最新中考数学专题复习第23讲 多边形与平行四边形.docx

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最新中考数学专题复习第23讲多边形与平行四边形

第23讲　多边形与平行四边形

目录：

考点知识梳理

中考典例精析

基础巩固训练

考点训练

考点知识梳理

1．多边形：

在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做多边形．

2．多边形的对角线

（1）从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线；

（2）n边形共有条对角线．

3．正多边形：

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

温馨提示

一个多边形只有同时满足以上两个条件才称为正多边形，如正四边形只有正方形，矩形和菱形只满足其中一个条件，不是正四边形.

4．多边形的内角和与外角和

（1）多边形的内角和等于（n－2）·180°；

（2）多边形的外角和等于360°.

温馨提示

1.正n边形的每个内角都等于×180°，每个外角都等于.

2.多边形的外角和等于360°，与多边形的边数无关.

5．四边形具有不稳定性．

1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

2．平行四边形的性质

（1）平行四边形的两组对边分别平行；

（2）平行四边形的两组对边分别相等；

（3）平行四边形的两组对角分别相等；

（4）平行四边形的对角线互相平分；

（5）平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点．

3．平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

4．平行线间的距离：

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．两条平行线间的距离处处相等.

中考典例精析

已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（　B　）

A．四边形B．五边形

C．六边形D．七边形

【思路点拨】利用n边形的内角和可以表示成（n－2）·180°，列出方程即可求出答案．

方法总结

若已知多边形的内角和求边数，可列方程求解；若已知正多边形的内角求边数，可将内角转化为外角，然后利用外角和等于360°求解.

一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（　C　）

A．正六边形B．正八边形

C．正十边形D．正十二边

一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（　C　）

A．七边形B．六边形

C．五边形D．四边形

若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（　A　）

A．3B．4C．5D．6

如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论正确的是（　A　）

A．S四边形ABCD＝4S△AOB

B．AC＝BD

C．AC⊥BD

D．▱ABCD是轴对称图形

【思路点拨】根据平行四边形的性质分别判断即可得出答案．

方法总结

1.平行四边形的基本性质：

（1）平行四边形两组对边分别平行；

（2）平行四边形的两组对边分别相等；（3）平行四边形的两组对角分别相等；（4）平行四边形的对角线互相平分；（5）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点.

2.利用平行四边形的性质可以解决角相等、线平行、线段相等等问题.

如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　D　）

A．∠1＝∠2

B．∠BAD＝∠BCD

C．AB＝CD

D．AC⊥BD

如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝2，则S1＋S2＝8.

解析：

如图，过点P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB.∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1∶2，∴S△PEF∶S△PBC＝1∶4，又∵S△PEF＝2，∴S△PBC＝S△CQP＋S△QPB＝S△PDC＋S△ABP＝S1＋S2＝8.

在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE.

（1）证明：

DE∥CB；

（2）探索当AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

【思路点拨】

（1）连结CE，通过证明△ADE≌△CDE，得到∠EDC＝30°，从而证得DE∥CB；

（2）可通过假设四边形DCBE是平行四边形，求出AC与AB的数量关系．

解：

（1）证明：

如图，连结CE，

∵点E为Rt△ABC的斜边AB的中点，

∴CE＝AB＝AE.

∵△ACD是等边三角形，

∴AD＝CD.

在△ADE与△CDE中，

AD＝CD，DE＝DE，AE＝CE，

∴△ADE≌△CDE.

∴∠ADE＝∠CDE＝30°.

又∵∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝150°，

∴∠CDE＋∠DCB＝180°.∴DE∥CB.

（2）∵∠DCB＝150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE,∠DCB＋∠B＝180°.∴∠B＝30°.

在Rt△ABC中，sinB＝＝，

∴AC＝AB或AB＝2AC.

∴当AC＝AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形．

方法总结

证明一个四边形是平行四边形的方法有多种，要结合图形及已知条件，灵活选择适当的方法进行证明.

如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.

（1）求证：

△ABE≌△DCF；

（2）试证明：

以A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．

证明：

（1）如图，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.∵在△ABE与△DCF中，AB＝CD，∠B＝∠C，BE＝CF，

∴△ABE≌△DCF（SAS）．

（2）如图，连结AF，DE.由

（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，∴∠AEF＝∠DFE，∴AE∥DF，∴以A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．

基础巩固训练

1．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　A　）

A．四边形B．五边形

C．六边形D．八边形

2．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　D　）

A．BO＝DOB．CD＝AB

C．∠BAD＝∠BCDD．AC＝BD

3．已知▱ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是（　C　）

A．100°B．160°

C．80°D．60°

4．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　D　）

A．AB∥DC，AD∥BC

B．AB＝DC，AD＝BC

C．AO＝CO，BO＝DO

D．AB∥DC，AD＝BC

5．若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是9.

6．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6.

7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°.直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝225°.

8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是AB＝CD（或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°或∠C＋∠D＝180°等）．

9．如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF.

求证：

四边形BECF是平行四边形．

证明：

∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，在△AEB与△DFC中，∠AEB＝∠DFC，AE＝DF，∠A＝∠D，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE＝CF.又∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF.∴四边形BECF是平行四边形．

10．如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，求证：

四边形DEBF是平行四边形．

证明：

∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA.在△ADF和△CBE中，∠ADF＝∠CBE，∠AFD＝∠CEB，AF＝CE，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．

11．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（　D　）

A．5B．5或6

C．5或7D．5或6或7

解析：

由（n－2）·180°＝720°，得另一个多边形的边数为6.因为一个多边形截去一个角后，边数可能减1，可能不变，可能加1，所以原多边形的边数可能是5或6或7.故选D.

12．如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD的周长是（　D　）

A．5B．7C．10D．14

13．如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE＝∠DAC，DE＝AC.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？

（　C　）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．有一组对边平行的四边形是梯形

C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形

D．对角线相等的平行四边形是矩形

14．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线的和是（　C　）

A．18B．28C．36D．46

15．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（　　）

A．2

B．4

C．4

D．8

解析：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝4，DC∥AB，∴∠FAB＝∠DFA.又∵AF是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝FD.∵DG⊥AE，∴AG＝FG.∵F为边DC的中点，∴DF＝CF＝2.在Rt△DGF中，GF＝＝，∴AF＝2GF＝2.∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E.又∵DF＝CF，∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF，∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4.故选B.

答案：

B

16．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P，E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为（　　）

A．1∶4

B．3∶5

C．1∶5　

D．3∶4

解析：

如图，过点P作PH∥BC交AB于点H，连结CH，

PF，∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形，

∴PEAB.∵四边形BDEF是平行四边形，

∴EFBD，即EF∥AB，∴P，F，E三点共线．设BD＝a，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4a，则PF＝PE－EF＝3a.∵PH∥BC，∴S△HBC＝S△PBC.∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH＝PF＝3a.∵S△HBC∶S△ABC＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，∴S△PBC∶S△ABC＝3∶4.故选D.

答案：

D

17．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为25°.

18．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于15.

解析：

如图，分别将AB，CD，EF向两端延长交于点G，H，I.∵六边形ABC