人教版数学一轮第1章 第1节 集 合.docx
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人教版数学一轮第1章第1节集合
第章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
[考纲传真] 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系:
属于或不属于,分别记为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、Venn图法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B,∃x0∈B,x0∉A
AB或BA
相等
集合A,B的元素完全相同
A⊆B,B⊆A⇒A=B
A=B
空集
不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集
∀x,x∉∅,∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合
{x|x∈U,x∉A}
∁UA
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩∁UA=∅;A∪∁UA=U;∁U(∁UA)=A.
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何集合都至少有两个子集.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)若{x2,x}={-1,1},则x=-1.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
[解析]
(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
(3)正确.
(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆A B.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
D [由题意知A={0,1,2,3},由a=2知,a∉A.]
3.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=( )
A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}
C.{2,3,4}D.{1,3,4}
A [A∪B={1,2,3,4}.]
4.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=( )
A.{4,8}B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}
C [∁AB={0,2,6,10}.]
5.若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( )
A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}
A [∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},
∴A∩B={x|-2<x<-1}.]
集合的含义与表示
1.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
B [因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4,a=1,2,3时,x=5,6,7.
当b=5,a=1,2,3时,x=6,7,8.
由集合元素的互异性,可知x=5,6,7,8.
即M={5,6,7,8},共有4个元素.]
2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.B.C.0D.0或
D [若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,
所以a的取值为0或.]
3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2019+b2019为( )
A.1B.0C.-1D.±1
C [由已知得a≠0,则=0,
所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2019+b2019=(-1)2019+02019=-1.]
4.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________.
1 [由A∩B={3}知a+2=3或a2+4=3.
解得a=1.]
[规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,要注意检验集合是否满足元素的互异性.
集合间的基本关系
【例1】
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则( )
A.B⊆AB.A=B
C.ABD.BA
(2)(2019·大庆模拟)集合A=,B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B的子集个数为( )
A.5B.8C.3D.2
(3)已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的取值集合为________.
(1)C
(2)B (3) [
(1)A={1,2},B={1,2,3,4},则AB,故选C.
(2)由≤0得-1≤x<3,则A={-1,0,1,2},B={y|y=x2+1,x∈A}={1,2,5},其子集的个数为23=8个.
(3)A={-3,2},若a=0,则B=∅,满足B⊆A,
若a≠0,则B=,由B⊆A知,=-3或=2,故a=-或a=,因此a的取值集合为.]
[规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法
(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系.
(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
易错警示:
B⊆A(A≠∅),应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
(1)(2018·长沙模拟)已知集合A={0},B={-1,0,1},若A⊆C⊆B,则符合条件的集合C的个数为( )
A.1B.2C.4D.8
(2)已知集合A={x|x2-2x≤0},B={x|x≤a},若A⊆B,则实数a的取值范围是________.
(1)C
(2)[2,+∞) [
(1)由A⊆C⊆B得C={0}或{0,-1}或{0,1}或{0,-1,1},故选C.
(2)A={x|0≤x≤2},要使A⊆B,则a≥2.]
集合的基本运算
►考法1 集合的运算
【例2】
(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1}
C.{1,2}D.{0,1,2}
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
(3)(2019·桂林模拟)已知集合M={x|-1<x<3},N={-1,1},则下列关系正确的是( )
A.M∪N={-1,1,3}B.M∪N={x|-1≤x<3}
C.M∩N={-1}D.M∩N={x|-1<x<1}
(1)C
(2)B (3)B [
(1)由题意知,A={x|x≥1},则A∩B={1,2}.
(2)法一:
A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2},故选B.
法二:
因为A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B.
(3)M∪N={x|-1≤x<3},M∩N={1},故选B.]
►考法2 利用集合的运算求参数
【例3】
(1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )
A.-1<a≤2B.a>2
C.a≥-1D.a>-1
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0 B.1C.2 D.4
(3)(2019·厦门模拟)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是( )
A.a≤1B.a<1
C.a≥2D.a>2
(1)D
(2)D (3)C [
(1)由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示:
易知a>-1,故选D.
(2)由题意可知{a,a2}={4,16},所以a=4,故选D.
(3)B={x|1<x<2},由A∩B=B知B⊆A,则a≥2,故选C.]
[规律方法] 解决集合运算问题需注意以下三点:
(1)看元素组成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)看集合能否化简,集合能化简的先化简,再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于求解.
(3)要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,并注意端点值的取舍.
(1)(2019·东北三省四市联考)设集合A={x||x|<1},B={x|x(x-3)<0},则A∪B=( )
A.(-1,0)B.(0,1)
C.(-1,3)D.(1,3)
(2)(2019·西安模拟)设集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x≤2,x∈Z},则(∁RA)∩B=( )
A.{1} B.{2}C.{1,2} D.∅
(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,-3}B.{1,0}
C.{1,3}D.{1,5}
(4)(2019·长沙模拟)已知集合A={1,3,9,27},B={y|y=log3x,x∈A},则A∩B=( )
A.{1,3}B.{1,3,9}
C.{3,9,27}D.{1,3,9,27}
(1)C
(2)D (3)C (4)A [
(1)A={x|-1<x<1},B
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- 人教版数学一轮第1章 第1节 人教版 数学 一轮