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外
dr
r
R
(ln
)
内
E内dr
(4)W
1
K2
R4r2dr1
2K2R2
4r2dr
DEdV
4
2(
2R(1
)(
)2
10
2.在平均外电场中置入半径为R0的导体球,试用分别变量法求以下两种状况的电势:
(1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差
0;
(2)导体球上带总电荷Q
(1)该问题拥有轴对称性,对称轴为经过球心沿外电场E0方向的轴线,取该轴线为
极轴,球心为原点成立球坐标系。
当RR0时,电势知足拉普拉斯方程,通解为
(anR
n
bn
1)Pn(cos
因为无量远处
E
E0,
E0Rcos
E0RP1(cos)
所以
a0
0,a1
E0,an
0,(n2)
当
R0
时,
E0R0P1(cos
Pn(cos
n1
即:
b0/R0
0,
b1/R02
E0R0
b0
R0(
0),
b1
E0R03
bn
0,(n
2)
0)/R
E0R03cos
/R2
(R
R0)
(2)设球体待定电势为
0,同理可得
时,由题意,金属球带电量
Q
nRRdS
(E0cos
2E
0cos
)R0sindd
0R0(0
所以(
0)Q/4
0R0
Q/4
0R
(E0R03/R2)cos
(RR0)
3.平均介质球的中心置一点电荷
Qf
,球的电容率为
,球外为真空,试用分别变量法求
空间电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较。
提示:
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电
势的迭加,后者知足拉普拉斯方程。
(一)分别变量法
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电势
的迭加。
设极化电荷产生的电势为,它知足拉普拉斯方程。
在球坐标系中解的形
式为:
(
anR
cos
Pn
cnR
dn
Rn
1Pn
当R
0,
cn
0。
0时,
内为有限,
0。
n(
,
dn
P(ncos
因为球对称性,电势只与
R相关,所以
an
(n
1)
0,
a0,
d0/R
所以空间各点电势可写成
d0
R0时,由
得:
d0/R0
由
0Qf
0d0
11
4R02
R02,d0
则
4R0
4R
(二)应用高斯定理
在球外,R>
R,由高斯定理得:
ds
Q总
Qp
Qf,(整个导体球
的约束电荷Qp
0),所以
,积分后得:
RE外dR
dR
R4
0R2
Qf,所以
在球内,R<
R,由介质中的高斯定理得:
E内ds
E内
er,积分后得:
结果同样。
4R4R0
40R
4.平均介质球(电容率为
1)的中心置一自由电偶极子
pf,球外充满了另一种介质
(电
容率为2),求空间各点的电势和极化电荷散布。
以球心为原点,pf的方向为极轴方向成立球坐标系。
空间各点的电势可分为三种电
荷的贡献,即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的
贡献,此中电偶极子产生的总电势为
pf
R/4
1R3。
所以球内电势可写成:
i
'
R3
;
球外电势可写成:
o
p
此中'
i和'
o为球面的极化面电荷激发的电势,知足拉普拉斯方程。
因为对称性,
i和'
o均与没关。
考虑到R0时'
i为有限值;
R时'
o0,故拉普拉
斯方程的解为:
anRPn
由此
1R
3
n(cos)
RR0
(1)
bnR
(n1)
(2)
界限条件为:
iR
RR
(3)
(4)
RRR
将
(1)
(2)代入(
3)和(4),而后比较
(cos)
的系数,可得:
(n1)
a1
(1
2)pf/2
1(1
22)R03
a1R03
22)
于是获得所求的解为:
2)pfRcos
1R3
22)R03
2)
(R
1R
22)R0
2)pf
pfR
21(1
22)R2
41R3
22)R3
3pf
12
2)R3
在平均介质内部,只在自由电荷不为零的地方,极化电荷才不为零,所以在球体内部,
只有球心处存在极化电荷。
[(10)E]
[1
0D](0
1)D
/
1)f
所以pp
/1
1)pf
在两介质交界面上,极化电荷面密度为
(p1
p2)(1
0)er
Ei(2
Eo
(20)
因为
,所以
o)
30(
2)pf
21(
22)R0
5.空心导体球壳的内外半径为
R1和R2,球中心置一偶极子
p球壳上带电Q,求空间各
点的电势和电荷散布。
以球心为原点,以
p的方向为极轴方向成立球坐标系。
在
RR1及R
R2两平均
地区,电势知足拉普拉斯方程。
通解形式均为
)(cos)
时,电势趋于零,所以
R2
时,电势可写为
0时,电势应趋于偶极子
p激发的电势:
pf
0R3
pcos
/4
所以R
R1时,电势可写为
(2)
anRPncos
设球壳的电势为s,则
oR2
(cos)
s
nR2
(3)
iR1p
cos/4
(cos
0R1
anR1
(4)
由(3)
sR2
bn
0)
由(4)
s;
a1
p/4
0R13
an
0,1)
所
以
osR2/R
(5)
pRcos
(6)
再由
odS
sR224R2
Q得:
S
sQ/40R2
(7)
将(7)代入(5)(6)得:
0R
(RR2)
pR
40R2
40R2
0R13
0(R3
R13
在R
R2处,电荷散布为:
Dn
RR2
4R22
R1处,电荷散布为:
3pcos
4R13
6.在平均外电场E0
中置入一带平均自由电荷
f的绝缘介质球(电容率为
),求空间
各点的电势。
以球心为原点,以E0的方向为极轴方向成立球坐标系。
将空间各点的电势看作由两
部分迭加而成,一部分
1为绝缘介质球内的平均自由电荷产生,
另一部分
2为外电
场E0及E0感觉的极化电荷产生。
前者可用高斯定理求得,后者知足拉普拉斯方程。
因为对称性,2的形式为
(anRn
bnR(n
1))Pn(cos
关于
1,当R
R0时,由高斯定理得:
D1
fR03/3R2,E1
fR03/30R2
D2
fR/3
,E2
fR03
/30R2)dR
fR/3)dR
1的球外面分:
o1
fR03/30R
fR02/30
fR02/6
fR2/6
1的球内部分:
i1
E2
)dR
关于2,当R时,2E0Rcos,所以
o2
E0Rcos
n1Pn
2为有限,所以
i2
RR0时,
i2,
o2
。
E0R0cos
bnR0
(n1)Pn(cos
anR0nPn(cos)
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