全国高考理科数学试题分类汇编6三角函数文档格式.docx

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＝sin.

，sinα＝，所以α＝，

从而f（α）＝sin＝sin＝.

（2）T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

17．，，[2014·

重庆卷]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f＝，求cos的值．

17．解：

（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f（x）的图像关于直线x＝对称，

所以2×

＋φ＝kπ＋，k＝0，±

1，±

2，….

因为－≤φ＜，

所以φ＝－.

（2）由

（1）得ƒ＝sin（2×

－）＝，

所以sin＝.

由＜α＜得0＜α－＜，

所以cos＝＝＝.

因此cos

＝sinα

＝sin

＝sincos＋cossin

＝×

＋×

3三角函数的图象与性质

9．[2014·

辽宁卷]将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（　　）

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减

D．在区间上单调递增

9．B　[解析]由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．

3．[2014·

全国卷]设a＝sin33°

，b＝cos55°

，c＝tan35°

，则（　　）

A．a>

b>

cB．b>

c>

a

C．c>

aD．c>

a>

b

3．C　[解析]因为b＝cos55°

＝sin35°

>

sin33°

，所以b＞a.因为cos35°

<

1，所以>

sin35°

.又c＝tan35°

＝>

，所以c>

b，所以c>

a.

14．、[2014·

新课标全国卷Ⅱ]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．

14．1　[解析]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sinφcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cosφ－cos（x＋φ）sinφ＝sinx，故其最大值为1.

4　函数

的图象与性质

四川卷]为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度

B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动1个单位长度

D．向右平行移动1个单位长度

3．A　[解析]因为y＝sin（2x＋1）＝sin2，所以为得到函数y＝sin（2x＋1）的图像，只需要将y＝sin2x的图像向左平行移动个单位长度．

11．[2014·

安徽卷]若将函数f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．

11.　[解析]方法一：

将f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由该函数的图像关于y轴对称，可知sin＝±

1，即sin＝±

1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以当φ>

0时，φmin＝.

由f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知，－2φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>

0，所以φmin＝.

14．[2014·

北京卷]设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>

0，ω>

0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．

14．π　[解析]结合图像得＝－，即T＝π.

7．、[2014·

广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（　　）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

7．D　[解析]本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．

如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；

设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．

17．、、、[2014·

湖北卷]某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－cost－sint，t∈[0，24）．

（1）求实验室这一天的最大温差．

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

（1）因为f（t）＝10－2＝10－2sin，

又0≤t<

24，所以≤t＋<

，－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f（t）在[0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）>

11时，实验室需要降温．

由

（1）得f（t）＝10－2sin，

故有10－2sin>

11，

即sin<

－.

24，因此<

t＋<

，

即10<

t<

18.

故在10时至18时实验室需要降温．

16．、[2014·

江西卷]已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋acos（x＋2θ），其中a∈R，θ∈.

（1）当a＝，θ＝时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（2）若f＝0，f（π）＝1，求a，θ的值．

（1）f（x）＝sin＋cos＝

（sinx＋cosx）－sinx＝cosx－sinx＝sin.

因为x∈[0，π]，所以－x∈，

故f（x）在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.

（2）由得

又θ∈，知cosθ≠0，

所以

解得

12．、[2014·

新课标全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝sin，若存在f（x）的极值点x0满足x＋[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－6）∪（6，＋∞）

B．（－∞，－4）∪（4，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

12．C　[解析]函数f（x）的极值点满足＝＋kπ，即x＝m，k∈Z，且极值为±

，问题等价于存在k0使之满足不等式m2＋3<

m2.因为的最小值为，所以只要m2＋3<

m2成立即可，即m2>

4，解得m>

2或m<

－2，故m的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）．

16．，[2014·

山东卷]已知向量a＝（m，cos2x），b＝（sin2x，n），函数f（x）＝a·

b，且y＝f（x）的图像过点和点.

（1）求m，n的值；

（2）将y＝f（x）的图像向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图像，若y＝g（x）图像上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．

（1）由题意知，f（x）＝＝msin2x＋ncos2x.

因为y＝f（x）的图像过点和点，

即

解得m＝，n＝1.

（2）由

（1）知f（x）＝sin2x＋cos2x＝2sin.

由题意知，g（x）＝f（x＋φ）＝2sin.

设y＝g（x）的图像上符合题意的最高点为（x0，2）．

由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，

即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．

将其代入y＝g（x）得，sin＝1.

因为0<

φ<

π，所以φ＝.

因此，g（x）＝2sin＝2cos2x.

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，

所以函数y＝g（x）的单调递增区间为，k∈Z.

2．[2014·

陕西卷]函数f（x）＝cos的最小正周期是（　　）

A.B．πC．2πD．4π

2．B　[解析]已知函数y＝Acos（ωx＋φ）（A>

0）的周期为T＝，故函数f（x）的最小正周期T＝＝π.

16．，，，[2014·

四川卷]已知函数f（x）＝sin.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．

（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，

由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以，函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

（2）由已知，得sin＝cos（cos2α－sin2α），

所以sinαcos＋cosαsin＝（cos2α－sin2α），

即sinα＋cosα＝（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．

当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，

得α＝＋2kπ，k∈Z，

此时，cosα－sinα＝－.

当sinα＋cosα≠0时，（cosα－sinα）2＝.

由α是第二象限角，得cosα－sinα<

0，此时cosα－sinα＝－.

综上所述，cosα－sinα＝－或－.

15．、、[2014·

天津卷]已知函数f（x）＝cosx·

sin－cos2x＋，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．

15．解：

（1）由已知，有

f（x）＝cosx·

－cos2x＋

＝sinx·

cosx－cos2x＋

＝sin2x－（1＋cos2x）＋

＝sin2x－cos2x

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）因为f（x）在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，

所以函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为－.

4．[2014·

浙江卷]为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像（　　）

A．向右平移个单位B．向左平移个单位

C．向右平移个单位D．向左平移个单位

4．C　[解析]y＝sin3x＋cos3x＝cos＝cos，所以将函数y＝cos3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，故选C.

C5两角和与差的正弦、余弦、正切

安徽卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.

（1）求a的值；

（2）求sin的值．

（1）因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由余弦定理得cosB＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·

.

因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2.

（2）由余弦定理得cosA＝＝＝

－.因为0<

A<

π，所以sinA＝＝＝.

故sin＝sinAcos＋cosAsin＝×

广东卷]已知函数f（x）＝Asin，x∈R，且f＝.

（1）求A的值；

（2）若f（θ）＋f（－θ）＝，θ∈，求f.

17．、[2014·

辽宁卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>

c.已知·

＝2，cosB＝，b＝3.求：

（1）a和c的值；

（2）cos（B－C）的值．

（1）由·

＝2得c·

a·

cosB＝2，

又cosB＝，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×

2＝13.

解得或

因为a＞c，所以a＝3，c＝2.

（2）在△ABC中，sinB＝＝＝.

由正弦定理，得sinC＝sinB＝·

因为a＝b＞c，所以C为锐角，

因此cosC＝＝＝.

所以cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC＝×

17．[2014·

全国卷]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求B.

由题设和正弦定理得

3sinAcosC＝2sinCcosA，

故3tanAcosC＝2sinC.

因为tanA＝，所以cosC＝2sinC，

所以tanC＝.

所以tanB＝tan[180°

－（A＋C）]

＝－tan（A＋C）

＝

＝－1，

所以B＝135°

8．[2014·

新课标全国卷Ⅰ]设α∈，β∈，且tanα＝，则（　　）

A．3α－β＝B．3α＋β＝

C．2α－β＝D．2α＋β＝

8．C　[解析]tanα＝＝＝

＝＝tan，因为β∈，所以＋∈，又α∈且tanα＝tan，所以α＝，即2α－β＝.

13．，[2014·

四川卷]如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°

，30°

，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：

sin67°

≈0.92，cos67°

≈0.39，sin37°

≈0.60，cos37°

≈0.80，≈1.73）

图13

13．60　[解析]过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°

，AD＝46m，∴AB＝＝＝50（m），

在△ABC中，∠ACB＝30°

，∠BAC＝67°

－30°

＝37°

，AB＝50m，

由正弦定理得，BC＝＝60（m），

故河流的宽度BC约为60m.

10．，[2014·

重庆卷]已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin（A－B＋C）＝sin（C－A－B）＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．bc（b＋c）>

8B．ab（a＋b）>

16

C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24

10．A　[解析]因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－（A＋B），所以由已知等式可得sin2A＋sin（π－2B）＝sin[π－2（A＋B）]＋，即sin2A＋sin2B＝sin2（A＋B）＋，

所以sin[（A＋B）＋（A－B）]＋sin[（A＋B）－（A－B）]＝sin2（A＋B）＋，

所以2sin（A＋B）cos（A－B）＝2sin（A＋B）cos（A＋B）＋，

所以2sin（A＋B）[cos（A－B）－cos（A＋B）]＝，所以sinAsinBsinC＝.

由1≤S≤2，得1≤bcsinA≤2.由正弦定理得a＝2RsinA