第1章 集合 原卷Word下载.docx
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5.如果两个集合所含的元素相同(即A中的元素都是B中的元素,B中的元素都是A中的元素),那么称两个集合相等.
想一想:
1.集合{0}是空集吗?
集合{∅}是空集吗?
2.集合中元素的确定性,互异性和无序性的含义是什么?
【名师点睛】
1.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性,其中互异性是重点,在求解集合中字母的取值时,一定要检验它是否满足集合中元素的互异性.
2.集合的描述法就是通过概括集合中所有元素具有的共同特征的方式来表示集合的方法,它的一般形式为{x|p(x)},其中p(x)表示元素x应满足的性质(共同特征).
3.认识一个集合,首先要分清集合的表示法,其次是对描述法中代表元素的理解,另外,在不引起混淆的情况下,为了方便,有些集合用描述法表示时,可省去竖线及其代表元素,比如整数构成的集合可写成{整数},但不能写成{整数集}或{所有整数}等.
题型一:
有关集合的概念及元素的特性
【例1】已知A={a-1,2a2+5a+1,a2+1},且-2∈A,求a的值.
【训练1】已知x2∈{1,0,x},求实数x的值.
题型二:
元素与集合的关系
【例2】已知集合M={x|x=a+b
,a,b∈Z},判断下列对象是否是集合M中的元素,并说明理由.
(1)x=x1+x2,x1,x2∈M;
(2)x′=x1x2,x1,x2∈M.
【训练2】已知集合M={x|x=a2-b2,a,b∈Z},求证:
(1)若k∈Z,则2k+1∈M;
(2)若p、q∈M,则pq∈M.
题型三:
综合与创新题
【例3】已知集合A={x|kx2-3x+2=0}.
(1)若A无元素,求实数k的取值范围;
(2)若A是单元素集,求k的值及集合A.
【训练3】已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
【误区警示】对集合中的参数理解不透,导致错误
【示例】设A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z}.a∈A,b∈B,则下列判断:
①a+b∉A;
②a+b∈B;
③a+b∈C.其中正确的是________.
1.2子集、全集、补集
1.理解集合之间包含关系的意义.
2.理解子集和真子集的概念.
3.了解全集与空集的意义,理解补集的概念.
1.能识别给定集合的子集、求给定集合的一个子集的补集.(重点)
2.会求给定集合的一个子集的补集.(难点)
1.如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或B⊇A,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.如果A⊆B,并且A≠B,则称集合A是集合B的真子集,记为AB或BA,读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
2.设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记为∁SA(读作“A在S中的补集”),即∁SA={x|x∈S,且x∉A}.如果集合S包含我们所要研究的各个集合,这时S可以看做一个全集,全集通常记作U.集合A相对于全集U的补集用Venn图表示如右图所示.
试一试:
补集有哪些主要性质?
1.A⊆B等价于对任意x∈A,都有x∈B;
AB等价于A⊆B,且至少存在一元素y∈B且y∉A.特别地,若A⊆B,且B⊆A,则A=B,这是证明两个集合相等的依据.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此,在处理A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况.
3.全集是相对于研究的问题而言的,如只在整数范围内研究,则Z为全集,而当问题扩展到实数时,则R为全集.补集是相对于全集而言的,同一集合相对于不同的全集的补集也不同.
子集与真子集
【例1】已知集合A{1,2,3,4},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有________个.
【训练1】满足{1}M⊆{1,2,3,4}时集合M的个数是________个.
有关全集、补集的问题
【例2】设U={x|2<|x|≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},求∁UA,∁UB.
【训练2】设全集I={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},∁IA={5},求实数a的值.
子集、全集、补集的综合问题
【例3】已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2}.
(1)若A⊆∁RB,求实数a的取值范围.
(2)若B⊆A,问∁RA⊆∁RB是否成立?
【训练3】全集U=R,若集合A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7},则
(1)求∁UA,∁UB;
(2)若集合C={x|x>a},A⊆C,求a的取值范围.
【方法技巧】“正难则反”的补集思想的运用
“正难则反”的策略是指当某一问题从正面解决较困难时,我们可以从其反面入手解决,这种“正难则反”的策略运用的正是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求∁UA,再由∁U(∁UA)=A求A,这也是转化思想的一种体现.
【示例】设集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2-4x+a=0,a为常数},若BA,求实数a的取值范围.
1.3交集、并集
第1课时交集、并集
1.理解两个集合的并集与交集的含义.2.会用Venn图表示集合的关系及运算.
1.会求两个简单集合的并集与交集.(重点)2.理解区间的表示方法.(难点)
1.集合A与B的交集是指由所有.的元素构成的集合,记作A∩B,即A∩B=.
2.集合A与B的并集是指由所有.的元素构成的集合,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3.集合A与B的交集与并集满足A∩BB∩A,A∩∅=;
A∪BB∪A,A∪∅=.
两个非空集合的交集一定是非空集合吗?
1.A与B的交集不能简单地认为是A与B的公共元素组成的集合,如果没有元素“属于A且属于B”,不能说A与B没有交集,而是A∩B=∅.
2.交集定义中的“所有”两字不能忽视,否则容易出错;
定义中的“且”的含义是A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素,因此,A∩B是A与B的公共子集.
3.A与B的并集不是简单地把A与B的元素放在一起,它必须满足集合应具备的特征,尤其是集合元素的互异性.
4.并集定义中的“或”包括三种情况:
即x∈A且x∉B;
x∈B,且x∉A;
x∈A且x∈B,因此它和我们平时对“或”的认识意义是不尽相同的,并有A∩B⊆A∪B.
交集与并集的运算
【例1】
(1)若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},求A∩B.
(2)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3},求M∪N.
【训练1】设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},求A∪B,A∩B.
利用集合的交与并求字母的取值集合
【例2】已知集合A={x|x2-ax+a-1=0},B={x|x2+bx+1=0},若A∩B={-1},求a,b的取值集合和集合A∪B.
【训练2】已知集合A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+12=0},若A∪B=B,A∩B={3},求实数a,b,c的值.
由集合的运算求参数
【例3】设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A∩B=B,求a的值;
(2)若A∪B=B,求a的值.
【训练3】
(1)已知集合A=[-2,5],B=[2m-1,2m+1],若A∪B=A,求实数m的取值范围.
(2)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx-1=0},且A∩B=B.求由实数m构成的集合M.
【误区警示】忽视A∩B=∅中A或B可能为空集而出错
【示例】已知集合A={x|x2+x+a=0},且A∩R+=∅,求实数a的取值范围.
第2课时 交集、并集的运算
熟练掌握集合的交、并、补的运算.
1.数形结合理解集合的关系及基本运算.(重点)2.并集与交集的综合运用.(难点)
1.交集的性质:
A∩B⊆,A∩B⊆;
A∩B=A⇔.
2.并集的性质:
A⊆,B⊆;
A∪B=A⇔B⊆A.
3.交并补的性质:
A∩(∁UA)=,A∪(∁UA)=.
4.实数集的区间表示:
{x|a≤x≤b}=,{x|a≤x<
b}=,{x|a<
x≤b}=;
R=(-∞,+∞),{x|x≤a}=(-∞,a],{x|x<
a}=,{x|x≥a}=,{x|x>
a}=.
1.将图中阴影部分用集合A、B、C的运算表示.
2.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A,这是两个等价关系,它的含义是什么?
利用Venn图理解集合运算性质是数形结合思想在集合中的重要应用.例如
1.利用Venn图表示交集(图中阴影部分表示集合A∩B),得
A∩B A∩B=∅ A⊆B A=B
利用Venn图表示并集(图中阴影部分表示集合A∪B),得:
A∪B A∩B=∅ A⊆B B⊆A A=B
2.利用Venn图还可以验证关系∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)
集合的交、并运算
【例1】设集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若A∩B={9},求A∪B.
【训练1】已知集合A={x|x2+(a-1)x-a=0},B={x|x2-(a2-2a-1)x-a2+2a=0},求实数a的值,使A∩B=A.
集合运算性质的简单应用
【例2】已知集合A={x|x2-(4m+6)x+4m2=0},B={0,
,
,6},若A∩B=A,求m的取值范围.
【训练2】已知集合A={x|a<
x≤2a+1},B={x|2<
x≤3}.
(1)若A∩B=B,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得A∪B=B?
若存在,求出a的取值范围;
若不存在,说明理由.
集合交与并的应用性问题
【例3】向50名学生调查对A,B两事件的态度,有如下结果:
赞成A的人数是全体人数的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成,另外,对A,B都不赞成的学生比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1人,求对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人.
【训练3】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人.
【误区警示】 因忽视空集而出错
【示例】已知集合A={x|x2+ax-6=0},B={x|bx+2=0},且A∪B={-2,3},求a和b值及A∩B.
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- 第1章 集合 原卷
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