函数图像过定点问题.docx

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函数图像过定点问题

函数图像过定点的研究

题1：

求证：

拋物线y=（3—k）x2+（k—2）x+2k—1（k丰3）过定点，并求出定点的坐标.

归纳：

第一步：

对含有变系数的项集中；

第二步：

然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积

的形式；

第三步：

令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程（这时系数如何变化，都“失效”了）；

第四步：

解此方程，得到x的值xO（定点的横坐标），将它代入原函数式（也可以是其变式），即得到一个y的值yo（定点的纵坐标），于是，函数图象一定过定点（xo，yo）；第五步：

反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．

题2：

（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总

过的点是（）

A.（1，3）B.（1，0）C.（—1，3）D.（—1，0）

巩固练习：

1无论m为何实数，二次函数y=x2-（2-mx+m的图象总是过定点（）

A.（1，3）B.（1，0）C.（-1，3）D.（-1，0）

2.对于关于x的二次函数y=ax2-（2a-1）x-1（a^0），下列说法正确的有（）

1无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定

点，且两定点之间的距离为:

■:

;③当a>0时，函数在xv1时，y随x的增大而减小；④当

av0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2

3.（2012?

鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx-2mx+3（m^0）的图象发现，随

着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两

个定点，请你写出这两个定点的坐标：

.

4.某数学小组研究二次函救y=mx-3mx+2（m^0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函

数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出这两个

定点的坐标：

.

5.（2009?

宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b-c=2,则这个函数的图象一定经过某一个

定点，这个定点是.

6.无论m为何实数，二次函数y=x2-（2-m）x+m的图象总是过定点.

7.已知一个二次函数具有性质

（1）图象不经过三、四象限；

（2）点（2，1）在函数的图象

上;（3）当x>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函

数解析式：

.

8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3）图像过定点，求出该定点坐标

9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2-6x+1（m是常数）.

⑴求证：

不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点;

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.

2

nm

10.已知二次函数的顶点坐标为（-昭町，-昭门），与y轴的交点为（0,n-m,其顶点恰

1

好在直线y=x+-（1-m）上（其中mn为正数）.

2

（1）求证：

此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）在x轴上是否存在这样的定点：

不论mn如何变化，二次函数的图象总通过此定点？

若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.

25.（木题满分14分）

己知二次函数y=ax2-\-bx-\~l—1r?

<0,

（1）当f口一2吋，

1若函数图象经过点（b-4）,（-b0）,求gB的值；

2若2a—b=X对于任总不为零的实数小是否存在一条直线仗十p"工0人始终

与函数图象交于不同的两点？

若存在.求出该瓦线的表达式：

若不仔住，试说明理由.

（2）若点/（—Lf），B（叫t—n）（m>0rn>0>足函数图象上的两点，且汕商=如一2人当一10W用时，点/址该函数13彖的最百点，求扭的取值范隔.

函数图像过定点的研究

题1:

求证拋物线尸（3-k）x2+（k-2）x+2k—1（k丰3）过定点，并求出定点的坐标.

审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决

定的，例如，直线y=kx+b（k丰0），当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点（0,b）;物线线y=ax2+bx+c（a工0），当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点（o，c）.本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变

量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标.

解：

整理抛物线的解析式，得

y=（3-k）x2+（k-2）x+2k-1

=3x2-2x-1-kx2+kx+2k

=3x2-2x-1-k（x2-x-2）（k工3），

上式中令x—x—2=0，得X1=-1，X2=2.

将它们分别代入y=3x2-2x-1-k（x2-x-2），

解得y1=4，y2=7，

22

把点（一1,4）、（2，7）分别代入y=3x-2x-1-k（x-x-2），

无论k取何值，等式总成立，

即点（-1,4）、（2，7）总在抛物线y=（3-k）x2+（k-2）x+2k-1（k工3）上,

即拋物线y=（3-k）x2+（k-2）x+2k-1（k工3）过定点（-1,4）、（2，7）.

归纳：

第一步：

对含有变系数的项集中；

第二步：

然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积

的形式；

第三步：

令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程（这时系数如何变化，都“失效”了）；

第四步：

解此方程，得到x的值x0（定点的横坐标），将它代入原函数式（也可以是其变式），即得到一个y

的值y0（定点的纵坐标），于是，函数图象一定过定点（X。

，y。

）;

第五步：

反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤.

题2：

（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数

的图像总过的点是（）

A.（1,3）B.（1,0）

C.（-1,3）D.（-1,0）

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解法一、特殊值法

可见这是一个抛物线群。

如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。

解：

任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2

则函数解析式变为：

联立方程组

中，无论m为何值，等式总成立。

所以，抛物线群

故应选A

解法二、变换主元法

依据：

一元一次方程

中所有的抛物线恒经过定点（1，3）

的解有三种情形：

（1）当aM0时，方程有惟一解：

；

（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；

（3）当a=0,bM0时，方程无解。

这里所求定点坐标与m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b（a、b为含x、y的代数式）中，a=b=0时的情形。

解：

将其二次函数整理变形为：

令

所以，无论m为何值时，（1,3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1,3）

故应选A

巩固练习：

1•无论m为何实数，二次函数y=x2-（2-m）x+m的图象总是过定点（）

A.（1，3）B.（1，0）C.（-1，3）D.（-1，0）

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2.对于关于x的二次函数y=ax2-（2a-1）x-1（a^0）,下列说法正确的有（

①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定

点，且两定点之间的距离为：

；

3当a>0时，函数在xv1时，y随x的增大而减小；④当av0时，函数图象截x轴

所得的线段长度必大于2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2012?

鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx-2mx+3（0）的图象发现，随

着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：

.

4.某数学小组研究二次函救y=mx-3mx+2（m^0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函

数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出这两个定点的坐标：

.

5.（2009?

宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b-c=2,则这个函数的图象一定经过某一个

定点，这个定点是.

2、,

6.无论m为何实数，二次函数y=x-（2-m）x+m的图象总是过定点.

7.已知一个二次函数具有性质

（1）图象不经过三、四象限；

（2）点（2，1）在函数的图象上;（3）当x>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：

.

8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3）图像过定点，求出该定点坐标

9.已知函数y=mx2—6x+1（m是常数）.

⑴求证：

不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.

解：

⑴当x=0时，y1.

所以不论m为何值，函数ymx26x1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）.

⑵①当m0时，函数y6x1的图象与x轴只有一个交点；

②当m0时，若函数ymx26x1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx26x10有两个相等

的实数根，所以（6）24m0，m9.

综上，若函数ymx26x1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.11.已知二次函数的10.顶点坐标为（-时“，-时门），与y轴的交点为（0,n-m,其顶点恰好在直线y=x42：

（1-m）上（其中mn为正数）.

（1）求证：

此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）在x轴上是否存在这样的定点：

不论mn如何变化，二次函数的图象总通过此定点？

若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.

分析：

1in2

（1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+丄（1-m）得-」-+丄（1-m）=-迺一，整理后利用因式分解

2nrl-n2nr+n

得到（m-n）（m+1）=0，则m=n或m=-1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（-丄，-£），与y轴

22

的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向

上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）由

（1）得到抛物线的对称轴为直线x=-二，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），利用对称性

2

得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）

（1）证明：

把（-」，

2

-）

代入

y=x+二（1-m）得-

12+_（1-m）=-，

nd-n

m+n

\2

m+ri|2rrr+n

整理得m2-mn+m-n=0，

'/（m-n）（m+1）=0，

--m=n或m-1（舍去），

•••二次函数的顶点坐标为（-

1

-丄）,

与y轴的交点为（

0，0），

2

2

•••m为正数，

••