高考数学一轮总复习专题28函数与方程练习理.docx
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高考数学一轮总复习专题28函数与方程练习理
专题2.8函数与方程
【真题回放】
1.【2017课标3理11】已知函数有唯一零点,则a=()
A.B.C.D.1
【答案】C
【考点解读】本题考查函数零点的判定定理,函数的单调性、数形结合能力及化归思想和分类讨论的思想等,属于难题。
解题可通过等价转化为函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.
2.【2017山东理10】已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】B
【解析】当时,,单调递减,且,
单调递增,且,此时有且仅有一个交点;当时,,在上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需选B.
【考点解读】本题考查了函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用。
注意对分类思想的运用。
3.【2017高考江苏理14】设f(x)是定义在R且周期为1的函数,在区间上,
其中集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是.
【答案】8
【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题,函数的图象和性质及转化思想。
对知识综合运用能力要求较高,有相当难度。
(需注意对题中条件集合D的解读)
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
函数的零点
B
二分法
A
函数与方程是运用函数思想解决方程问题,体现了函数的统领作用。
这部分内容要求学生掌握零点的概念(三种等价表达),零点判定定理及二分法,进一步感悟函数思想及数形结合的思想方法。
高考对该部分考查主要为,求函数的零点所在区间,判断零点的个数,已知零点求参数的取值范围等。
解决问题中要注意数形结合思想的运用。
融会贯通
题型一 确定函数零点所在的区间
典例1.
(1)(2017海口中学高一期末)方程的根所在的区间是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设,方程的根就是函数的零点,
因为是单调递增函数,且,,所以
函数的零点所在区间是,因此方程的根所在区
间是,故选B.
(2)(2017福州模拟)若a
区间( )
A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内
【答案】 A
【解析】∵f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),∴f(a)=(a-b)(a-c),
f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b),∵a0,f(b)<0,f(c)>0,
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
(3)(2017银川一中模拟)已知实数满足,则函数的零点所在的区间是()
A.B.C.D.
【答案】B
(4)(2017兰州模拟)已知函数没有零点,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设,则原函数可化为
解题技巧与方法总结
确定函数零点所在区间的方法
1.解方程法:
当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上.
2.利用函数零点的存在性定理:
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
3.数形结合法:
通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式训练】
(1)(2017嘉兴模拟)设函数y=x3与y=x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0
所在的区间是________.
【答案】 (1,2)
【解析】 设f(x)=x3-x-2,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y=x-2的图象,如图所示.
因为f
(1)=1--1=-1<0,f
(2)=8-0=7>0,所以f
(1)f
(2)<0,所以x0∈(1,2).
(2)(2017哈尔滨模拟)已知是自然对数的底数,函数的零点为,函
数的零点为,则下列不等式中成立的是()
A.B.C.D.
【答案】A
(3)(2017兰州模拟)已知,是方程的两个解,则()
A.B.C.D.
【答案】B
知识链接:
知识点1 函数的零点
1.函数零点的定义;
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.三个等价关系;
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.函数零点的判定(零点存在性定理);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,
函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0
的根.
题型二 确定函数零点的个数
典例2.
(1)(2016济南模拟)已知函数f(x)=cosx-logx,则f(x)在其定义域上零点的个数为( )
A.1B.3C.5D.7
【答案】C
【解析】令f(x)=0,得cosx=logx,画出函数y=cosx和y=logx的图象,
如图所示:
显然函数在有1个交点,在有2个交点,
∵cos3π=-1,log3π=-lg3π>-1,函数y=logx在(0,+∞)上递减,
∴两个函数在有2个交点,共5个交点,故选C.
(2)(2017石家庄一中高一期末)已知函数,则函数y=f[f(x)]﹣1的零点个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】当x≤0时,y=f[f(x)]﹣1=x+1+1﹣1=0,解得x=﹣1,当0<x≤1时,y=f[f(x)]﹣1=log2x+1﹣1=0,解得x=1,当x>1时,y=f[f(x)]﹣1=log2(log2x)﹣1=0,解得x=4,综上所述函数的零点的个数为3个,故选:
C
(3)(2017衡水金卷)设定义在区间[﹣k,k]上的函数是奇函数,且,若[x]表示不超过x的最大整数,x0是函数g(x)=lnx+2x+k﹣6的零点,则[x0]=( )
A.1B.1或2C.2D.3
【答案】C
(4)(2017武汉模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为________.
【答案】3
【解析】sgn(lnx)=故函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点有3个,分别为;e,1,.
解题技巧与方法总结
判断函数零点个数的方法
1.解方程法:
令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
2.零点存在性定理法:
利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.
3.数形结合法:
转化为两个函数的图象的交点个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
【变式训练】
(1)(2017甘肃天水一中高一期末)函数的零点的个数为()
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
两个函数的图像有两个交点,即函数有两个零点,应选答案C。
(2)(2017三明高三检测)函数f(x)=的零点个数是________.
【答案】 2
【解析】当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-∞,0]上有一个零点.
当x>0时,f′(x)=2+>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为f
(2)=-2+ln2<0,
f(3)=ln3>0,f
(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内有一个零点.综上,函数f(x)的零点个数为2.
(3)(2017石家庄一中模拟)已知函数的周期为,当时,如果
,则函数的所有零点之和为()
A.B.C.D.
【答案】A
(4)(2017届四川双流中学高三月考)记表示不超过的最大整数,如,.设函数,若方程有且仅有个实数根,则正实数的取值范围为()
A.B.
C.D.
【答案】B
知识链接:
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
必会结论
(1)若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a,b]上只有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
必知联系
(1)研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.
(2)转化思想:
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
(3)f(a)·f(b)<0是f(x)在区间(a,b)上有零点的充分不必要条件.
题型三 函数零点的应用
典例3.
(1)(2017兰州模拟)设函数,且关于的方程恰有3个不同的实数根,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】不妨设,则,
所以,因此,选D.
(2)(2017银川模拟)若函数有4个零点,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】B
(3)(2017银川一中高考模拟)已知函数的周期为,当时,
如果,则函数的所有零点之和为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由已知,在同一坐标系中分别画出函数的图象和的图象,如下图所示,
当时,为增函数,且,当时,
两个函数的图象没有交点,根据它们的图象都是关于直线
对称,结合图象知有8个交点,利用对称性,这8个交点的横坐标之和为,即所有零点之和为8.选A.
(4)(2017衡水金卷)已知是定义在上的单调函数,且对任意的,都有,则方程的解所在的区间是()
A.B.C.D.
【答案】C
解题技巧与方法总结
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
1.直接法:
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
2.分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
3.数形结合法:
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
【变式训练】
(1)(2017兰州模拟)定义;,,若有四个不同的实数解,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意可知当时,,当时,
,作出函数和的图象如下:
其中红色线为的图象,由图可知当时,直线和函数有4个不同的公共点,
故方程有四个不同的实数解,故选D.
(2)(2017镇江市高三一模)已知函数与函数的图象共有()个公共点:
,,…,,则.
【答案】2
(3)(2017衡水金卷)设是定义在上的偶函数,且时,当
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