11 集合及其运算Word格式.docx
- 文档编号:17898121
- 上传时间:2022-12-12
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:145.75KB
11 集合及其运算Word格式.docx
《11 集合及其运算Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《11 集合及其运算Word格式.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集
A=B
3.集合的基本运算
运算
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA={x|x∈U且x∉A}
知识拓展
1.若有限集合A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩(∁UA)=∅;
A∪(∁UA)=U;
∁U(∁UA)=A.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( ×
)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ×
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(6)若A∩B=A∩C,则B=C.( ×
题组二 教材改编
2.[P11例9]已知U={α|0°
<α<180°
},A={x|x是锐角},B={x|x是钝角},则∁U(A∪B)=________.
答案 {x|x是直角}
3.[P44A组T5]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.
答案 2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆,集合B表示直线y=x,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点
,
,则A∩B中有两个元素.
题组三 易错自纠
4.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
答案 C
解析 当x=-1,y=0时,z=-1;
当x=-1,y=2时,z=1;
当x=1,y=0时,z=1;
当x=1,y=2时,z=3,故集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数为3,故选C.
5.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x<
a},若A⊆B,则实数a的取值范围是____________.
答案 (3,+∞)
解析 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},
∵A⊆B,B={x|x<
a},∴a>
3.
6.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________.
答案 0或
解析 若a=0,则A=
,符合题意;
若a≠0,则由题意得Δ=9-8a=0,解得a=
.
综上,a的值为0或
题型一 集合的含义
1.若集合A={a-3,2a-1,a2-4},且-3∈A,则实数a=________.
答案 0或1
解析 若a-3=-3,则a=0,此时集合A中含有元素-3,-1,-4,满足题意;
若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中的三个元素为-4,-3,-3,不满足集合中元素的互异性;
若a2-4=-3,则a=±
1,当a=1时,集合A中的三个元素为-2,1,-3,满足题意;
当a=-1时,不符合题意.
综上可知,a=0或a=1.
2.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )
A.9B.8C.7D.6
答案 B
解析 当a=0时,a+b=1,2,6;
当a=2时,a+b=3,4,8;
当a=5时,a+b=6,7,11.
由集合中元素的互异性知,P+Q中有1,2,3,4,6,7,8,11,共8个元素.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
题型二 集合的基本关系
典例
(1)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的集合B的个数是( )
解析 ∵{1,2}⊆B,I={1,2,3,4},
∴满足条件的集合B有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
(2)已知集合A={x|x2-2019x+2018<
0},B={x|x<
答案 [2018,+∞)
解析 由x2-2019x+2018<
0,解得1<
x<
2018,
故A={x|1<
2018}.
又B={x|x<
a},A⊆B,如图所示,
可得a≥2018.
引申探究
本例
(2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________.
答案 (-∞,1]
解析 A={x|1<
2018},B={x|x≥a},A⊆B,如图所示,可得a≤1.
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练
(1)已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为( )
A.
或-
B.-
或
C.
或0D.-
或0
答案 D
解析 由题意知,A={2,-3}.
当a=0时,B=∅,满足B⊆A;
当a≠0时,ax-1=0的解为x=
由B⊆A,可得
=-3或
=2,
∴a=-
或a=
综上可知,a的值为-
或0.
(2)已知集合A=
,B={x|x+m2≥1},若A⊆B,则实数m的取值范围是________________________.
答案
∪
解析 因为y=
2+
,x∈
所以y∈
.又因为A⊆B,所以1-m2≤
解得m≥
或m≤-
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
典例
(1)(2017·
全国Ⅰ)已知集合A={x|x<
1},B={x|3x<
1},则( )
A.A∩B={x|x<
0}B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>
1}D.A∩B=∅
答案 A
解析 ∵B={x|3x<
1},∴B={x|x<
0}.
又A={x|x<
1},∴A∩B={x|x<
0},A∪B={x|x<
1}.
故选A.
(2)(2016·
山东)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<
0},则A∪B等于( )
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(-1,+∞)D.(0,+∞)
解析 ∵A={y|y>
0},B={x|-1<
1},
∴A∪B=(-1,+∞),故选C.
命题点2 利用集合的运算求参数
典例
(1)设集合A={x|-1≤x<
2},B={x|x<
a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )
A.-1<
a≤2B.a>
2
C.a≥-1D.a>
-1
解析 因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>
-1.
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0B.1C.2D.4
解析 由题意可得{a,a2}={4,16},∴a=4.
(3)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______.
答案 (-∞,-1]∪{1}
解析 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得
解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<
0,
解得a<
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
跟踪训练
(1)(2017·
天津)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C等于( )
A.{2}B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}
解析 A∪B={1,2,4,6}.
又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4},
故选B.
(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1<
m+1},且A∩B=B,则实数m的取值范围为( )
A.[-1,2)B.[-1,3]
C.[2,+∞)D.[-1,+∞)
解析 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A.
①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2;
②当B≠∅时,有
解得-1≤m<
2.
综上,m的取值范围为[-1,+∞).
题型四 集合的新定义问题
典例已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为( )
A.77B.49
C.45D.30
解析 如图,集合A表示如图所示的所有圆点“
”,集合B表示如图所示的所有圆点“
”+所有圆点“
”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“
”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.
思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.
跟踪训练定义一种新的集合运算△:
A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A等于( )
A.{x|3<
x≤4}B.{x|3≤x≤4}
C.{x|3<
4}D.{x|2≤x≤4}
3},B={x|2≤x≤4},由题意知,B△A={x|x∈B,且x∉A}={x|3≤x≤4}.
1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )
A.-3∈AB.3∉B
C.A∩B=BD.A∪B=B
解析 由题意知A={y|y≥-1},因此A∩B={x|x≥2}=B,故选C.
2.(2017·
浙江)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q等于( )
A.(-1,2)B.(0,1)
C.(-1,0)D.(1,2)
解析 ∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},
∴P∪Q={x|-1<x<2}.
3.(2018届齐鲁名校协作体联考)已知集合A=
,B={y|y=2x},则A∩B等于
( )
A.(0,4]B.(0,1)
C.(0,1]D.[-4,1]
解析 ∵A={x|-4≤x<
1},B={y|y>
0},∴A∩B=(0,1),故选B.
4.设集合A={x|x2-5x+4<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B等于( )
B.
D.
解析 由A={x|x2-5x+4<
0}={x|1<
4},
B={x|2x-3>
0}=
得A∩B=
=
,故选D.
5.(2017·
潍坊调研)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{0,1}B.{1}
C.{1,2}D.{0,1,2}
解析 因为A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分,所以阴影部分所表示的集合为{1}.
6.(2017·
郑州平顶山二模)已知复数f(n)=in(n∈N*),则集合{z|z=f(n)}中元素的个数是( )
A.4B.3
C.2D.无数
解析 复数f(n)=in(n∈N*),
可得f(n)=
k∈N.
集合{z|z=f(n)}中元素的个数是4.
7.(2017·
全国Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B等于( )
A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}
解析 ∵A∩B={1},∴1∈B.
∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
8.已知集合A={x|-1<
0},B={x|x≤a},若A⊆B,则a的取值范围为( )
A.(-∞,0]B.[0,+∞)
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
解析 用数轴表示集合A,B(如图),
由A⊆B,得a≥0.
9.(2017·
广东、广西、福建十校联考)若全集U=R,集合A={x|x2-x-2≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(∁UB)=________________.
答案 {x|x<
-1或x≥2}
解析 集合A={x|x2-x-2≥0}={x|x≤-1或x≥2},
∵log3(2-x)≤1=log33,∴0<
2-x≤3,
∴-1≤x<
2,∴B={x|-1≤x<
2},
∴∁UB={x|x<
-1或x≥2},
∴A∩(∁UB)={x|x<
-1或x≥2}.
10.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为__________.
答案 -
解析 ∵3∈A,∴m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,不符合集合的互异性,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-
或m=1(舍去),
当m=-
时,m+2=
≠3,符合题意,
∴m=-
11.(2017·
南阳月考)设全集U=R,集合A={x|y=
},B={y|y=ex+1},则A∪B=__________.
答案 (-∞,-1]∪(1,+∞)
解析 因为A={x|x≥3或x≤-1},B={y|y>
所以A∪B={x|x>
1或x≤-1}.
12.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<
0,c>
0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
答案 [1,+∞)
解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>
0}=(0,1),B={x|x2-cx<
0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
13.已知集合A={x|1<
3},B={x|2m<
1-m},若A∩B=∅,则实数m的取值范围是( )
C.(-∞,0]D.[0,+∞)
解析 ∵A∩B=∅,
①若当2m≥1-m,即m≥
时,B=∅,符合题意;
②若当2m<
1-m,即m<
时,
需满足
解得0≤m<
或∅,即0≤m<
综上,实数m的取值范围是[0,+∞).
14.已知集合A={x∈R||x+2|<
3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<
0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________.
答案 -1 1
解析 A={x∈R||x+2|<
3}={x∈R|-5<
由A∩B=(-1,n),可知m<
1,
则B={x|m<
2},画出数轴,可得m=-1,n=1.
15.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.
16.设集合M=
,N=
,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.
解析 由已知,可得
即0≤m≤
;
即
≤n≤1,当集合M∩N的长度取最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端.
取m的最小值0,n的最大值1,可得M=
,所以M∩N=
∩
,此时集合M∩N的“长度”的最小值为
-
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 11 集合及其运算 集合 及其 运算