3 共点力作用下物体的平衡Word文档下载推荐.docx

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当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法。

【例1】

（1）下列哪组力作用在物体上，有可能使物体处于平衡状态

A．3N，4N，8NB．3N，5N，1N

C．4N，7N，8ND．7N，9N，6N

（2）用手施水平力将物体压在竖直墙壁上，在物体始终保持静止的情况下A．压力加大，物体受的静摩擦力也加大

B．压力减小，物体受的静摩擦力也减小

C．物体所受静摩擦力为定值，与压力大小无关

D．不论物体的压力改变与否，它受到的静摩擦力总等于重力

（3）如下图所示，木块在水平桌面上，受水平力F1=10N，F2=3N而静止，当撤去F1后，木块仍静止，则此时木块受的合力为

A．0B．水平向右，3N

C．水平向左，7ND．水平向右，7N

解析：

（1）CD在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0。

只有CD两个选项中的三个力合力为零。

（2）CD物体始终保持静止，即是指物体一直处于平衡状态，则据共点力作用下物体的平衡条件有

对物体受力分析，如下图

可得F=FN，Ff=G

（3）A撤去F1后，木块仍静止，则此时木块仍处于平衡状态，故木块受的合力为0．

【例2】氢气球重10N，空气对它的浮力为16N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°

角，则绳子的拉力大小是__________，水平风力的大小是________.

气球受到四个力的作用：

重力G、浮力F1、水平风力F2和绳的拉力F3，如图所示由平衡条件可得

F1=G+F3cos30°

F2=F3sin30°

解得F3=

NF1=2

N

答案：

4

N2

N

三、综合应用举例

1．静平衡问题的分析方法

【例3】

（2003年理综）如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°

。

两小球的质量比

为

A．

B．

C．

D．

此题设计巧妙，考查分析综合能力和运用数学处理物理问题的能力，要求考生对于给出的具体事例，选择小球m1为对象，分析它处于平衡状态，再用几何图形处理问题，从而得出结论。

小球受重力m1g、绳拉力F2=m2g和支持力F1的作用而平衡。

如图乙所示，由平衡条件得，F1=F2，

，得

故选项A正确。

2．动态平衡类问题的分析方法

【例4】重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？

解：

由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。

应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；

F1的方向不变；

F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°

过程，F2矢量也逆时针转动90°

，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。

（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）

力的图解法是解决动态平衡类问题的常用分析方法。

这种方法的优点是形象直观。

【例5】如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º

AB连线与OB垂直。

若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？

【解析】小球A电量加倍后，球B仍受重力G、绳的拉力T、库伦力F，但三力的方向已不再具有特殊的几何关系。

若用正交分解法，设角度，列方程，很难有结果。

此时应改变思路，并比较两个平衡状态之间有无必然联系。

于是变正交分解为力的合成，注意观察，不难发现：

AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：

AO/G=OB/T。

说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。

由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：

T=Gcos30º

球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30º

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

3．平衡问题中的极值分析

【例6】跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上（如图l—4－3（甲）所示），已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ（μ<

tanθ），滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围。

先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力T的作用，根据平衡条件有：

T=mBg①

再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图（乙）所示，根据平衡条件有：

N-mgcosθ＝0②

T-fm-mgsinθ＝0③

由摩擦力公式知：

fm=μN④

以上四式联立解得mB=m（sinθ＋μcosθ）

再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：

N-mgcosθ=0⑤

T＋fm-mgsinθ=0⑥

fm=μN⑦

①⑤⑥⑦四式联立解得mB=m（sinθ-μcosθ）

综上所述，物体B的质量的取值范围是：

m（sinθ-μcosθ）≤mB≤m（sinθ＋μcosθ）

【例7】用与竖直方向成α=30°

斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。

求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°

斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

当

时，f=0；

时，

，方向竖直向下；

，方向竖直向上。

静摩擦力是被动力，其大小和方向均随外力的改变而改变，因此，在解决这类问题时，思维要灵活，思考要全面。

否则，很容易造成漏解或错解。

4．整体法与隔离法的应用

【例8】有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑。

AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。

现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是

A．FN不变，f变大B．FN不变，f变小C．FN变大，f变大D．FN变大，f变小

以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；

以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。

再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。

答案选B。

正确选取研究对象，可以使复杂的问题简单化，整体法是力学中经常用到的一种方法。

【例9】如图1所示，甲、乙两个带电小球的质量均为m，所带电量分别为q和-q，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时细线都被拉紧．

（1）平衡时可能位置是图1中的（）

（2）1、2两根绝缘细线的拉力大小分别为（）

，

C．

（1）若完全用隔离法分析，那么很难通过对甲球的分析来确定上边细绳的位置，好像A、B、C都是可能的，只有D不可能．用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力2mg，水平向左的电场力qE（甲受到的）、水平向右的电场力qE（乙受到的）和上边细绳的拉力；

两电场力相互抵消，则绳1的拉力一定与重力（2mg）等大反向，即绳1一定竖直，显然只有A、D可能对．

再用隔离法，分析乙球受力的情况．乙球受到向下的重力mg，水平向右的电场力qE，绳2的拉力F2，甲对乙的吸引力F引．要使得乙球平衡，绳2必须倾斜，如图2所示．故应选A．

（2）由上面用整体法的分析，绳1对甲的拉力F1=2mg．由乙球的受力图可知

因此有

应选D

若研究对象由多个物体组成，首先考虑运用整体法，这样受力情况比较简单，在本题中，马上可以判断绳子1是竖直的；

但整体法并不能求出系统内物体间的相互作用力，故此时需要使用隔离法，所以整体法和隔离法常常交替使用．

5．“稳态速度”类问题中的平衡

【例10】

（2003年江苏）当物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的稳态速度。

已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力f=krv，k是比例系数。

对于常温下的空气，比例系数k=3.4×

10-4Ns/m2。

已知水的密度

kg/m3，重力加速度为

m/s2。

求半径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的稳态速度。

（结果保留两位有效数字）

雨滴下落时受两个力作用：

重力，方向向下；

空气阻力，方向向上。

当雨滴达到稳态速度后，加速度为0，二力平衡，用m表示雨滴质量，有mg-krv=0，

，求得

，v=1.2m/s。

此题的关键就是雨滴达到“稳态速度”时，处于平衡状态。

找到此条件，题目就可以迎刃而解了。

6．绳中张力问题的求解

【例11】重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。

静止时绳两端的切线方向与天花板成α角。

求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2。

F2

以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A、C、P点），但它们必为共点力。

设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作图可得：

附：

知识要点梳理阅读课本理解和完善下列知识要点

物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的或者它们的作用线交于，这几个力叫共点力。

2．平衡状态：

一个物体在共点力作用下，如果保持或运动，则该物体处于平衡状态．

3．平衡条件：

物体所受合外力．其数学表达式为：

F合＝或Fx合=Fy合=，其中Fx合为物体在x轴方向上所受的合外力，Fy合为物体在y轴方向上所受的合外力．

4．力的平衡：

作用在物体上的几个力的合力为零，这种情形叫做。

若物体受到两个力的作用处于平衡状态，则这两个力．

若物体受到三个力的作用处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力．

针对训练

1．把重20N的物体放在倾角为30°

的粗糙斜面上，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，如图所示，若物体与斜面间的最大静摩擦力为12N，则弹簧的弹力为（）

A．可以是22N，方向沿斜面向上

B．可以是2N．方向沿斜面向上

C．可以是2N，方向沿斜面向下

D．可能为零

2两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连，A静止于水平地面上，如图所示，不计摩擦力，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为（）

A．mg，（M－m）g

B．mg，Mg

C．（M－m）g，Mg

D．（M+m）g，（M－m）g

3如图所示，当倾角为45°

时物体m处于静止状态，当倾角θ再增大一些，物体m仍然静止（绳子质量、滑轮摩擦不计）下列说法正确的是（）

A．绳子受的拉力增大

B．物林m对斜面的正压力减小

C．物体m受到的静摩擦力可能增大

D．物体m受到的静摩擦力可能减小

4．如图所示，两光滑硬杆AOB成θ角，在两杆上各套上轻环P、Q，两环用细绳相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q，当两环稳定时细绳拉力为（）

A．Fsinθ

B．F/sinθ

C．Fcosθ

D．F/cosθ

5．如图所示，一个本块A放在长木板B上，长木板B放在水平地面上．在恒力F作用下，长木板B以速度v匀速运动，水平弹簧秤的示数为T．下列关于摩擦力的说法正确的是（）

A．木块A受到的滑动摩擦力的大小等于T

B．木块A受到的静摩擦力的大小等于T

C．若长木板B以2v的速度匀速运动时，木块A受到的摩擦力大小等于2T

D．若用2F的力作用在长木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于T

6．如图所示，玻璃管内活塞P下方封闭着空气，P上有细线系住，线上端悬于O点，P的上方有高h的水银柱，如不计水银、活塞P与玻璃管的摩擦，大气压强为p0保持不变，则当气体温度升高时（水银不溢出）（）

A．管内空气压强恒为（p0十ρgh）（ρ为水银密度）

B．管内空气压强将升高

C．细线上的拉力将减小

D．玻璃管位置降低

7．如图（甲）所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点．另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍。

图（乙）所示为一质量可忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略，现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？

8．长L的绳子，一端拴着半径为r，重为G的球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面的A点上，如图所示，试求绳子中的张力

参考答案：

1．ABCD2．A3．BCD4．B5．AD6．D

7．

8．

参考文章

例谈物体的动态平衡

物体的动态平衡是指物体在运动中的平衡。

它是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化，在此过程中，物体始终处于一系列的动态平衡状态。

这类问题具有一定的综合性和求解的灵活性，可以充分考查学生分析问题、解决问题的能力。

本文以实例对这类问题进行讨论。

一、函数法

例1：

一盏电灯重为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA偏离竖直方向的夹角为β=300，如图1（a）所示。

现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的交角α等于多少？

最小拉力是多少？

在电线OA、OC以及绳OB三个力的作用下，结点O处于平衡状态。

当α角发生改变时，因β角保持不变，所以重物始终处于动态平衡，结点O受电线OC的拉力TC大小为G，方向保持不变。

任选一状态受力分析如图1（b）所示，据三力平衡特点可知：

OA、OB对O点的作用力TA、TB的合力T与TC等大反向，即：

T=TC=G………………………………①

在△OTBT中，∠TOTB=900-α，又

∠OTTB=∠TOA=β，故∠OTBT=1800-（900-α）-β=900+α-β。

由正弦定理得：

…………②

联立①②解得：

因β不变，故当α=β=300时，TB最小，且TB=Gsinβ=G/2。

本题通过对研究对象的任一状态受力分析，找出了应变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量的变化情况来讨论应变量变化。

这种方法在讨论动态平衡问题中具有普遍性。

二、图解法

例2：

重为G的物体系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形的支架BAD上，如图2（a）所示，若固定A端的位置，将OB绳子的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置C的过程中，则以下说法正确的是（）（94全国高考题）

A、OB绳上的拉力先增大后减小

B、OB绳上的拉力先减小后增大

C、OA绳上的拉力先减小后增大

D、OA绳上的拉力一直逐渐减小

选结点O为研究对象，结点O受到重物的拉力T，OA绳子的拉力TA，OB绳子的拉力TB三个力的作用。

在OB缓慢上移的过程中，结点O始终处于动态平衡状态，即三力的合力为零。

将拉力T分解如图2（b）所示，OA的绳子固定，则TA的方向不变，在OB向上靠近OC的过程中，选B1、B2、B3三个位置，两绳受到的拉力分别为TA1和TB1、TA2和TB2、TA3和TB3。

从受力图上可以得到：

TA是一直在逐渐减小，而TB却是先变小后增大，当OB和OA垂直时TB最小。

故答案是B、D。

这类平衡问题是一个物体受到三个力（或可等效为三个力）而平衡，这三个力的特点：

其中一个力的大小和方向是确定的，另一个力方向始终不改变，第三个力的大小和方向都可改变。

运用图解法处理问题，显得直观、简捷，思路明了，有助于提高思维能力，简化解题过程。

三、整体与隔离法

例3：

有一个支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有一个小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图3（a）所示。

现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是（）（98上海高考题）

A、N不变，T变大B、N不变，T变小

C、N变小，T变大D、N变大，T变小

先用整体法，将P环和Q环看作一个整体。

整体受到两个环的重力G=2mg，OA杆的支持力N和摩擦力f，OB杆的支持力F。

如图3（b）所示。

由共点力平衡易知N=G=2mg，大小不变。

再用隔离法，将Q环单独隔离出来分析，Q环受到重力G1=mg，OB杆的支持力F和绳子的拉力T，如图3（c）所示。

仔细分析发现，Q环受力满足图解法受力特点，由图解法易知T变小。

故答案是B。

整体法是将两个或者两个以上的物体作为一个整体进行分析的方法。

隔离法是将某个物体单独隔离出来进行分析的方法。

对于大多数静力学问题，单纯采用某一种方法并不一定能解决，通常是两者相结合使用。

四、相似三角形法

例4：

如图4所示，在半径为R的光滑半球面正上方距球心h处悬挂一定滑轮，重为G的小球A用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。

人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，试分析半球对小球的支持力N和绳子拉力F如何变化。

小球在重力G，球面的支持力N，绳子的拉力F作用下，处于动态平衡。

任选一状态，受力如图4所示。

不难看出，力三角形ΔFAG’与几何关系三角形ΔBAO相似，从而有：

（其中G’与G等大，L为绳子AB的长度）

由于在拉动过程中，R、h不变，绳长L在减小，

可见：

球面的支持力

大小不变，

绳子的拉力

在减小。

本题是利用数学几何的有关知识来解题。

若题目中出现有关的几何边角关系，在画出力合成与分解的示意图后，要注意有关相似三角形或者直角三角形的知识的运用。

五、力矩法

例5：

重物G由三段细绳OA、OB、OC共同悬挂，如图5所示，其中OB是水平的，长为L，B端固定，若在悬点A逐渐上移且保持O点不动的过程中，OA绳子的张力大小将如何变化。

在OA慢上移的过程中，结点O始终处于动态平衡状态，即三力的合力为零。

由于B点不动，以B为为轴，分析受力如图所示。

TB的力矩为零，拉力T的力矩为恒量MT=G·

L，设力臂为LA，TA的力矩为：

MTA=TA·

LA，列力矩方程：

G·

L=TA·

LA

由图可知，A点逐渐上移的过程中，力臂LA逐渐增大，L1<

L2<

L3，所以，TA逐渐减小。

本题还可以利用其他的方法求解，这里运用力矩平衡关系求解，只是取一个抛砖引玉的作用，因为力矩平衡关系是解决平衡问题的一种手段，有时利用力矩法求解显得更加简洁。

总之，在解决实际的动态平衡问题时，要灵活地选取不同的方法去求解，以期达到最佳效果。