第1章 轴对称图形 全章导学案含答案Word文档格式.docx

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例2：

如右图，在△ABC中,AB=AC,点D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，试说明DE=DF的道理

分析：

本题可用角平分线的性质说明还可以利用△ABD和△ACD的面积相等来说明DE=DF。

三、展示交流：

1、⑴等腰三角形的周长为10,一边长为4,那么另外两边长为_________.

⑵等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm,则它的周长为______.

⑶等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12cm和21cm两部分,则其底边长为_______cm.

⑷等腰三角形底边上的高是底边的一半,则它的顶角为_______.

2、如图，在△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，D为BC的中点，CF⊥AD于E，BF∥AC，

求证：

AB垂直平分DF．

四、提炼总结：

1、探索并发现了等腰三角形的轴对称性，及相关性质：

等边对等角，三线合一。

2、能应用其性质解决一些简单的问题

当

堂

达

标

1.⑴已知等腰三角形的一个底角是70°

，则其余两角为.

⑵已知等腰三角形的一个角是70°

⑶已知等腰三角形一个角是110°

（4）已知等腰三角形一个角是n°

，则其余两角为______________.

2.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°

，

∠OBC＝∠OCA，则∠BOC的度数为（　　）

A、140　　B、110　　C、125　　D、115

3、下列说法：

（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；

（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；

（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；

（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

4、如图，AB=AC=AD，且AD∥BC，

∠C=2∠D吗？

试说明理由。

教学反思：

1．5等腰三角形的轴对称性

（2）

１、知道一个三角形是等腰三角形的条件

２、会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力；

3、经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法。

判定一个三角形是等腰三角形的方法与条件

如何确定一个三角形是等腰三角形的条件

前面探索了等腰三角形的一个重要性质：

如果有两条边相等，那么这两条边所对的角相等。

反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边的大小有什么关系？

将一张长方形的纸条上任意画出一条截线AB，所得的∠1与

∠2相等吗？

为什么？

经过折叠后所得的△ABC，在所得的三角形中∠1=∠2。

那么请同学们

度量边AC，BC的长度，你们有什么发现？

__________________________________________________________.

1.通过上面的操作，发现了AC=BC。

即

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简称“等角对等边”）

符号语言：

如图，在△ABC中,若∠B=∠C，则AB=AC.

3、折直角三角形纸片

按照课本上设计的步骤折直角三角形纸片

问题：

（1）D是斜边AB的中点吗？

（2）图中相等的角有_______________________________________.

等腰三角形有______________________________________________.

相等的线段有_______________________________________________.

得出结论：

直角三角形斜边上的中线等于______________________

如图，在△ABC中,∠ACB=90°

，因为AD=BD

（或者D为AB中点），所以

例1、如图，在△ABC中，AB=AC，两条角平分线BD、CE相交于点O。

OB与OC相等吗？

请说明理由。

根据“等边对等角”得出∠ABC=∠ACB

再根据角平分线得出∠1=∠2

最后利用“等角对等边”得出结论

1、给出下面四个条件：

①已知两腰；

②已知底边和顶角；

③已知顶角和底角；

④已知底边和底边上的高．其中能确定一个等腰三角形的大小、形状的条件有（）．

A、1个B、2个C、3个D、4个

2、一个三角形的三个外角的度数之比5:

4:

5，那么这个三角形是（）

A．等腰三角形，但不是等边三角形，也不是等腰直角三角形

B．等边三角形

C．直角三角形，但不是等腰三角形

D．等腰直角三角形．

3、把两个都有一个锐角为30°

的一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4、△ABC中，角平分线BO与CO的相交点O，OE∥AB，

OF∥AC，BC=10，求△OEF的周长．

1、判定一个三角形是等腰三角形的条件是_____________________

2、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，在应用这些结论解决问题过程中进一步提高了说理、分析、识图和归纳的能力。

1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，CD是AB边上的中线且CD=5cm，则AB=。

2、一个三角形的一个外角为130°

，且它恰好等于一个不相邻的内角的二倍。

这个三角形是（）

A．钝角三角形　B．直角三角形　C．等腰三角形　D．等边三角形

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，D是AB

的中点，CE⊥AB，且AC=6，BC=8，

EC=4.8，则CD的长度是．

4.一个等腰三角形的周长为15cm，一腰上的中线把周长分为两部分，这两部分的差为6cm，

求腰长。

5.如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，

说明BE=CE.

1．5等腰三角形的轴对称性（3）

１、知道等边三角形的轴对称性及其性质以及一个三角形是等边三角形的条件；

等边三角形的轴对称性及其性质以及一个三角形是等边三角形的条件

等边三角形相关的性质以及判定的方法

1、等腰三角形有哪些性质？

___________________________________________________

2、有一个等腰三角形，它的底边恰好与腰相等，这样的三角形具有什么性质？

一、概念探究：

1、等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴.

2、等边三角形的每个内角都等于60°

。

如图，在△ABC中，若AB=AC=BC，则∠B=∠C=∠D=60°

思考

（1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？

（2）有两个角是60°

的三角形是等边三角形吗？

例１、如果一个等腰三角形中有一个角是60°

，那么这个三角形是等边三角形吗？

在等腰三角形中，已知一个角的度数时，通常应该分类讨论，因为这个角可以是顶角，也可以是底角。

解：

设等腰三角形ABC中，AB=AC

（1）当顶角∠A=60°

时

（2）当底角∠B=60°

⑴如图,在△BAC中,∠BAC=90°

AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA.试求∠DAE的度数.

⑵如果把第

（1）题中“AB=AC”的条件去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?

1、用1～3种不同的分割方法，将1个等边三角形分割成4个等腰三角形.

2、图中△ABE和△ACD都是等边三角形，BD与CE相交于点O。

（1）EC＝BD吗？

若BD与CE交于点O，你能求出∠BOC的度数是多少吗？

（2）如果要△ABE和△ACD全等，则还需要什么条件？

在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？

此时∠BOC的度数是多少？

1、等边三角形是腰和底都相等的等腰三角形，有三条对称轴，每个角都是60°

反过来，有三个角相等的三角形是等边三角形，有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形.

2、在解决等腰三角形的边、角问题时，应当恰当运用分类讨论的思想方法.

当堂达标

1、等边三角形是一个轴对称图形，它有________条对称轴。

2、等边三角形的三条边都相等，三个角都等于________。

3、一个三角形的三个外角的度数之比5:

5，那么这个三角形是（）

A、等腰三角形，但不是等边三角形，也不是等腰直角三角形

B、等边三角形C、直角三角形，但不是等腰三角形

D、等腰直角三角形．

4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°

，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．

（1）求∠ADE的度数．

（2）△ADF是正三角形吗?

为什么?

1.6等腰梯形的轴对称性（１）

1、知道等腰梯形的概念、等腰梯形的轴对称性及其相关性质；

２、能运用等腰梯形的性质进行计算和说理；

3、在等腰梯形的性质的探究过程中利用类比思想进行学习。

4、在等腰梯形的性质的探究过程中，进一步学习有条理地思考和表达，体会转化、类比等数学思想方法在解决问题中的作用。

教学重点等腰梯形性质

教学难点等腰梯形性质的理解和应用

观察：

1.如图，有九个点在平面上形成3×

3的方阵，以这些点为顶点的等腰梯形有（）

A．0个B．2个C．4个D．8个

·

填空：

2.等腰梯形中一个锐角为70度，则另外三个角分别为，，。

3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，则梯形ABCD（填“是”或“不是”）等腰梯形．

A

D

E

C

F

B

4.等腰梯形的腰长为12cm，上底长为15cm，上底与腰的夹角为120°

，则下底长为cm．

5．一个等腰梯形的上底和腰的长都是1，下底的长为2，将这个梯形按下图的方式拼接在一起：

…共有八个这样的梯形，则由它们拼接成的图形周长为（）．

A．14B．26C．32D．36

1、尝试、操作：

活动1、让学生将一张等腰三角形剪成一个等腰梯形

活动2、让学生将得到的等腰梯形进行折叠,并进行观察思考

等腰梯形是轴对称图形吗?

有几条对称轴,等腰梯形的同一底上的底角完全重合吗?

它具有哪些性质？

让学生讨论归纳：

等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴，

等腰梯形在同一底上的两个角相等。

对照图形用符号语言说明等腰梯形的相关性质

　2、在等腰梯形ＡＢＣＤ中，AＢ∥CＤ，

ＡＤ＝ＢＣ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ的中点，那么，ＥＦ所在的直线是它的对称轴，

∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ.

1、课本例题１：

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，ＡＣ与ＢＤ相等吗？

请说明理由

注意：

这个题目可以从对称的角度去考虑，还可以用全等三角形的知识去解决。

由刚才的例题得出等腰梯形的又一重要性质：

　　等腰梯形的对角线相等

用符号语言表示为：

在梯形ABCD中，AD∥BC，因为AB=CD，所以AC=BD.

２、如图,等腰梯形ABCD中，AB∥DC,

对角线AC平分∠BAD，梯形的周长为4.5cm,

下底AB=1.5cm,求上底CD的长．

在直角梯形ABCD中，∠B＝900，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒钟后，梯形PBQD是等腰梯形？

小结：

什么是等腰梯形？

等腰梯形的轴对称性

同学们，你们还有哪些收获呢？

1.对于等腰梯形，下列说法错误的是（）．

A、只有一组相等的对边B、只有一对相等的角

C、只有一条对称轴D．两条对角线相等

2.已知等腰梯形的一个锐角等于60°

，两底分别为15cm，49cm，则它的腰长为_______cm。

3.如下左图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，E是AD的中点，则BE与CE的大小关系是（）．

A、BE＞CEB．BE＜CEC．BE＝CED．无法判断

4.如上右图，在梯形ABCD中，如果DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°

，DB⊥AD，那么∠DBC＝°

，∠C＝°

．

5.如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，BD=BC

求∠C的度数.

6.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC延长线上的一点，

BE＝BC，试说明∠A和∠E的关系．

1.6等腰梯形的轴对称性

（2）

1、知道一个梯形是等腰梯形的判定条件；

２、在等腰梯形的性质的探究过程中利用类比思想进行学习；

3、在等腰梯形的判定条件的探究过程中，进一步学习有条理地思考和表达，体会转化、类比等数学思想方法在解决问题中的作用。

等腰梯形判定条件和应用。

1．有下列说法：

①等腰梯形同一底上的两个内角相等；

②等腰梯形的对角线相等；

③等腰梯形是轴对称图形，且只有一条对称轴；

④有两个内角相等的梯形是等腰梯形．其中正确的有（）．

2.你能数出下列图形中有多少个等腰梯形吗？

（图中三角形均为等边三角形）

3.已知：

梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，BD⊥DC。

求：

梯形ABCD的各个角的大小。

4.等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为

60°

，则它的两底长分别为____________．

5.在等腰梯形ABCD中，M是上底CD的中点，连接AM、BM，△AMB是等腰三角形吗？

（试用两种方法说理）

1.让学生将一个等腰三角形转变成一个等腰梯形

并让学生说明所得到的四边形为什么是等腰梯形?

2等腰三角形与等腰梯形之间有什么内在联系?

3我们怎么把等腰梯形变成等腰三角形了?

我们已经知道等腰三角形相关的判定方法，而等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系，比照等腰三角形的特性，你对等腰梯形还有什么样的猜想呢？

让学生自然地提出：

“当梯形同一底上的两个角相等时，这个梯形是不是等腰梯形呢？

”

如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ，你能说明ＡＢ＝ＤＣ吗？

　　可引导学生对照等腰三角形相关知识进行探索说明：

从而得出结论：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

１、进行课本中Ｐ３３的例题２的教学

　这个例题并不难，关键是要引导学生准确地运用符号语言表达出来

如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的两点，且AD＝AE，试说明四边形是等腰梯形．

当我们遇到梯形问题时，我们常用分割的方法，将其转化成我们熟悉的图形来解决：

（1）按要求对下列梯形分割（分割线用虚线）

①分割成一个平行四边形和一个三角形；

②分割成一个长方形和两个直角三角形；

（2）你还有其他分割的方法吗？

画出来，并指出分割后我们得到哪些图形？

2、如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，延长CB到E，使BE＝AD，若同时有

∠E＝∠ACE，则梯形ABCD是等腰梯形吗?

当一个梯形在同一底上的两个角相等时，这个梯形是等腰梯形，并且能运用等腰梯形的性质和判定条件解决有关问题，学习了“类比”和“分析”的方法.

1．如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB＝DC，BD⊥CD，AC⊥AB，∠BAD＝120°

，AD＝5．求等腰梯形ABCD的周长．

2.如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC=BD

AB=DC

3、已知：

探索与创新

4．如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB＝DC，BC＝2AD＝4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC边的中点为E．

（1）判断△ADE的形状（简述理由），并求其周长．

（2）求AB的长．

（3）AC与DE是否互相垂直平分?

说出你的理由．

小结与思考

（1）

１、回顾和整理本章所学知识，用自己喜欢的方式进行总结的归纳，构建本章知识结构框架，使所学知识系统化；

２、进一步巩固和掌握轴对称性质和简单的轴对称图形——线段、角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形的性质，并能运用这些性质解决问题；

3、在解决问题和与他人合作交流的过程中，不断发展合情推理，进一步地学习有条理地思考和表达，真切地感受“言之有理，落笔有据”的必要性。

教学重点进一步巩固和掌握轴对称性质和简单的轴对称图形

教学难点不断发展合情推理，进一步地学习有条理地思考和表达能力

复习导航

1、轴对称与轴对称图形

（1）概念；

（复习题第1题）

（2）两者的区别与联系；

（3）轴对称的性质；

（4）如何作已知图形的轴对称图形（复习题第8题）

2、比较线段、角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形的对称性；

3、线段的垂直平分线和角平分线，等腰三角形和等腰梯形性质的类比；

（复习题第5题）

4、引导学生在解决问题的基础上回顾、梳理本章的知识，了解小结与思考中的知识结构图，掌握本章的知识体系与重难点。

一、典型例题

例1.如图，在△MNP中，MN＝MP，点Q在MP上，且NP＝NQ＝MQ

（1）找出图中相等的角，并说明理由；

（2）求∠M的度数

M

DMC

Q

AB

NP

（1）

（2）

例2.如图，在等腰梯形ABCD中，M是上底CD的中点，连接AM、BM，△AMB是等腰三角形吗？

例3.如图，△ABC和△ABC成轴对称，试用不同的方法作出对称轴。

AA1

CC1

BB1

（3）

例4.作出下面图形关于直线l的轴对称图形。

二、小试牛刀：

1、举出实例说明轴对称在生活和生产中的应用，体会数学与生活的密切联系。

2、在本章的学习中，用到了哪些重要的数学思想和方法？

举例来说明。

3、你会用哪些方法来画等腰三角形、等边三角形和等腰梯形？

三、课堂小结

同学们，这节课你有什么收获呢？

1．下列图形中：

①平行四边形；

②有一个角是30°

的直角三角形；

③长方形；

④等腰三角形.其中是轴对称图形有（　　）个

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2．线段轴是轴对称图形，它有_______条对称轴．

3．等腰△ABC中，若∠A=30°

，则∠B=________．

4．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°

，则腰AB上的高等于___________．

5．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，

则（　　）

A．PQ＞5B．PQ≥5

C．PQ＜5D．PQ≤5

6．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（　　）

　A．3cm或5cmB．3cm或7cmC．3cmD．5cm

7．在Rt△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．

8．如图：

已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两