函数及其表示知识点大全、经典例题及解析、今年高考题带答案.doc
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函数及其表示
【考纲说明】
1、了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
2、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。
3、了解简单的分段函数,并能简单应用。
4、本部分内容在高考中约占10分。
【趣味链接】
教室里有40个人(看成集合A),刚好有40张椅子(看成集合B)。
如果你们很听话,每人坐一张椅子,就是一对一映射。
但是如果你喜欢那个女生,你跑去和她共用一张椅子,也就是两个人都对应着同一张椅子,这就是多对一映射。
但是你不可以一个人坐两张椅子,这样很霸道。
也就是说你多少个人坐一张椅子都没关系,但是一个人不能坐多张椅子。
也就是集合A中的很多元素都可以对应着集合B中的同一个元素,但是集合A中的一个元素不能同时对应着集合B中的多个元素。
于是,总的一句话,映射就是集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的元素与之对应。
这句话有两个词很重要,一个是任意,另一个是唯一。
而函数呢,只要映射当中的集合A和集合B里面的元素都是数就叫做函数了。
【知识梳理】
一、函数的概念
1、设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为,f表示对应法则。
给定一个集合到集合的映射,且。
如果元素和元素对应,那么我们把元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象.
注意:
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
2、函数的定义:
设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意一个,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为。
3、函数的定义域、值域
在函数中,叫做自变量,的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合称为函数的值域。
显然,值域是集合B的子集。
4、函数的三要素:
定义域、值域和对应关系。
5、区间的概念及表示法
设是两个实数,且,
满足的实数的集合叫做闭区间,记做;
满足的实数的集合叫做开区间,记做;
满足,或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别记做,;
满足的实数的集合分别记做。
注意:
对于集合与区间,前者可以大于或等于,而后者必须。
6、求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
①是整式时,定义域是全体实数。
②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数。
③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1。
⑤中,。
⑥零(负)指数幂的底数不能为零。
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:
若已知的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。
⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义。
二、函数的表示方法
函数的三种表示法:
图象法、列表法、解析法
1、图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
2、列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
3、解析法:
就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
三、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。
四、求函数解析式常用的方法
1、待定系数法
待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
其方法:
已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。
2、换元法
换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。
3、配凑法
已知复合函数的表达式,要求的解析式时,若表达式右边易配成的运算形式,则可用配凑法,使用配凑法时,要注意定义域的变化。
4、消元法,此方法的实质是解函数方程组
消元法适用的范围是:
题高条件中,有若干复合函数与原函数混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其余部分。
5、赋值法
赋值法是依据题条件的结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律的方法。
其方法:
将适当变量取特殊值,使问题具体化、简单化,依据结构特点,从而找出一般规律,求出解析式。
【经典例题】
【例1】(2009山东理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则f(2009)的值为()
A.-1B.0C.1D.2
【解析】由已知得,,,
,
,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)=f(5)=1,故选答案C.
【例2】(2009山东文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则f(3)的值为()
A.-1B.-2C.1D.2
【解析】由已知得,,,
,故选B.
【例3】(2009江西理)函数的定义域为()
A. B. C. D.
【解析】由.故选C.
【例4】(2009四川)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有
,则的值是 ()
A.0B.C.1D.
【解析】若≠0,则有,取,则有:
(∵是偶函数,则
)由此得于是
故选答案A.
【例5】(2010福建)下列函数中,与函数有相同定义域的是()
A.B.C.D.
【解析】由可得定义域是的定义域;的定义域是≠0;的定义域是定义域是。
故选答案A。
【例6】(2010浙江理)对于正实数,记为满足下述条件的函数构成的集合:
且,有.下列结论中正确的是()
A.若,,则
B.若,,且,则
C.若,,则
D.若,,且,则
【解析】对于,即有,令,有,不妨设,,即有,因此有,因此有.故选答案C.
【例7】(2011福建)定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是()
A.B.
C.D.
【解析】根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在上单调递减,注意到要与的单调性不同,故所求的函数在上应单调递增。
而函数在上递减;函数在时单调递减;函数在(上单调递减,理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增,显然符合题意;而函数,有y’=-<0(x<0),故其在(上单调递减,不符合题意,综上选答案C。
【例8】(2009北京)已知函数若,则.
【解析】由,无解,故应填.
【例9】(2008北京)若函数则不等式的解集为____________.
【解析】
(1)由.
(2)由.
∴不等式的解集为,∴应填
【例10】(2008浙江)已知函数,,其中.
(I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;
(II)设函数是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一的非零实数(),使得成立?
若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(I)因,,因在区间上不单调,所以在上有实数解,且无重根,由得
,令有,记则在上单调递减,在上单调递增,所以有,于是,得,而当时有在上有两个相等的实根,故舍去,所以;
(II)当时有;
当时有,因为当时不合题意,因此,
下面讨论的情形,记A,B=(ⅰ)当时,在上单调递增,所以要使成立,只能且,因此有,(ⅱ)当时,在上单调递减,所以要使成立,只能且,因此,综合(ⅰ)(ⅱ);
当时A=B,则,即使得成立,因为在上单调递增,所以的值是唯一的;
同理,,即存在唯一的非零实数,要使成立,所以满足题意.
【课堂练习】
1、(2009山东)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则()
A.B.
C.D.
2、(2009全国Ⅱ)函数y=(x0)的反函数是 ()
A.(x0)B.(x0)C.(x0)D.(x0)
3、(2009江西)函数的定义域为()
A. B. C. D.
4、(2008全国Ⅱ)设则 ()
A.B.C.D.
5、(2009天津)设函数则不等式的解集是()
A.B.C.D.
6、(2010天津)设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是()
A. B.C.D.
7、(2009湖南)设函数在(,+)内有定义,对于给定的正数K,定义函数
取函数=。
若对任意的,恒有=,则()
A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1
2.(2009天津理)已知函数若则实数的取值范围()
A.B.C.D.
9、(2008年山东)设函数则的值为()
A. B. C. D.
10、(2007福建)已知函数为R上的减函数,则满足的实数的取值范围是()
A.B. C. D.
11、(2007安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为()
A. (0≤x≤2)B.(0≤x≤2)
C. (0≤x≤2)D. (0≤x≤2)
12、(2007上海)函数的定义域是.
13、(2006安徽)函数对于任意实数满足条件,若________.
14、(2006上海)已知函数是定义在上的偶函数.当时,
,则当时,.
15、(2008安徽)已知函数,则不等式的解集为.
16、(2009北京)函数,则,若,则实数的取值范围是 .
17、(2009江苏)已知集合,若则实数的取值范围是,其中=.
18、(2009广东)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=-1处取得最小值m-1(m).设函数.
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值.
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
19、(2008江苏)设为实数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
20、(2008上海)已知函数
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