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柱体的扭转
第九章柱体的扭转
一.内容介绍
圆截面杆件的扭转问题通过平面假设可以解决。
但是非圆截面柱体扭转时,由于构件轴线不再具有对称性质,因此平面假设不再成立。
本章讨论非圆截面柱体的扭转。
首先从位移解法入手,讨论横截面的翘曲,建立柱体扭转的基本方程和边界条件;然后,讨论柱体扭转的应力解法;最后应用薄膜比拟探讨柱体扭转的切应力分布形式。
位移解法在柱体扭转中,由于横截面面力边界条件的表达形式导致求解困难,因此柱体扭转仍然是应用应力解法。
通过扭转应力函数,求解椭圆截面和矩形柱体的扭转问题。
二.重点
1.扭转位移解法与翘曲函数;
2.扭转应力解法与扭转应力函数;
3.薄膜比拟法;
4.典型柱体扭转问题解。
知识点
扭转位移假设
扭转应力函数
薄膜比拟
薄膜等高线与切应力
椭圆截面切应力
矩形截面柱体的扭转
矩形截面柱体扭转切应力
开口薄壁杆扭转
局部切应力
扭转翘曲函数
扭转边界条件
扭转应力函数描述的边界条件
薄膜垂度与扭转应力
椭圆截面杆的扭转
椭圆截面翘曲
扭转级数解
狭长矩形的扭转应力
§9.1扭转问题的位移解
学习思路:
本节讨论自由扭转问题的位移解法。
首先建立自由扭转的位移假设:
一是刚截面假设;二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。
通过上述假设,将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示,因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数Φ(x,y)。
基本未知量翘曲函数Φ(x,y)。
确定后,通过基本方程,将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。
位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。
因此只要选取的翘曲函数是调和函数,自然满足自由扭转问题的基本方程。
自由扭转问题的边界条件,可以分为两个部分:
侧面边界条件和端面边界条件。
对于自由扭转,侧面边界不受力。
根据这一条件,可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。
端面采用合力边界条件,就是端面应力的合力为扭矩T。
这一边界条件,采用翘曲函数表达相当复杂。
学习要点:
1.扭转位移假设;
2.扭转翘曲函数满足的基本方程;
3.扭转边界条件;
4.扭转端面边界条件;
当柱体受外力矩作用发生扭转时,对于非圆截面杆件,其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制,称为自由扭转;如果横截面翘曲变形受到限制,就是约束扭转。
本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。
对于柱体的自由扭转,假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素,使得柱体不产生刚体位移。
柱体右端面作用一力偶T,侧面不受力。
设柱体左端面形心为坐标原点,柱体轴线为z轴建立坐标系。
柱体扭转时发生变形,设坐标为z的横截面的扭转角为α,则柱体单位长的相对扭转角为。
而横截面的扭转角α=ϕz。
对于柱体的自由扭转,首先考察柱体的表面变形。
观察可以发现,柱体表面横向线虽然翘曲,但是各个横向线的翘曲是基本相同的,而且横向线的轮廓线形状基本不变。
根据上述观察结论,对柱体内部位移作以下的假设:
1.刚截面假设。
柱体扭转当横截面翘曲时,它在Oxy平面上的投影形状保持不变,横截面作为整体绕z轴转动,如图所示。
当扭转角α很小时,设OP=ρ,则P点的位移为
2.横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角ϕ成正比,而且各个截面的翘曲相同,即w=ϕΦ(x,y)。
Φ(x,y)称为圣维南(SaintVenant)扭转函数,或者称为翘曲函数。
对于位移法求解,需要将平衡微分方程用位移分量表示。
因为
根据几何方程,应变分量为
根据本构方程,应力分量为
对于平衡微分方程,在不计体力的条件下,前两个方程自然满足,只有最后一个方程,为
将位移表达式代入上式,则
上式为Laplace方程,它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程,即Lamé方程时,则扭转翘曲函数Φ(x,y)为调和函数。
下面考察柱体自由扭转的边界条件。
对于自由扭转问题,在侧边界没有载荷作用。
由于σx=σy=σz=τxy=0,只有τxz和τyz不等于零,因此分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论。
柱体的侧边界没有外力作用,而且侧面边界法线方向余弦n=0。
因此,面力边界条件只有第三式需要满足,有
将翘曲函数表示的应力分量代入上式,并且注意到柱体侧面法线方向余弦与坐标系的关系,n=0,则如图所示。
有
因为
所以,柱体侧面面力边界条件转换为翘曲函数横截面边界条件。
有
对于柱体的端面面力边界条件,选取柱体任意一个端面,例如右端面,l=m=0,而n=1。
因此面力边界条件的第三式自然满足,而前两式成为
面力的合力为外力矩T,则端面面力边界条件为
对于上述边界条件的前两式,由于
同理 。
所以边界条件的前两式是恒满足的。
对于第三式有
令
则T=ϕGD,其中D表达了横截面的几何特征,GD称为柱体的抗扭刚度。
总之,柱体的自由扭转的位移解法,归结为在边界条件下求解方程,相对扭转角ϕ由公式T=ϕGD确定。
§9.2扭转问题的应力解
学习思路:
柱体自由扭转问题的位移解法,基本方程是翘曲函数表示的调和方程。
基本方程的形式简单,但是边界条件的描述,特别是要用翘曲函数表达端面的合力边界条件比较困难。
因此典型的扭转问题均是采用应力解法求解的。
自由扭转的应力解法,以扭转应力函数ψ(x,y)作为基本未知量。
主要工作包括利用平衡微分方程建立扭转应力与应力函数的关系;将应力函数表达的应力分量代入变形协调方程,可以确定应力函数ψ(x,y)满足的基本方程。
这是一个泊松方程。
根据扭转问题的侧面面力边界条件,扭转应力函数在横截面的边界为常数。
对于单连域问题,可以假设这个常数为零。
对于扭转问题的端面面力边界条件,可以确定外力矩和应力函数的关系。
学习要点:
1.扭转应力函数;
2.扭转应力函数与边界条件;
3.扭转端面边界条件;
扭转问题的位移解法方程虽然简单,但是边界条件相对比较复杂,因此通常使用应力解法求解柱体的扭转问题。
根据扭转问题的平衡微分方程,可得。
因此,必然有一个函数ψ(x,y),使得
将上述扭转应力分量代入变形协调方程,则前四个方程恒满足,而后两个方程要求,所以,翘曲函数ψ(x,y)满足
因此
上式即扭转问题的应力解法的基本方程。
ψ(x,y)称为普朗特(Prandtl)扭转应力函数。
将扭转应力函数与翘曲函数公式相比较,则扭转应力函数与翘曲函数的关系为
将上式代入变形协调方程,则 C=-2Gϕ。
对于侧面边界条件,。
将应力函数代入侧面面力边界条件,有
所以 ψc=const
根据应力表达式,在应力函数ψ(x,y)中增加或者减少一个常数对于应力分量的计算没有影响,因此对于单连域横截面柱体,可以将常数取为零。
有
ψc=0
但是应该注意,如果柱体横截面为多连域时,应力函数在每一个边界都是常数,但是各个常数一般并不相同。
因此,只能将其中一个边界上的ψc取为零。
对于杆的端面边界条件,有
和位移解法相同,前两个边界条件恒满足,对于第三式,将应力分量表达式代入,有
由于应力函数在边界上的值恒为零,上式线积分为零。
所以
根据上式可以求出单位长度扭转角ϕ。
这样,柱体扭转问题的基本方程归结为求解变形协调方程
问题的边界条件为:
侧面边界条件ψc=0;端面边界条件为,。
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