数列求和7种方法方法全例子多.docx

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数列求和7种方法方法全例子多

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、4、

5、

[例1]已知，求的前n项和.

解：

由

由等比数列求和公式得（利用常用公式）

＝＝＝1－

[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

解：

由等差数列求和公式得，（利用常用公式）

∴＝

＝＝

∴当，即n＝8时，

题1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝

题2．若12+22+…+（n-1）2=an3+bn2+，则a=,b=,c=

.

解：

原式=答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

[例3]求和：

………………………①

解：

由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积

设……………………….②（设制错位）

①－②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

[例4]求数列前n项的和.

解：

由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

………………………………②（设制错位）

①－②得（错位相减）

∴

练习题1已知，求数列｛an｝的前n项和Sn.

答案：

练习题2的前n项和为____

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例5]求证：

证明：

设…………………………..①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由可得

…………..……..②

①+②得（反序相加）

∴

[例6]求的值

解：

设………….①

将①式右边反序得

…………..②（反序）

又因为

①+②得（反序相加）

＝89

∴S＝44.5

题1已知函数

（1）证明：

；

（2）求的值.

解：

（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第

（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7]求数列的前n项和：

，…

解：

设

将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝

[例8]求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.

解：

设

∴＝

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝（分组）

＝

＝（分组求和）

＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

[例9]求数列的前n项和.

解：

设（裂项）

则（裂项求和）

＝

＝

[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

解：

　∵

　∴（裂项）

∴数列{bn}的前n项和

（裂项求和）

＝＝

[例11]求证：

解：

设

∵（裂项）

∴（裂项求和）

＝

＝＝＝

∴　原等式成立

练习题1.

答案：

.

练习题2。

=

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：

设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵（找特殊性质项）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···

+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）

＝0

[例13]数列{an}：

，求S2002.

解：

设S2002＝

由可得

……

∵（找特殊性质项）

∴　S2002＝（合并求和）

＝

＝

＝

＝5

[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：

设

由等比数列的性质（找特殊性质项）

和对数的运算性质得

（合并求和）

＝

＝

＝10

练习、求和：

练习题1设，则＝___

答案：

2.

练习题2．若Sn=1-2+3-4+…+（-1）n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于（）

A.1B.-1C.0D.2

解：

对前n项和要分奇偶分别解决，即：

Sn=答案：

A

练习题31002-992+982-972+…+22-12的值是

A.5000B.5050C.10100D.20200

解：

并项求和，每两项合并，原式=（100+99）+（98+97）+…+（2+1）=5050.答案：

B

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15]求之和.

解：

由于（找通项及特征）

∴

＝（分组求和）

＝

＝

＝

[例16]已知数列{an}：

的值.

解：

∵（找通项及特征）

＝（设制分组）

＝（裂项）

∴（分组、裂项求和）

＝

＝

提高练习：

1．已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：

数列是等比数列；

⑵设数列，求证：

数列是等差数列；

2．设二次方程x-+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

（1）试用表示a；

3．数列中，且满足

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

说明：

本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。