八年级数学上册等腰三角形三作辅助线构造等腰三角形.docx
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八年级数学上册等腰三角形三作辅助线构造等腰三角形
八年级数学上册:
等腰三角形(三)作辅助线构造等腰三角形
知识导航
1、作平行构等腰。
2、倍长中线构等腰。
3、利用二倍角构等腰。
【板块一】作平行线构造等腰三角形
方法技巧
作腰或底的平行线构造等腰三角形,作角平分线的平行线也可得等腰三角形。
【例1】如图,△ABC中,AB=AC,BC=10,△ABC的面积为10,AD是△ABC的中线,AE是△BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,求DF的长。
【例2】如图,AE,BC交于点D,且AB=CE,∠B+∠DCE=,求证:
AD=DE。
针对练习1
1、如图,在△ABC中,∠BAC=,∠C=,P,Q两点分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的角平分线,求证:
BQ+AQ=AB+BP。
2、如图1,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,AO,BO分别平分∠BAC,∠ABC,连接OC。
(1)求证:
OC平分∠ACB;
(2)如图2,若AB=6,AC=10,求OB的长。
【板块二】中线倍长构造等腰三角形
方法技巧
中线倍长,将相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形。
【例3】如图,AD为△ABC的中线,E为AB上一点,AD,CE交于点F,且AB=CF,过点E作AF的垂线交AC于点P,求证:
AP=PF。
针对练习2
1、如图,AB∥CD,BD与AC交于点E,DO平分∠CDE,若点O为AC的中点,试探究线段CD,AB,BD之间的数量关系。
2、如图,在△ABC中,D为CA的中点,∠ABD=2∠CBD,AO⊥BD于点O。
(1)若OD=3,OB=5,求AB的长;
(2)求证:
AB=2OD。
【板块三】利用∠=2∠构造等腰三角形
方法技巧
作角平分线或延长二倍角的一边。
【例4】如图,△ABC中,∠BAC=2∠C,BD为△ABC的角平分线,BC=6,AB=3.5,求AD的长。
针对练习3
1、如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC于点D,AE为BC边上的中线。
(1)求证:
BE+DE=AB+BD;
(2)若BD=2,DE=3,求AB的长。
2、如图E为△ABC内部一点,AE的延长线交BC于点D,连接BE,CE,∠BED=∠BAC=2∠DEC,AC=AB,探究BE,AE的数量关系,并说明理由。
【板块四】截长补短构造等腰三角形
方法技巧
用截长补短法证明时,先截长补短后需证明两条线段,若b,d集中到一个三角形时,此时通过证明或计算两底角相等找到解题途径。
基本图形1:
如图1,△ABC中,∠C=,CA=CB,∠1=∠2,则CD=AD=AB。
基本图形2:
如图2,△ABC中,∠C=,AC=BC,∠1=∠2,DE⊥AB于点E,则AC=BC=AE,CD=DE=BE。
题型一:
顶角为900角的等腰三角形
【例5】如图,△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,若AC+CD=AB,求∠C
的度数。
题型二、顶角为1000的等腰三角形
【例6】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=,CD平分∠ACB交AB于点D,E为BC上
一点,BE=DE,求证:
BC=CD+AD。
备用图
题型三顶角为108°的等腰三角形
方法技巧:
截长补短后计算角的度数证明新等腰
【例7】如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=108°,BD平分∠ABC交AC于点D,求证:
AB=AD+BC.
备用图
题型四一般的三角形
方法技巧:
截长补短后要证明同一个三角形中的两条线段相等,需设未知数计算角,得出两底角相等
【例8】如图,△ABC中,∠ACB=90°,点E是AC上一点,∠ADE=45°,∠ABC=2∠EDC.
(1)求证:
AD平分∠CAB;
(2)求证:
AB=AE+DB.
针对练习4
1.如图,△ABC中,∠ACB=120°,∠A=20°,CD⊥AB于点D,试探究BC,BD,AD之间的关系.
备用图
2.在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,BE与AD交于点F.若DM∥AB.求证:
BF=AM+FM.
3.如图,△ABC中,AB=AC,点D在AB上,AD=CD=CB.
(1)求证:
CD平分∠ACB;
(2)点E在AC上,EF⊥CD交BC于点F,求证:
AE=DB+BF.
4.△ABC和△DEF均为等腰三角形,AB=AC,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上,点F在射线AC上.
(1)如图1,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:
AF=AE+AD;
(2)如图2,若AD=AB,求证:
AF=AE+BC.
图1图2
5.在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,BE与AD交于点F.若∠BAC=60°,求证:
AB=BF+FC.
【板块五】45°角的用法——构造等腰直角三角形
方法技巧
(1)利用45°角构造等腰直角三角形进而构造出三角形全等(旋转全等).
(2)利用45°角构造等腰直角三角形进而构造出K型全等(内K或外K).(3)利用45°角构造全等.(4)利用45°找八字形导角.
题型一利用45°角找八字形导角.
【例9】如图,AD与BC交于点O,∠OCD=45°,点F在AB上,FE⊥AD,垂足为点E,∠AFE=45°,求证:
∠B=∠D.
题型二利用45°角作垂线构造等腰直角三角形.
【例10】如图,点D为Rt△ABC外一点,∠ACB=90°,AC=BC,∠ADC=45°,求证:
∠CDB=45°.
备用图
题型三过45°角的顶点作一边的垂线构造对称型全等.
【例11】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点F在AB上,AE⊥AB,∠ECF=45°,求证:
EF=AE+FB.
题型四利用45°角作高构造K型全等.
【例12】如图,在平面直角坐标系中,A(0,-3),B(-4,3),AB交x轴于点D,BD=5BD=,
(1)求AB的长及点D的坐标;
(2)点C在y轴上,∠CBA=45°,求△ABC的面积.
针对练习5
1.如图,Rt△ABC中,AB=BD,∠ABD=90°,BC⊥AD于点C,点E,F都在AB上,且∠ECF=45°,过点C作CT⊥CE交DB于点T.
(1)求证:
S四边形ECTB=S△ACB;
(2)若△ABC的面积为4,AE·FB=2,求△ECF的面积.
2.如图,在△ABC中,AC=BC,AC⊥BC,E为△ABC外一点,且∠CEA=45°,求证:
AE⊥BE.
3.如图,AB=AC,∠BAC=90°,点D为BC上一点,DA=DE,∠ADE=90°,求∠DBE的度数.
4.如图,∠ACB=90°,AC=BC,点O为AB中点,点E为AC上一点,点F在BC上,∠EOF=45°,求证:
BF=CE+EF.
5.平面直角坐标系中,A(-2,4),B为y轴正半轴上一点,∠BAO=45°,求点B的坐标.
6.平面直角坐标系中,A(0,a),B(a,0);
(1)如图1,点D为△AOB外一点,DM⊥x轴,垂足为点M,BD平分∠ABM,∠ADO=45°,求证:
AD=OD;
(2)如图2,点P为△AOB外一点,∠APO=45°,PA=6,PB=2,求四边形AOBP的面积.
图1图2
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- 八年 级数 上册 等腰三角形 辅助线 构造