北京101中学学年高二数学上册期末测试题.docx

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北京101中学学年高二数学上册期末测试题

北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）

一、选择题：

本大题共8小题，共40分。

1.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（）

A.B.

C.D.

2.某公司10位员工的月工资（单位:

元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）

A.，B.，

C.，D.，

3.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）

A.27B.31C.63D.15

4.某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）

围棋社

戏剧社

书法社

高中

45

30

初中

15

10

20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人。

则这三个社团共有（）

A.130人B.140人C.150人D.160人

5.下列结论中正确的个数是（）

①命题“”的否定是“”；

②若是的必要条件，则是的充分条件；

③命题“若”的逆命题是真命题；

④不等式均成立.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.若区间上任取一实数，则方程有实根的概率为（）

A.B.C.D.

7.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）

A.B.

C.D.

8.已知点M（－3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是（　　）

A.B.C.3D.2

二、填空题：

本大题共6小题，共30分。

9.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如下图，则该同学数学成绩的方差是。

10.若直线x－my＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则m的值为。

11.在某省举办的运动会期间，某志愿者小组由12名大学生组成，其中男生8名，女生4名，从中抽取3名学生组成礼宾接待小组，则这3名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为。

12.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_______。

13.如图，椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，离心率为，点为椭圆在第一象限内的一点。

若，则直线的斜率为_______。

14.已知直线＋＝1（a，b是非零常数）与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有。

三、解答题：

本大题共4小题，共50分。

15.（本小题满分12分）某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示）。

（Ⅰ）求分数在内的频率；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校学生环保知识竞赛成绩的平均分；

（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率。

16.（本小题满分12分）如图，已知O（0，0），E（－，0），F（，0），圆F：

（x－）2＋y2＝5。

动点P满足|PE|＋|PF|＝4.以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）证明：

点Q到直线PF的距离为定值，并求此值。

17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，//，，，平面，。

（Ⅰ）设平面平面，求证：

//；

（Ⅱ）求证：

平面；

（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值。

18.（本小题满分13分）已知椭圆经过点，离心率为。

过点的直线与椭圆交于不同的两点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）设直线和直线的斜率分别为和，求证：

为定值。

【试题答案】

一、选择题：

本大题共8小题，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

D

C

C

C

A

D

B

8.解析：

抛物线的准线方程为x＝－，由图知，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝|2＋3|－＝。

二、填空题：

本大题共6小题，共30分。

9.45

10.±10.解析：

由x2＋y2－2x＝0，得圆心坐标为（1，0），半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得m＝±。

11.解析：

从12名学生中随机抽取3名学生的选法数为C，若按性别进行分层抽样，则应抽取男生2名，女生1名，选法数为C·C，因此这3名学生恰好是按性别分层抽样组成的概率为=。

12.

13.

14.60条解析：

由于满足x2＋y2＝100的整数点（x，y）有12个，它们分别为（±10，0），（±6，±8），（±8，±6），（0，±10），故直线＋＝1与圆的交点必须经过这些点，但a，b为非零常数，故在以这些点为公共点的直线中有这样几类：

一类公共点为2个点，去除垂直坐标轴和经过原点的直线，共有C－10－4＝52条；另一类为公共点为1个点（即圆的切线），同样去除垂直坐标轴的直线，共有8条。

综上，所求的直线共有60条。

15.解：

（Ⅰ）分数在内的频率为：

。

……2分

（Ⅱ）平均分为：

（分）。

………………4分

（Ⅲ）由题意，分数段的人数为：

（人）；…5分

分数段的人数为：

（人）；……6分

因为用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，所以分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；

分数段抽取1人，记为M。

…………………8分

因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，

则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人。

设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，…9分

则基本事件空间包含的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），

（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），

（C，M），（D，M），（E，M）共15种。

事件包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种

….....11分

所以恰有1人的分数不低于90分的概率为。

…………..12分

16.（I）解：

由|PE|＋|PF|＝4＞|EF|及椭圆定义知，

点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆。

设P（x，y），则点P的轨迹方程为＋y2＝1。

.………………4分

（II）证明：

设圆P与圆F的另一个公共点为T，连接QT，

并设P（x0，y0），Q（x1，y1），T（x2，y2），

则由题意知，圆P的方程为（x－x0）2＋（y－y0）2＝x＋y。

又Q为圆P与圆F的一个公共点，

故，

所以（x0－）x1＋y0y1－1＝0。

同理（x0－）x2＋y0y2－1＝0。

因此直线QT的方程为（x0－）x＋y0y－1＝0。

.………………8分

设PF交QT于H，则PF⊥QT.设|QH|＝d（d＞0），

则在Rt△QHF中，|FH|＝。

又＋y＝1，故|FH|＝＝

在Rt△QHF中，d＝＝1。

所以点Q到直线PF的距离为1。

.……12分

17.（Ⅰ）证明：

因为//，平面，

平面，所以//平面。

…………2分

因为平面，平面平面，

所以//。

………………………………………4分

（Ⅱ）证明：

因为平面，，所以以为坐标原点，

所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，.………………5分

所以，，

，

所以，

。

所以，。

因为，平面，

平面，

所以平面。

……………9分

（Ⅲ）解：

设（其中），，直线与平面所成角为。

所以。

所以。

所以即。

所以。

………………………………………10分

由（Ⅱ）知平面的一个法向量为。

………11分

因为，

所以。

解得.所以。

………………………………13分

18.（Ⅰ）解：

由题意得解得，。

故椭圆的方程为。

……………………………………4分

（Ⅱ）解：

由题意知，显然直线的斜率存在，设直线方程为，

由得。

…………………5分

因为直线与椭圆交于不同的两点，，

所以，解得。

……6分

设，的坐标分别为，，

则，，，。

…7分

所以……………………………………8分

。

……9分

因，所以.故的取值范围为。

…10分

（Ⅲ）证明：

由（Ⅱ）得……11分

。

所以为定值。

………………13分