高三数学高三数学第一轮单元练习简单多面.docx
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高三数学高三数学第一轮单元练习简单多面
2018届高三数学第一轮复习单元测试
第十二单元简单多面体
一、选择题:
1.给出下列命题:
①有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱;
②底面为正多边形的棱柱为正棱柱;
③顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱维是正棱锥;
④A、B为球面上相异的两点,则通过A、B的大圆有且公有一个。
其中正确命题的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.正四棱柱底面面积为M,对角面面积为N,其体积为()
A.B.C.D.
3.如图,一个封闭的长方体,它6个表面各标出A、B、C、D、E、F这6个字母中的1个字母,现放成下面3个不同位置,所看见的表面上的字母已标明,则字母A、B、C对面的字母分别是()
A.D、E、FB.F、D、EC.E、F、DD.E、D、F
4.已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等,那么这个圆维轴截面顶角的内接正三棱柱,则这一正三棱柱的体积是()
A.B.C.D.
5.一个圆锥和一具半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是()
A.B.C.D.
6.如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,,则该多面体的体积为()
A.B.C.D.
7.长方体的一个顶点上三条棱的长分别为a、b、c,若长方体所有棱的长度之和为24,一条对角线长度为5,体积为2,则等于()
A.B.C.D
8.不共面的三条直线互相平行,点A在上,点B在上,CD两点在上,CD两点在,则三棱锥A-BCD的体积()
A.由A点的变化而变化B.由B点的变化而变化
C.有最大值,无最小值D.为定值
9.已知棱长为1的正方形容器中,在的中点E、F、G处各开有一个小孔,若此容器可以任意放置,则装水较多的容积是(不计小孔面积对容积的影响)()
A.B.C.D.
10.如图所示,在斜三棱柱中,分别为侧棱上的点,且知=3:
2,过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比为2:
1,则等于()
A.1:
1B.3:
2C.2:
3D.4:
3
11.如图,在正三棱维P-ABC中,M、N分别是侧棱PB、PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则截面AMN与底面ABC所成二面角的正弦值为()
A.B.C.D.
12.若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是()
A.B.C.D.
二.填空题:
13.正八面体的棱长为a,则它的对角线为。
14.(理)如图,在直三棱柱中,,E、F分别为的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为。
(文)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且,则PA与底面ABC所成的角为。
15.如图,一个底面半径为R的圆柱量杯中,装有适量的水,若放入一个半径为的实心球,水面恰好升高,则=。
16.在平面几何里,有勾股定理:
“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:
“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则”,请写出一结论。
三.解答题:
17.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面BEFG所截而得到的。
其中AB=4,BC=1,AE=3,DF=4。
⑴求异面直线EF与BC所成的角;
⑵求截面与底面所成二面角的正切值;
18.(理)如图,在三棱锥P-ABC中,,,点O、D分别是AC、PC的中点,底面ABC。
⑴求证:
OD平面PAB;
⑵当时,直线PA与平面PBC所成角的大小;
⑶当为何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?
(文)如图,在三棱锥P-ABC中,,点O、D分别是AC、PC的中点,底面ABC,
⑴求证:
CD平面PAB;
⑵求直线OD与平面PBC所成角的大小。
19.如图,三棱锥P-ABC中,底面ABC,,以PA的直径的球和PB、PC分别交于,求两点的球面距离。
20.正方形ABCD边长为4,点E是边CD上的一点,将△AED沿AE折起到AED的位置时,有平面平面ABCE且
⑴判断并证明点E的具体位置;
⑵求点到平面ABCE的距离。
21.如图,正四棱柱中,底面的边长为,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点,
⑴求证:
平面平面;
⑵求点到平面的距离d;
⑶求三棱维的体积V。
22.如图,甲、乙是边长为4a的两块正方形钢块,现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥,使它们的全面积等于一个正方形的面积(不计焊接缝的面积)
(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要的说明;
(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小,并证明你的结论。
十二、简单多面体参考答案
一、选择题:
1.A2.C3.D4.A5.C6.B7.A8.D9.B10.C11.A12.D
二、填空题:
13.14.(理)(文)15.
16.
三、解答题:
17.
(1)过E作交DF于H点,,,又EH=BC=1=FH,,即EF与BC所成的角为。
(2)由已知得EFGB为平行四边形,,延长FG、DC相交于N,连结BN。
过C作于M,连结GM,则为所求二面角的平面角。
在中,
18.(理)
(1)∵点O、D分别为AC、PC的中点,,又
平面PAB,平面PAB,
(2),又底面ABC,
,取BC的中点E,连结OE、PE,
则平面POE,过O作于F点,连结DF,
则面PBC,为OD与平面PBC所成的角,
又与平面PBC所成角的大小等于,
在中,,与平面PBC所成的角为。
(3)由
(2)知,平面PBC,为点O在面PBC内的射影,是PC的中点,若点F是的重心,则B、F、D三点共线,在面PBC内的射影为直线BD,
,即K=1。
反之,当K=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,在平面PBC内的射影为的重心。
(文)同理
(1)和
(2)。
19.连结为直径,,在中,,又,同理;
又,设球心为O,连结,在中,
,
。
20.
(1)如图,连结AC、BD交于点O,再连,由,且平面平面ABCE,并且交AC,平面,故,又平面,即得,在中,由于,
由,,即E为边CD的中点。
(2)取OC的中点为M,连结,则,得平面,即,
又因为,则,又,且面,则,在中,,过作于H点,则平面ABCE,由于,即得点到平面ABCE的距离。
21.
(1)连结AC,∵正四棱柱的底面是正方形,,又面ABCD,面,又∵E、F分别是AB、BC的中点,面,故平面平面。
(2)在面中作于点H,由
(1)知面,∴线段的长即为所求,在中,,又,
;
(3)。
22.
(1)将正方形甲按图中虚线剪开,以两个正方形为底面,四个长方形为侧面,焊接成一个底面边长为2a,高为a的正四棱柱。
将正方形乙按图中虚线剪开,以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面,三个等腰三角形为侧面,两个直角三角形合拼成为一个侧面,焊接成一个底面边长为2a,斜高为3a的正四棱锥。
乙
甲
(2)∵正四棱柱的底面边长为2a,高为a,∴其体积为V柱=,
又∵正四棱锥的底面边长为2a,高长=,
∴其体积为V锥=,
,即,
,即V柱>V锥
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。
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