贵阳专用中考数学总复习第二部分热点专题解读专题六函数的综合探究针对训练.docx
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贵阳专用中考数学总复习第二部分热点专题解读专题六函数的综合探究针对训练
第二部分 专题六
1.如图,直线y=-x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.
(1)求a,b的值及反比例函数的解析式;
(2)若点P在直线y=-x+2上,且S△ACP=S△BDP,请求出此时点P的坐标;
(3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得△MAB为等腰三角形?
若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,说明理由.
解:
(1)∵直线y=-x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点,
∴-a+2=3,-3+2=b,解得a=-1,b=-1,
∴A(-1,3),B(3,-1).
∵点A(-1,3)在反比例函数y=图象上,
∴k=-1×3=-3,
∴反比例函数的解析式为y=-.
(2)设点P(n,-n+2).
∵A(-1,3),∴C(-1,0).
∵B(3,-1),∴D(3,0).
∴S△ACP=AC·|xP-xA|=×3·|n+1|,
S△BDP=BD·|xB-xP|=×1·|3-n|.
∵S△ACP=S△BDP,∴×3·|n+1|=×1·|3-n|,
解得n=0或n=-3,∴P(0,2)或(-3,5).
(3)存在.设M(m,0)(m>0),
∵A(-1,3),B(3,-1),∴MA2=(m+1)2+9,MB2=(m-3)2+1,AB2=32,
∵△MAB是等腰三角形,∴①当MA=MB时,
∴(m+1)2+9=(m-3)2+1,∴m=0(舍);
②当MA=AB时,∴(m+1)2+9=32,
∴m=-1+或m=-1-(舍),
∴M(-1+,0);
③当MB=AB时,(m-3)2+1=32,
∴m=3+或m=3-(舍),
∴M(3+,0).
则满足条件的M(-1+,0)或(3+,0).
2.如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A,交y轴于C点,双曲线y=也经过A点,连接BC.
(1)求k的值;
(2)判断△ABC的形状,并求出它的面积;
(3)若点P为x正半轴上一动点,在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M,使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)如答图1,过点A分别作AQ⊥y轴于Q点,AN⊥x轴于N点.
答图1
∵△AOB是等腰直角三角形,
∴AQ=AN.
设点A的坐标为(a,a),
∵点A在直线y=3x-4上,
∴a=3a-4,解得a=2,
则点A的坐标为(2,2).
∵双曲线y=也经过A点,∴k=4.
(2)由
(1)知,A(2,2),∴B(4,0).
∵直线y=3x-4与y轴的交点为C,∴C(0,-4),
∴AB2+BC2=(4-2)2+22+42+(-4)2=40,
AC2=22+(2+4)2=40,∴AB2+BC2=AC2,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,∴S△ABC=AB·BC=×2×4=8.
(3)存在.如答图2,假设双曲线上存在一点M,使得△PAM是等腰直角三角形.
答图2
∴∠PAM=90°=∠OAB,
AP=AM,连接BM.∵k=4,
∴反比例函数的解析式为y=.
∵∠OAB=∠PAM=90°,∴∠OAP=∠BAM.
在△AOP和△ABM中,
∴△AOP≌△ABM(ASA),
∴∠AOP=∠ABM,
∴∠OBM=∠OBA+∠ABM=90°,
∴点M的横坐标为4,∴M(4,1).
则在双曲线上存在一点M(4,1),使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰三角形.
3.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,点A与点B关于y轴对称.
(1)求一次函数,反比例函数的解析式;
(2)求证:
点C为线段AP的中点;
(3)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?
如果存在,说明理由并求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.
解:
(1)∵点A与点B关于y轴对称,∴AO=BO.
∵A(-4,0),∴B(4,0).
∵PB⊥x轴于点B,∴P(4,2).
把P(4,2)代入反比例函数解析式可得m=8,
∴反比例函数的解析式为y=.
把A,P两点坐标分别代入一次函数解析式可得解得
∴一次函数的解析式为y=x+1.
(2)证明:
∵点A与点B关于y轴对称,∴OA=OB.
∵PB⊥x轴于点B,∴∠PBA=∠COA=90°,
∴PB∥CO,∴点C为线段AP的中点.
(3)存在点D,使四边形BCPD为菱形.
理由如下:
∵点C为线段AP的中点,∴BC=AP=PC,
∴BC和PC是菱形的两条边.
由y=x+1可得C(0,1).
如答图,过点C作CD∥x轴,交PB于点E,交反比例函数图象于点D,分别连接PD,BD,
答图
∴D(8,1),且PB⊥CD,
∴PE=BE=1,CE=DE=4,
∴PB与CD互相垂直平分,即四边形BCPD为菱形,
∴存在满足条件的点D,其坐标为(8,1).
4.(2018·金华)如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时.
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?
若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.
解:
(1)①如答图1.∵m=4,
∴反比例函数y=的解析式为y=.
∵当x=4时,y=1,∴B(4,1),
∴当y=2时,2=,解得x=2,∴A(2,2).
设直线AB的解析式为y=kx+b,
将A(2,2),B(4,1)两点分别代入,
得解得
∴直线AB的函数表达式为y=-x+3.
②四边形ABCD是菱形.
理由如下:
如答图2,由①知,B(4,1),
∵BD∥y轴,∴D(4,5).
∵点P是线段BD的中点,∴P(4,3).
∵当y=3时,由y=得x=,
由y=得x=,
∴PA=4-=,PC=-4=,∴PA=PC.
∵PB=PD,∴四边形ABCD为平行四边形,
∵BD⊥AC,∴四边形ABCD是菱形.
图1 图2
答图
(2)四边形ABCD能成为正方形.
理由:
当四边形ABCD是正方形时,
则PA=PB=PC=PD(设为t,t≠0),
∵当x=4时,y==,
∴B(4,),
∴A(4-t,+t),C(4+t,+t),
∴(4-t)(+t)=m,∴t=4-,
∴C(8-,4),∴(8-)×4=n,∴m+n=32.
∵点D的纵坐标为+2t=+2(4-)=8-,
∴D(4,8-),∴4(8-)=n,∴m+n=32.
5.如图,已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y2=的图象分别交于C,D两点,点D(2,-3),OA=2.
(1)求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式;
(2)直接写出k1x+b-≥0时自变量x的取值范围;
(3)动点P(0,m)在y轴上运动,当|PC-PD|的值最大时,直接写出P点的坐标.
解:
(1)∵点D(2,-3)在反比例函数y2=的图象上,
∴k2=2×(-3)=-6,∴y2=-.
如答图,过点D作DE⊥x轴于E.
答图
∵OA=2,∴A(-2,0),
∵A(-2,0),D(2,-3)在y1=k1x+b的图象上,
∴解得
∴y1=-x-.
(2)由图可得,当k1x+b-≥0时,x≤-4或0<x≤2.
(3)P点坐标为(0,-).理由如下:
由解得或
∴C(-4,),
如答图,作C(-4,)关于y轴对称点C′(4,),延长C′D交y轴于点P,
∴由C′和D的坐标可得,直线C′D解析式为y=x-,
令x=0,则y=-,
∴当|PC-PD|的值最大时,点P的坐标为(0,-).
6.如图1,直线y=kx+b与双曲线y=(x>0)相交于点A(1,m),B(4,n),与x轴相交于C点.
(1)求点A,B的坐标及直线y=kx+b的解析式;
(2)求△ABO的面积;
(3)如图2,在x轴上是否存在点P,使得PA+PB的和最小?
若存在,请说明理由并求出P点坐标.
解:
(1)∵点A(1,m),B(4,n)在双曲线y=(x>0)上,
∴m=4,n=1,
∴A(1,4),B(4,1),
∴解得
∴直线y=kx+b的解析式为y=-x+5.
(2)如答图1,设直线AB与y轴交于D点,由
(1)知,直线AB的解析式为y=-x+5,
∴C(5,0),D(0,5),
∴OC=5,OD=5.
∴S△AOB=S△COD-S△AOD-S△BOC=×5×5-×5×1-×5×1=.
(3)存在,理由:
如答图2,
作点B(4,1)关于x轴的对称点B′(4,-1),连接AB′交x轴于点P,连接BP,在x轴上取一点Q,连接AQ,BQ.
∵点B与点B′关于x轴对称,
∴点P,Q是BB′中垂线上的点,∴PB′=PB,QB′=QB,在△AQB′中,AQ+B′Q>AB′,
∴AP+BP的最小值为AB′.
∵A(1,4),B′(4,-1),
∴直线AB′的解析式为y=-x+,
令y=0,则0=-x+,
解得x=,
∴P(,0).
7.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,且A(-6,0),D(-2,-8).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点,不与点A,C重合,过点P作x轴的垂线交于AC于点E,求线段PE的最大值及P点坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM为直角三角形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)2-8,把A(-6,0)代入得a(-6+2)2-8=0,解得a=.
∴抛物线的解析式为y=(x+2)2-8,
即y=x2+2x-6.
(2)如答图,当x=0时,y=x2+2x-6=-6,则C(0,-6).
设直线AC的解析式为y=kx+b,
把A(-6,0),C(0,-6)分别代入得
解得∴直线AC的解析式为y=-x-6.
设P(x,x2+2x-6)(-6<x<0),则E(x,-x-6).
∴PE=-x-6-(x2+2x-6)=-x2-3x=-(x+3)2+,
∴当x=-3时,PE的长度有最大值,最大值为,此时点P的坐标为(-3,-).
(3)存在.
如答图,抛物线的对称轴为直线x=-2,设M(-2,t).
∵A(-6,0),C(0,-6),∴AC2=62+62=72,
AM2=(-2+6)2+t2,CM2=(-2)2+(t+6)2.
当AC2+AM2=CM2,△ACM为直角三角形,
即72+(-2+6)2+t2=(-2)2+(t+6)2,
解得t=4,此时点M坐标为(-2,4);
当AC2+CM2=AM2时,△ACM为直角三角形,
即72+(-2)2+(t+6)2=(-2+6)2+t2,
解得t=-8,此时点M的坐标为(-2,-8);
当CM2+AM2=AC2时,△ACM为直角三角形,
即(-2)2+(t+6)2+(-2+6)2+t2=72,
解得t1=-3+,t2=-3-,此时点M的坐标为(-2,-3+)或(-2,-3-).
综上所述,点M的坐标为(-2,4)或(-2,-8)或(-2,-3+)或(-
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