届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测理科数学试题解析版.docx
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届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测理科数学试题解析版
郴州市2018届高三第二次教学质量监测试卷
数学(理科)
(命题人:
2018届高三数学理科研究专家组
审题人:
郴州教育科学研究院汪昌华桂阳一中李民忠宜章一中朱联春)
一、选择题:
本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足,则的虚部是()
A.-1B.1C.-2D.2
【答案】B
∴
∴的虚部是1
故选:
B
2.已知,,则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意得:
,,
∴
故选:
A
3.甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是()
A.1B.C.D.
【答案】D
【解析】甲、乙、丙三人站成一排照相,共有种排法,
其中甲排在左边的排法为种,
∴甲排在左边的概率是
故选:
D
4.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的一种运算方法,执行该程序框图,若输入的,分别为12,20,则输出的()
A.0B.14C.4D.2
【答案】C
【解析】由a=12,b=20,不满足a>b,
则b变为20﹣12=8,
由a>b,则a=12﹣8=4,
由b>a,则b变为8﹣4=4,
由a=b=4,
则输出的a=4.
故选:
C.
点睛:
本题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点:
(1)不要混淆处理框和输入框;
(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5)要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.
5.已知数列的前项和,且,则()
A.27B.C.D.31
【答案】C
【解析】∵,且,
∴,即
∴,
当时,,
∴,即,
∴
∴
∴
故选:
C
6.函数(其中,)的部分图象如图所示,将函数的图象()可得的图象
A.向右平移个长度单位B.向左平移个长度单位
C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位
【答案】D
【解析】由函数的部分图象知,,,解得,由五点法画图知,,解得,又将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,故选D.
7.设,,为正实数,且,则,,的大小关系是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】x,y,z为正实数,且,
可得:
x=2k<1,y=3k<1,z=5k<1.
∴=2k﹣1,=3k﹣1,=5k﹣1,
令,又在上单调递减,
∴,即
故选:
C.
8.设等差数列的前项和为,已知,为整数,且,则数列前项和的最大值为()
A.B.1C.D.
【答案】A
【解析】a1=9,a2为整数,可知:
等差数列{an}的公差d为整数,
由Sn≤S5,∴a5≥0,a6≤0,则9+4d≥0,9+5d≤0,解得,d为整数,d=﹣2.
∴an=9﹣2(n﹣1)=11﹣2n.
,
∴数列前项和为
令bn=,由于函数f(x)=的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性,可知:
0<b1<b2<b3<b4,b5<b6<b7<…<0,∴bn≤b4=1.∴最大值为=.
故选:
A
9.已知是定义在上的函数,对任意都有,若函数满足,且,则等于()
A.2B.3C.-2D.-3
【答案】B
【解析】∵对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f
(2),
∴f(﹣2+4)=f(﹣2)+2f
(2)⇒f(﹣2)+f
(2)=0⇒2f
(2)=0⇒f
(2)=0,
∴f(x+4)=f(x)+2f
(2)=f(x).即函数周期为4.
∴f(2019)=f(4×504+3)=f(3)=f(﹣1)=f
(1)=3.
故选:
B.
10.如图,是抛物线()的焦点,直线过点且与抛物线及其准线交于,,三点,若,,则抛物线的标准方程是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,
设|BF|=a,则|BC|=3a,|BD|=a,
∴,
在直角三角形ACE中,∵|AB|=9,|AC|=9+3a,
∴3|AE|=|AC|,
∴=9+3a,即a=3,
∵BD∥FG,∴,即,解得p=4,
∴抛物线的方程为y2=8x.
故选:
C.
11.三棱锥的一条棱长为,其余棱长均为2,当三棱锥的体积最大时,它的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题意画出三棱锥的图形,
其中AB=BC=CD=BD=AC=2,AD=m;
取BC,AD的中点分别为E,F,
可知AE⊥BC,DE⊥BC,
且AE∩DE=E,
∴BC⊥平面AED,
∴平面ABC⊥平面BCD时,三棱锥A﹣BCD的体积最大,
此时AD=m=AE=×=;
设三棱锥外接球的球心为O,半径为R,由球体的对称性知,
球心O在线段EF上,
∴OA=OC=R,又EF===,
设OF=x,OE=﹣x,
∴R2=+x2=+1,
解得x=;
∴球的半径R满足R2=,
∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=4π×=.
故选:
B.
点睛:
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.
12.已知函数,,若与的图像上存在关于直线对称的点,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】g(x)=关于直线y=1对称的直线为y=1﹣mx,
∴直线y=1﹣mx与y=2lnx在[,e2]上有交点.
作出y=1﹣mx与y=2lnx的函数图象,如图所示:
若直线y=1﹣mx经过点(,﹣2),则m=3e,
若直线y=1﹣mx与y=2lnx相切,设切点为(x,y).
则,解得.
∴≤m≤3e.
故选:
D.
点睛:
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:
本题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题卡上.
13.已知向量与的夹角为,且,,则__________.
【答案】2
∴,即+
∴,即
∴
故答案为:
2
14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.
【答案】
【解析】由三视图可知,该几何体由四分之三的圆柱与三棱锥组成,
∴该几何体的体积为
故答案为:
15.设实数、满足:
,实数、满足,若是的充分不必要条件,则正实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】∵是的充分不必要条件,
∴是的充分不必要条件,
表示以为圆心,为半径的圆面,
当圆面与直线相切时,圆面最大
,∴
∴正实数的取值范围是
故答案为:
16.已知双曲线的左、右顶点分别为、,点为双曲线的左焦点,过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于,点,连接交轴于点,连接交于点,若,则双曲线的离心率为__________.
【答案】5
【解析】根据题意,如图作出双曲线的草图:
双曲线C:
中,PQ过左焦点F且垂直与x轴,
假设P在Q的上方,则xP=xQ=﹣c,
将x=﹣c代入双曲线的方程可得:
yP=,yQ=﹣,
则|PF|=|FQ|=,
又由OE∥PM,则△EOB∽△PFB,则有,
则|EO|=c-a,
而△EOA∽△MFA,则有,即,
整理可得:
c=5a,
则e=5,故双曲线的离心率为5;
故答案为:
5.
点睛:
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
三、解答题:
共70分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.在中,内角的对边分别为,且
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的面积.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)利用二倍角公式及商数关系得到,从而得到结果;
(2)由,得,结合正余弦定理可得,
又,,从而解得,进而得到的面积.
试题解析:
(Ⅰ)解法一:
由,得,
因为在中,,所以,即.
又因为在中,,所以,,
解法二:
由,得,
即,,.
又因为中,,所以,,
(Ⅱ)由,得
根据正弦定理和余弦定理得,,即.
又由(Ⅰ)知,所以.
又,解得所以,面积为.
18.如图,在长方形中,,,现将沿折起,使折到的位置且在面的射影恰好在线段上.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)求锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)先证明平面,进而得到平面,从而得证;
(2)以为原点,建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量,代入公式得到结果.
试题解析:
(Ⅰ)由题知平面,又平面,∴;
又且,∴平面;
又平面,∴;
又且,∴平面;
又平面,所以.
(Ⅱ)在中,,由射影定理知,.
以为原点,建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,,,
设是平面的一个法向量,
则,∴,即,
即,取,所以;
设是平面的一个法向量,
则,∴,即,
即,取,所以;
设锐二面角的大小为,
则
所以锐二面角余弦值为.
点睛:
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:
(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;
(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
19.某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用(单位:
万元)和产品营业额(单位:
万元)的统计折线图.
(Ⅰ)根据折线图可以判断,可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程;
(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为,应投入宣传费多少万元才能使利润最大,并求最大利润.
参考数据:
,,,,
参考公式:
相关系数,,
回归方程中斜率和截距的最小二乘佔计公式分别为,.(计算结果保留两位小数)
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)投入宣传费3万元时,可获得最大利润55.4万元.
【解析】试题分析:
(1)由折线图中数据和参考数据得:
从而可以用线性回归模型拟合与的关系;
(2)根据公式求得,得到关于的回归方程为;
(3),利用二次函数性质求最值.
试题解析:
(Ⅰ)由折线图中数据和参考数据得:
,,
因为与的相关系数近似为0.99,说明与的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
(Ⅱ),,
所以关于的回归方程为.
(Ⅲ)由,可得时,.
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- 湖南省 郴州市 第二次 教学质量 监测 理科 数学试题 解析