题考查了菱形的判定和性质,角平分线的定义,勾股定理,直角三角形的性质等知识;
证明四边形ABCD为菱形是解本题的关键.
12 .
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
∵AG为△ABC的外角∠BAF的平分线,
∴∠BAE=∠FAE,
∴∠DAE=90°
∵BE⊥AG,
∴∠AEB=90°
∴四边形ADBE为矩形;
∵AD是BC边的中线,BC=8,
∴BD=CD=4,
四边形ADBE是矩形,
∴AB=DE=2AO=5,
在Rt△ABD中,AD=
=3,
∴△ABC的面积=
BC×
AD=
8×
3=12;
故答案为:
12.
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识;
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
(1)连接BD,
∵平行四边形ABCD,
∴BD过点O,
∴S△OBC=
BC•OE=
5×
3=
∴平行四边形ABCD的面积=4S△OBC=30;
(2)过点E作EH⊥EG,与GC的延长线交于点H,如图2,
∵OE⊥BC,
∴∠OEG+∠OEC=∠GEC+∠CEH=90°
∴∠OEG=∠CEH,
∵∠ACB=45°
∴∠COE=45°
∴OE=CE,
∵平行四边形ABCD中,AB∥CD,
又FG⊥AB,
∴FG⊥CD,
∴∠EOG+∠ECG=360°
﹣90°
=180°
∵∠ECH+∠ECG=180°
∴∠EOG=∠ECH,
∴△OEG≌△CEH(ASA),
∴OG=CH,EG=EH,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠OAF=∠OCG,
∵∠AOF=∠COG,
∴△OAF≌△OCG(ASA),
∴AF=CG,OF=OG,
∵CG+CH=GH,
∴AF+OF=GH,
∵∠GEH=90°
,EG=EH,
∴GH=
∴AF+OF=
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,三角形的面积公式,关键是证明全等三角形.
(1)解:
∴∠BAE=∠BCD=70°
,AD∥BC,
∵∠DCE=20°
∵AB∥CD,
∴∠CDE=180°
﹣∠BAE=110°
∴∠DEC=180°
﹣∠DCE﹣∠CDE=50°
;
(2)证明:
∴AD=BC,AD∥BC,∠BAE=∠BCD,
∵BF=BE,CG=CE,
∴BC是△EFG的中位线,
∴BC∥FG,BC=
FG,
∵H为FG的中点,
∴FH=
∴BC∥FH,BC=FH,
∴AD∥FH,AD∥FH,
∴四边形AFHD是平行四边形;
(3)证明:
连接EH,CH,
∵CE=CG,FH=HG,
∴CH=
EF,CH∥EF,
∵EB=BF=
EF,
∴BE=CH,
∴四边形EBHC是平行四边形,
∴OB=OC,OE=OH,
∵OC=OH,
∴OE=OB=OC=
BC,
∴△BCE是直角三角形,
∴∠FEG=90°
∴EF⊥EG.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;
熟练掌握平行四边形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
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