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①求椭圆C的标准方程;
②过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点,求
的取值范围.
26.设F1、F别为椭圆C:
=1(a>
b>
0)的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C上的点A(1,
)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是
(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程.
27.已知椭圆
的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过焦点斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?
若存在,试求点到轴的距离;
若不存在,请说明理由.
28.(Ⅰ)设椭圆方程的左、右顶点分别为,点M是椭圆上异于的任意一点,设直线的斜率分别为,求证为定值并求出此定值;
(Ⅱ)设椭圆方程的左、右顶点分别为,点M是椭圆上异于的任意一点,设直线的斜率分别为,利用(Ⅰ)的结论直接写出的值。
(不必写出推理过程)
29.已知椭圆过点,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为()的直线与椭圆相交于两点,直线、分别交直线于、两点,线段的中点为.记直线的斜率为,求证:
为定值.
30.设椭圆的左焦点为,离心率为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆方程.
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点,当面积最大时,求.
31.已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆E过点(1,),离心率为.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)直线x+y+1=0与椭圆E相交于A、B(B在A上方)两点,问是否存在直线l,使l与椭圆相交于C、D(C在D上方)两点且ABCD为平行四边形,若存在,求直线l的方程与平行四边形ABCD的面积;
32.椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.
(I)若ΔABF2为正三角形,求椭圆的离心率;
(II)若椭圆的离心率满足,为坐标原点,求证:
33.已知椭圆:
的两个焦点分别为,,离心率为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ),,,是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点,,且这两条直线互相垂直,求证:
34.设是椭圆的左焦点,直线方程为,直线与轴交于点,、分别为椭圆的左右顶点,已知,且.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点且斜率为的直线交椭圆于、两点,求三角形面积.
35.已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程:
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A.B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.
36.已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=+成立?
若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;
若不存在,说明理由.
37.$selection$
38.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点,直线,与直线分别交于点,.
(Ⅱ)求的取值范围.
39.已知椭圆:
的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(Ⅱ)若直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.
参考答案
一、解答题
23.【答案】
(1);
(2)证明过程详见解析.
本题主要考查椭圆的标准方程、韦达定理等基础知识,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,用待定系数法,先设出椭圆方程,根据焦距和椭圆过,解出,得到椭圆方程,由于直线与椭圆有2个交点,所以联立得到的关于的方程有2个不相等实根,所以利用求解;
第二问,分析题意得只需证明,设出点坐标,利用第一问得出的关于的方程找到,将化简,把的结果代入即可得证.
试题解析:
(1)设椭圆的方程为,因为,所以,
又因为椭圆过点,所以,解得,故椭圆方程为.
将代入并整理得,
,解得.
(2)设直线的斜率分别为和,只要证明.
设,则,.
分子
所以直线的斜率互为相反数.
24.【答案】
(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅰ)由已知:
,且,解得,
所以椭圆的方程是.
(Ⅱ)将代入椭圆方程,得,
化简得,
设,则,
所以,
由,
所以的取值范围是.
25.【答案】
(1)
(2),
解:
(1)由题意得,,设,
则,.
得即,①
又在抛物线上,则,②
联立①、②易得
(2)①设椭圆的半焦距为,由题意得,
设椭圆的标准方程为,
则③,④
将④代入③,解得或(舍去)
所以
故椭圆的标准方程为
②.(ⅰ)当直线的斜率不存在时,,,
又,所以
(ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
由得
设,则由根与系数的关系,
可得:
因为,所以,
又,
故
令,因为,即,
综上所述:
26.【答案】解:
(1)椭圆C的焦点在x轴上,
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.
又点A(1,)在椭圆上,因此=1得b2=3,于是c2=1.
所以椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0)(6分)
(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:
即x1=2x+1,y1=2y.
代入=1得=1.
即为所求的轨迹方程.
27.【答案】
(Ⅰ)依题设,,则,.
由,解得,所以.所以椭圆的方程为
(Ⅱ)依题直线的方程为.
由得.
设,,弦的中点为,
则,,,,所以.
直线的方程为,
令,得,则.
若四边形为菱形,则,.所以.
若点在椭圆上,则.
整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.
此时点到的距离为
28.【答案】
(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ)。
(Ⅰ),
在椭圆上有得
所以
(Ⅱ)
29.【答案】
(Ⅰ);
(Ⅰ)根据条件可得以下方程组:
,解这个方程组求出、的值便得椭圆的方程;
(Ⅱ)将用表示出来,这样就是一个只含的式子,将该式化简即可.那么如何用来表示?
设,.因为A(2,0),所以直线的方程分别为:
令得:
所以的中点为:
由此得直线的斜率为:
①
再设直线的方程为,代入椭圆方程得:
设,,则由韦达定理得:
代入①式,便可将用
表示出来,从而得到的值.
(Ⅰ)由题设:
,解之得,所以椭圆的方程为
(Ⅱ)设直线的方程为代入椭圆方程得:
直线的方程分别为:
令,得:
30.【答案】
(1);
(2).
(1)由离心率得,由过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为得,再加椭圆中可解出,可得椭圆方程;
(2)将直线方程设为,交点设出,然后根据题意算出的面积,令则,所以当且仅当时等号成立,求出面积最大时的.
(1)由题意可得,,又,解得,所以椭圆方程为()
(2)根据题意可知,直线的斜率存在,故设直线的方程为,设,由方程组消去得关于的方程()由直线与椭圆相交于两点,则有,即得
由根与系数的关系得
故()
又因为原点到直线的距离,
故的面积
令则,所以当且仅当时等号成立,
即时,()
31.【答案】解:
(Ⅰ)设椭圆的方程为+=1(a>
0),由题意可得
解得a2=4,b2=3.
∴椭圆的方程为+=1
32.【答案】
(Ⅱ)见解析.
(Ⅰ)由椭圆定义易得为边上的中线,在中,可得,即得椭圆的离心率;
(Ⅱ)设,,由,,先得,再分两种情况讨论,①是当直线轴垂直时;
②是当直线不与轴垂直时,都证明,可得结论.
(Ⅰ)由椭圆的定义知,又,∴,即为边上的中线,∴,
在中,则,∴椭圆的离心率.
(注:
若学生只写椭圆的离心率,没有过程扣)
(Ⅱ)设,因为,,所以
①当直线轴垂直时,,,,
=,因为,所以,恒为钝角,
②当直线不与轴垂直时,设直线的方程为:
,代入,
整理得:
令,由①可知,
恒为钝角.,所以恒有.
33.【答案】
(Ⅰ)由已知,
所以.
所以:
即.
因为椭圆过点,
得,.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)知椭圆的焦点坐标为,.
根据题意,可设直线的方程为,
由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为.
设,.
由方程组消得
.
则.
所以=.
同理可得.
34.【答案】
(Ⅱ)三角形面积为.
(Ⅰ)∵,∴,又∵,
∴,∴,,
∴椭圆的标准方程为
(Ⅱ)由题知:
,,:
,,,
由消得:
∴.
点到直线的距离:
∴,即三角形面积为.
35.【答案】
(Ⅰ).
(Ⅱ)面积取最大值.
(Ⅰ)属于椭圆的基本题型.通过建立的方程组,求得椭圆方程为.
(Ⅱ)解答本小题,应注意讨论轴和当与轴不垂直的两种情况.在与轴不垂直设直线的方程为.利用坐标原点到直线的距离为,建立的方程.通过将直线方程与椭圆方程联立,应用韦达定理、弦长公式,得到.应用均值定理得到
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.
,,∴所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设.
当轴时,.
②当与轴不垂直时,设直线的方程为.
∵坐标原点到直线的距离为,,
把代入椭圆方程,整理得,
当且仅当时等号成立,
当时,,
综上所述.
∴当最大时,面积取最大值.
36.【答案】
(Ⅱ)P(,±
),x±
y-=0.
(Ⅰ)先利用点到直线的距离公式求,再利用离心率求,最后利用参数的关系求;
(Ⅱ)设点利用方程组消元后得根与系数关系,然后代入题中条件化简可求.
(Ⅰ)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,
∴O到l的距离为,
由已知,得=,∴c=1.
由e==,得a=,b==.
(Ⅱ)假设C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=+成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则P(x1+x2,y1+y2).
由(Ⅰ),知C的方程为+=1.
由题意知,l的斜率一定不为0,故不妨设l:
x=ty+1.
由,消去x并化简整理,得(2t2+3)y2+4ty-4=0.
由韦达定理,得y1+y2=-,
∴x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2=-+2=,
∴P(,-).
∵点P在C上,∴+=1,
化简整理,得4t4+4t2-3=0,即(2t2+3)(2t2-1)=0,解得t2=.
当t=时,P(,-),l的方程为x-y-=0;
当t=-时,P(,),l的方程为x+y-=0.
故C上存在点P(,±
),使=+成立,此时l的方程为x±
37.【答案】
38.【答案】解:
(Ⅰ)设椭圆的方程为,
依题意得解得,.
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)显然点.
(1)当直线的斜率不存在时,不妨设点在轴上方,易得,,所以
(2)当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,显然时,不符合题意.
设,则.
直线,的方程分别为:
令,则.
所以,
因为,所以,所以,即.
综上所述,的取值范围是
39.【答案】
(共13分)解(Ⅰ)因为,,所以.
因为原点到直线:
的距离,解得,.
故所求椭圆的方程为.
(Ⅱ)由题意消去,整理得.可知.
设,,的中点是,
则,.
所以.所以.
即.又因为,
所以.所以
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