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第4节反三角函数(2课时)
第1课时
[教材分析]:
反三角函数的重点是概念,关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。
内容上,自然是定义和函数性质、图象;
教学方法上,着重强调类比和比较。
另外,函数与反函数之间的关系,是本节内容中的一个难点,同时涉及上学期内容,可能是个值得复习的机会。
[课题引入]:
在辅助角公式中,我们知道
其中cosj=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+j),
aa+b22,sinj=ba+b22,这样表述相当烦琐,我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角j呢?
这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。
[教学过程]:
师:
首先我们回顾一下,什么样的函数才有反函数?
一一对应的函数具有反函数,最典型的例子就是单调函数具有反函数(但反之不真)。
我们知道正弦函数y=sinx在定义域R上是周期函数,当然不是一一对应的,因而没有反函数。
但是,如果我们截取其中的一个单调区间,比方说我们研究函数:
é
ppù
y=sinx,xÎ
ê
-,ú
,这个函数是单调函数,因而有反函数。
ë
22û
现在我们来求这个函数的反函数,那么求反函数有哪些步骤?
(反解,互换x,y)(这里我们使用符号arcsin表示反解)反解得x=arcsiny,互换得y=arcsinx,其中é
xÎ
[-1,1],yÎ
,这就是要求的反正弦函数。
1.反正弦函数的图象
反正弦函数y=arcsinx,xÎ
[-1,1]与函数y=sinx,xÎ
-个函数图象关于直线y=x对称。
2.反正弦函数的性质(由函数图象可得)
因此两,ú
互为反函数,
,1],值域为ê
-①定义域为[-1é
ú
;
22û
,1]上单调递增;
②y=arcsinx在定义域[-1(-x)=-arcsinx③y=arcsinx是奇函数,即对任意xÎ
[-1,1],有arcsin3.反正弦函数的恒等式
①由“一一对应”的性质知:
对任意值xÎ
[-1,1],在ê
-é
上都有唯一对应的角ë
arcsinx,使得它的正弦值为x,即得恒等式sin(arcsinx)=x,xÎ
[-1,1];
②由“一一对应”的性质知:
对任意角xÎ
在[-1,1]上都有唯一对应的值sinx,,ú
,
。
(sinx)=x,xÎ
-使得它的反正弦值为x,即得恒等式arcsin例题选编:
[例1]:
求下列反三角函数值:
(1)arcsin3æ
1ö
;
(2)arcsin0(3)arcsinç
-÷
2è
2ø
解:
利用恒等式1来理解题意
(1):
记arcsinæ
33ö
÷
=sinxÛ
3=sinx,也就是在é
-p,pù
上找=xÛ
sinç
arcsinê
22ú
ç
22÷
2ë
û
è
ø
一个角x,使得sinx=3;
(2)(3)类似。
2说明:
对于特殊值的反正弦函数值的处理,利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法;
但不知是否适合于初学者,有待讨论。
可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧,实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。
[例2]:
用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x:
(1)sinx=3é
xÎ
,5ë
1é
,4ë
(2)sinx=-(3)sinx=3,xÎ
[0,p]3解:
利用恒等式2来理解题意:
sinx=
(1)33é
(sinx)=arcsin3,Û
arcsin而xÎ
,故有x=arcsin;
55522ë
3ppù
(sinx)=arcsin3,而xÏ
Û
arcsin-,ú
,故不能直接利用恒ê
33ë
(3)sinx=等式2,需要利用诱导公式,将角度转化到ê
上,此时涉及讨论:
若xÎ
0,33é
pù
(),则arcsinsinx=arcsinÛ
x=arcsinú
332ë
pú
,则p-xÎ
0,ú
,故有ë
2û
3[sin(p-x)]=arcsin3Û
p-x=arcsin3Û
arcsin333(sinx)=arcsinarcsin即x=p-arcsin3。
3[例3]:
化简下列各式:
(1)arcsinç
sin÷
(2)arcsinç
sinæ
pö
9ø
æ
5pö
(sin3.49p)÷
(3)arcsin6ø
此题直接利用恒等式2,当区间不满足要求时,需要利用诱导公式转化区间。
(1)ppö
pé
Î
-,ú
,由恒等式2得arcsinç
=;
9ë
9è
5p5pö
p转化了;
÷
=arcsinç
=,这里将66ø
66è
(2)arcsinç
sin(sin3.49p)=arcsin(-sin0.49p)[sin(3p+0.49p)]=arcsin(3)arcsin(sin0.49p)=-0.49p。
=-arcsin[例4]:
判断下列各式是否成立:
(1)arcsinp3pp31=2kp+,kÎ
Z=;
(2)arcsin=;
(3)arcsin22332(4)arcsinç
-pæ
=-arcsin;
(5)sinarcsin2=2
3è
3ø
()æ
p2ö
p2ç
(6)sinç
arcsin10÷
=10è
(1)对;
(2)错;
(3)当k=0时对;
(4)错,-[例5]:
写出下列函数的定义域和值域:
(1)y=2arcsinx;
(2)y=arcsinx+x解:
(1)
p3Î
(5)错;
(6)对。
(2)xÎ
[-1,1]Þ
[0,1],由反正弦函数的单调性知yÎ
[0,p]
(2)x+xÎ
2()é
-1-5-1+5ù
,22ë
这是典型的复合函数求值域问题,由u=x2+xÎ
1ù
1ú
和反正弦函数的单调性可知:
ë
4û
1pù
yÎ
-arcsin,ú
42û
[例6]:
求下列函数的反函数:
(1)y=sin2x,xÎ
44û
p3pù
(2)y=2sinx,xÎ
(3)y=2-1arcsinx2(sin2x)=2x,解:
(1)反解得arcsiny=arcsin(恒等式2的运用,注意区间)
互换x,y即得反函数为y=1arcsinx2(sinx)=arcsin[sin(p-x)]=p-x,互换x,y即得反函
(2)反解得arcsin=arcsin数为y=p-arcsin。
(3)
作业:
P99练习
[课题总结]:
[试题选编]:
y2x2
三角函数线及其应用
教学目标
1.使学生理解并掌握三角函数线的作法,能利用三角函数线解决一些简单问题.2.培养学生分析、探索、归纳和类比的能力,以及形象思维能力.3.强化数形结合思想,发展学生思维的灵活性.教学重点与难点
三角函数线的作法与应用.教学过程设计
我们学过任意角的三角函数,角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的?
生:
在α的终边上任取一点P(x,y),P和原点O的距离是r(r>0),那么角α的六个三角函数分别是(教师板书)
如果α是象限角,能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律?
由定义可知,sinα和cscα的符号由y决定,所以当α是第
可以看到,正弦值的正负取决于P点纵坐标y,余弦值的正负取决于P点的横坐标x,而正切值的正负取决于x和y是否同号,那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关?
三角函数值的大小与P的位置无关,只与角α的终边的位置有关.师:
既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关,我们就设法让P点点位于一个特殊位置,使得三角函数值的表示变为简单.
P点位于什么位置,角α的正弦值表示最简单?
生:
如果r=1,sinα的值就等于y了.师:
那么对于余弦又该怎么处理呢?
还是取r=1.
如果r=1,那么P点在什么位置?
P点在以原点为圆心,半径为1的圆上.
这个圆我们会经常用到,给它起个名字,叫单位圆,单位圆是以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.(板书)1.单位圆
设角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),那么有sinα=y,cosα=x.
我们前面说的都是三角函数的代数定义,能不能将正弦值、余弦值等量几何化,也就是用图形来表示呢?
因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便,请同学们想想,哪些图形与这些数值有关呢?
(同学可能答不上来,教师给出更明确的提示.)
sinα=y,cosα=x,而x,y是点P的坐标,根据坐标的意义再想一想.
对点来说,是它的位置代表了数,点本身并不代表数.能不能找到一个图形,自身的度量就代表数?
可以用面积,比如一个正数可以对应着一个多边形的面积,每一个多边形的面积对应着唯一一个正数.师:
很好.但这是一个二维的图形,而且多边形的边数也不确定,我们还应遵循求简的原则.有没有简单的图形呢?
是不是能用线段的长度来表示?
师:
说说你的理由.
线段的长度与正数是一一对应的,所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式.师:
正数可以这样去做,零怎么办呢?
能用线段来表示吗?
(非常活跃)当然行了,让线段两个端点重合,线段长就是零了.
可以画这样一个示意图,线段一个端点是A,另一个端点是B,当A,B重合时,我们说AB是0;
当A,B不重合时,我们说AB是一个正实数.那么负数怎么办呢?
能不能想办法也用线段AB表示?
线段的长度没有负数.
我能不能这样看,A点在直线l上,B点在l上运动,如果B在A的右侧,我就说线段AB代表正数;
如果B和A重合,就说线段AB代表0;
如果B在A的左侧,就说线段AB代表负数.
(教师不必理会学生用词及表述的漏洞.主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来.)
正数与正数不都相等,负数和负数也不都相等,你只是规定了正负还不够吧?
!
可以再加上线段AB的长度.这样所有的实数都能对应一条线段AB,以A为分界点,正数对应的点B在A的右侧,而且加上长度,B点就唯一了.
他的意见是对线段也给了方向.与直线规定方向是类似的.那么如何建立有向线段与数的对应关系?
(板书)2.有向线段
顾名思义,有方向的线段(即规定了起点与终点的线段)叫做有向线段,那么如何建立有向线段与数的对应关系呢?
这需要借助坐标轴.平行于坐标轴的线段可以规定两种方向.如图2,线段AB可以规定从点A(起点)到点B(终点)的方向,或从点B(起点)到点A(终点)的方向,当线段的方向与坐标轴的正方向一致时,就规定这条线段是正的;
当线段的方向与坐标轴的正方向相反时,就规定这条线段是负的.如图中AB=3(长度单位)(A为起点,B为终点),BA=-3(长度单位)(B为起点,A为终点),类似地有CD=-4(长度单位),DC=4(长度单位).
现在我们回到刚才的问题,角α与单位圆的交点P(x,y)的纵坐标恰是α的正弦值,但sinα是可正、可负、可为零的实数,能不能找一条有向线段表示sinα?
找一条有向线段跟y一致就行了,y是正的,线段方向向上,y是负的,线段方向向下,然后让线段的长度为|y|.师:
理论上很对,到底选择哪条线段呢?
我们不妨分象限来看看.
如果α是第一象限的角,过P点向x轴引垂线,垂足叫M(无论学生用什么字母,教师都要将其改为M),有向线段MP为正,y也是正的,而且MP的长度等于y,所以用有向线段MP表示sinα=y.
(图中的线段随教学过程逐渐添加.)
如果α是第二象限角,sinα=y是正数,也得找一条正的线段.因为α的终边在x轴上方,与第一象限一样,作PM垂直x轴于M,MP=sinα.
第
这时角α的终边在x轴下方,P到x轴的距离是|y|=-y.所以还是作PM垂直x轴于M,MP方向向下,长度等于-y,所以sinα=y.
归纳起来,无论α是第几象限角,过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,交x轴于M,有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致,长度等于|y|.所以有MP=y=sinα.我们把有向线段MP叫做角α的正弦线,正弦线是角α的正弦值的几何形式.(板书)
3.三角函数线
(1)正弦线——MP师:
刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线,轴上角有正弦线吗?
当角α的终边在x轴上时,P与M重合,正弦线退缩成一点,该角正弦值为0;
当角α终边与y轴正半轴重合时,M点坐标为(0,0),P(0,1),MP=1,角α的正弦值为1;
当α终边与y轴负半轴重合时,MP=-1,sinα=-1,与象限角情况完全一致.师:
现在来找余弦线.
因为cosα=x(x是点P的横坐标),所以把x表现出来就行了.过P点向y轴引垂线,垂足为N,那么有向线段NP=cosα,NP是余弦线.师:
具体地分析一下,为什么NP=cosα?
当α是第
其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样,而且长度也一样,也可以当作余弦线.
从作法的简洁及图形的简洁这个角度看,大家愿意选哪条有向线段作为余弦线?
OM.(板书)
(2)余弦线——OM师:
对轴上角这个结论还成立吗?
(学生经过思考,答案肯定.)
我们已经得到了角α的正弦线、余弦线,它们都是与单位圆的弦有关的线段,能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢?
肯定和圆的切线有关系(这里有极大的猜的成分,但也应鼓励学生.)
坐标等于1的点,这点的纵坐标就是α的正切值.师:
那么横坐标得1的点在什么位置呢?
那么哪条有向线段叫正切线呢?
不妨先找某一个象限角的正切线.
设α是第一象限角,α的终边与过A的圆的切线交于点T,T的横坐标是1,纵坐标设为y′,有向线段AT=y′,AT可以叫做正切线.
大家看可以这样做吧?
但第二象限角的终边与这条切线没有交点,也就是α的终边上没有横坐标为1的点.
可以令x=-1,也就是可以过(-1,0)再找一条切线,在这条切线上找一条有向线段表示tanα.
我相信这条线段肯定可以找到,那么其他两个象限呢?
第三象限角的正切线在过(-1,0)的切线上找,第四象限角的正切线在过(1,0)的切线上找.
这样做完全可以,大家可以课下去试,但我们还是要求简单,最好只要一条切线,我们当然喜欢过A点的切线(因为这条直线上每个点的横坐标都是1),第
(板书)
(3)正切线——AT师:
的确像刚才同学们说的,正切线确实是单位圆的切线的一部分,那么轴上角的正切线又如何呢?
注意正切值不是每个角都有.
当角α终边在x轴上时,T和A重合,正切线退缩成了一个点,正切值为0;
当角α终边在y轴上时,α的终边与其反向延长线和过A的切线平行,没有交点,正切线不存在,这与y轴上角的正切值不存在是一致的.师:
可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域.现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法.
设α的终边与单位圆的交点为P,过P点作x轴的垂线,垂足为M,过A(1,0)点作单位圆的切线(x轴的垂线),设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点,那么有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
利用三角函数线,我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题.(板书)
4.三角函数线的应用
例1比较下列各组数的大小:
分析:
三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值.比较两个三角函数值的大小,可以借助三角函数线.(由学生自己画图,从图中的三角函数线加以判断.)
(画出同一个角的两种三角函数线).师:
例1要求我们根据角作出角的三角函数线,反过来我们要根据三角函数值去找角的终边,从而找到角的取值范围.(板书)
例2根据下列三角函数值,求作角α的终边,然后求角的取值集合.
P1,P2两点,则OP1,OP2是角α的终边,因而角α的取值集合为
(3)在单位圆过点A(1,0)的切线上取AT=-1,连续OT,
(4)这是一个三角不等式,所求的不是一个确定的角,而是适合
单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具,它是数形结合思想在三角函数中的体现.我们应掌握三角函数线的作法,并能运用它们解决一些有关三角函数的问题,注意在用字母表示有向线段时,要分清起点和终点,书写顺序要正确.作业
(1)复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节.
(2)课本习题P178练习第7题;
P192练习十四第9题;
P194练习十四第22题;
P201总复习参考题二第20题.课堂教学设计说明
关于三角函数线的教学,曾有过两个设想:
一是三种函数线在同一节课交待,第二节课再讲应用;
另一个设想是,第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用,第二节课引入正切线,及三线综合运用,如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式,证明一些三角关系式.本教案选择了前者,原因是利于学生类比思维.在实际教学中,由于教师水平不同,学生的水平也不相同,教案中的例题可能讲不完,或根本不讲,但是宁可不讲例题,也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式,我希望把三角函数线的发现过程展现给学生,教师不能包办代替.
数形结合思想是中学数学中的重要数学思想,在教学中应不失时机地加以渗透.通过三角函数线的学习,使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象,还有其他的表现形式.至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线,则要具体情况具体分析,如证明等式sin2α+cos2α=1,研究同一个角的正余弦值的大小关系,都以三角函数线为好.
第四章
总第1教时
推广叫的概念,引入正角、负角、零角;
象限角、坐标上的角的概念;
终边相同角的表示方法。
让学生掌握用“旋转”定义角的概念,并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义,以及相应的表示方法。
从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程,培养学生用运动变化的观点审视事物;
通过与数(轴)的类比,理解“正角”“负角”“零角,让学生感受图形的对称美、运动美。
教学重点:
理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义;
掌握总边相同角的表示方法及判定。
教学难点:
把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。
过程:
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在,我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”,它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用,并且在各门学科技术中都有广泛应用。
回忆:
初中是任何定义角的?
(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”
讲解:
“旋转”形成角(P4)突出“旋转”
注意:
“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴
“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法:
角或
可以简记成
由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。
1(角有正负之分
如:
(=210(
(=(150(
(=(660(2(角可以任意大
实例:
体操动作:
旋转2周(360(×
2=720()3周(360(×
3=1080()3(还有零角
一条射线,没有旋转
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点,角的始边合于轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)
例如:
30(
390((330(是第Ⅰ象限角
300(
(60(是第Ⅳ象限角
585(
1180(是第Ⅲ象限角
(2000(是第Ⅱ象限角等
1.观察:
390(,(330(角,它们的终边都与30(角的终边相同2.终边相同的角都可以表示成一个0(到360(的角与个周角的和
390(=30(+360(
(330(=30((360(
30(=30(+0×
360(
1470(=30(+4×
(1770(=30((5×
3.所有与(终边相同的角连同(在内可以构成一个集合
即:
任何一个与角(终边相同的角,都可以表示成角(与整数个周角的和4.(P6例1)例1在0°
到360°
范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-120°
(2)640°
(3)-950°
12′.解:
=240°
-360°
所以与-120°
角终边相同的角是240°
角,它是第三象限角;
(2)640°
=280°
+360°
所以与640°
角终边相同的角是280°
角,它是第四象限角;
(3)-950°
12′=129°
48′-3×
360°
所以与-950°
12′角终边相同的角是129°
48′,它是第二象限角.
(P5)
角的范围的扩大
2(“象
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