直线平面垂直的判定与性质Word格式文档下载.docx

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（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　×

　）

（2）垂直于同一个平面的两平面平行．（　×

（3）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.（　√　）

（4）若α⊥β，a⊥β，则a∥α.（　×

（5）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（　√　）

（6）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（　×

题组二　教材改编

2．[P73T1]下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案　D

解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．

3．[P67T2]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

答案　

（1）外　

（2）垂

解析　

（1）如图1，连接OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

（2）如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.

∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，

∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，

∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，

∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，

∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．

同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，

即O为△ABC的垂心．

题组三　易错自纠

4．（2017·

湖南六校联考）已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是（　　）

A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥α

C．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β

答案　C

解析　由线面垂直的判定定理，可知C正确．

5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是（　　）

A．与AC，MN均垂直

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直

D．与AC，MN均不垂直

答案　A

解析　因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，

又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，

因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.

设正方体的棱长为2，则OM＝

＝

，

MN＝

，ON＝

所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.

6.

如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．MN∥AB

B．平面VAC⊥平面VBC

C．MN与BC所成的角为45°

D．OC⊥平面VAC

答案　B

解析　由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

典例　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°

，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

证明　

（1）在四棱锥P—ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°

，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由

（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，

∴AE⊥平面PCD，

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，

∴PD⊥平面ABE.

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

（1）证明直线和平面垂直的常用方法：

①判定定理；

②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；

③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

④面面垂直的性质．

（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

跟踪训练　如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

证明　

（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，

因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因为棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，

BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

典例（2018·

开封模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

（1）求证：

CE∥平面PAD；

（2）求证：

平面EFG⊥平面EMN.

证明　

（1）方法一　

取PA的中点H，连接EH，DH.

因为E为PB的中点，

所以EH綊

AB.

又CD綊

AB，

所以EH綊CD.

所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

方法二　

连接CF.

因为F为AB的中点，

所以AF＝

又CD＝

所以AF＝CD.

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．

因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.

又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.

（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.

又因为AB⊥PA，

所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.

又因为EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，

所以AB⊥平面EFG.

又因为M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.

又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.

引申探究

1．在本例条件下，证明：

平面EMN⊥平面PAC.

证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，

且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

所以AB⊥平面PAC.

又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面PAC.

又MN⊂平面EMN，

所以平面EMN⊥平面PAC.

2．在本例条件下，证明：

平面EFG∥平面PAC.

证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，

所以EF∥PA，FG∥AC，

又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以EF∥平面PAC.

同理FG∥平面PAC.

又EF∩FG＝F，

所以平面EFG∥平面PAC.

思维升华

（1）判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

跟踪训练（2018届河南中原名校质检）在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝2

，AB＝2CD＝4.

（1）设M是PC上一点，求证：

平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积．

（1）证明　在△ABD中，由勾股定理知AD⊥BD，

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，

所以平面MBD⊥平面PAD.

（2）解　如图，取AD的中点O，则PO⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

所以PO是四棱锥P—ABCD的高，且PO＝2×

底面ABCD的面积是△ABD面积的

，即3

所以四棱锥P—ABCD的体积为

×

3

＝3.

题型三　垂直关系中的探索性问题

典例　如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．

（1）证明：

AE∥平面BDF；

（2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？

若存在，确定点P的位置，并加以证明；

若不存在，请说明理由．

（1）证明　连接AC交BD于点O，连接OF.

∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点．

又F为EC的中点，∴OF∥AE.

又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，

∴AE∥平面BDF.

（2）解　当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：

取BE的中点H，连接DP，PH，CH.

∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB.

又AB∥CD，∴PH∥CD，

∴P，H，C，D四点共面．

∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，

CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.

又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，

∵BC＝CE，且H为BE的中点，

∴CH⊥BE.

又CH∩CD＝C，且CH，CD⊂平面DPHC，

∴BE⊥平面DPHC.

又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE.

思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．

跟踪训练如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝

B1C∥平面A1BM；

AC1⊥平面A1BM；

（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？

如果存在，求此时

的值；

如果不存在，请说明理由．

（1）证明　连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.

在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点，

∴OM∥B1C，

又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，

∴B1C∥平面A1BM.

（2）证明　∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，

∴AA1⊥BM，

又∵M为棱AC的中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.

∵AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，

∴BM⊥平面ACC1A1，

∴BM⊥AC1.

∵AC＝2，∴AM＝1.

又∵AA1＝

，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝

∴∠AC1C＝∠A1MA，

即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°

∴A1M⊥AC1.

∵BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM，

∴AC1⊥平面A1BM.

（3）解　当点N为BB1的中点，即

时，

平面AC1N⊥平面AA1C1C.

证明如下：

设AC1的中点为D，连接DM，DN.∵D，M分别为AC1，AC的中点，

∴DM∥CC1，且DM＝

CC1.

又∵N为BB1的中点，∴DM∥BN，且DM＝BN，

∴四边形BNDM为平行四边形，

∴BM∥DN，

∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面AA1C1C.

又∵DN⊂平面AC1N，

∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.

立体几何证明问题中的转化思想

典例（12分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．

（1）AN∥平面A1MK；

（2）平面A1B1C⊥平面A1MK.

思想方法指导

（1）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理．

（2）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；

证明垂直时常用的等腰三角形的中线等．

（3）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件，步骤书写要规范．

规范解答

证明　

（1）

如图所示，连接NK.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，

C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]

∵N，K分别为CD，C1D1的中点，

∴DN∥D1K，DN＝D1K，

∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]

∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，

∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]

又∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，

∴AN∥平面A1MK.[6分]

（2）如图所示，连接BC1.

AB∥C1D1，AB＝C1D1.

∵M，K分别为AB，C1D1的中点，

∴BM∥C1K，BM＝C1K，

∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.

∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，[10分]

∴MK⊥B1C.

∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，

A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.

又∵MK⊂平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]

1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则（　　）

A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

解析　对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；

对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；

对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误．D正确．

2．（2017·

深圳四校联考）若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为（　　）

A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

解析　由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确；

过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；

根据面面垂直的性质定理，知选项C，D正确．

3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β（　　）

A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m

解析　选项A，∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β，A正确；

选项B，α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m的位置关系不确定；

选项C，∵l∥β，l⊂α，∴α∥β或α与β相交；

选项D，∵α∥β，l⊂α，m⊂β，此时，l与m的位置关系不确定．故选A.

中原名校联盟联考）已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（　　）

C．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β

解析　对于选项A，由α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；

对于选项B，由α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；

对于选项C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C正确；

对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立．故选C.

5．（2018届江西南昌摸底）

如图，在四棱锥P—ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCD

C．AC⊥PDD．平面PBD⊥平面ABCD

解析　

取BP的中点O，连接OA，OC，则BP⊥OA，BP⊥OC，又因为OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A正确；

又AC⊥BD，BP∩BD＝B，得AC⊥平面BDP，又PD⊂平面BDP，所以AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确，故选B.

6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：

①BC⊥PC；

②OM∥平面APC；

③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（　　）

A．①②B．①②③

C．①D．②③

解析　对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，

∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；

对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，

∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；

对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．

7.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

答案　4

解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

8．（2018·

洛阳模拟）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）

答案　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

解析　∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

9.如图，∠BAC＝90°

，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；

与AP垂直的直线有________．

答案　AB，BC，AC　AB

解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；

∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.

10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°

，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

答案　

解析　设B1F＝x，

因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，

所以AB1⊥DF.

由已知可得A1B1＝

设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，

则DE＝

h.

又

2×

h

所以h＝

，DE＝

在Rt