定积分概念与性质Concept.docx
- 文档编号:1785772
- 上传时间:2022-10-24
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:204.89KB
定积分概念与性质Concept.docx
《定积分概念与性质Concept.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《定积分概念与性质Concept.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
定积分概念与性质Concept
第五章定积分
Chapter5DefiniteIntegrals
5.1定积分的概念和性质(ConceptofDefiniteIntegralanditsProperties)
一、定积分问题举例(ExamplesofDefiniteIntegral)
设在区间上非负、连续,由,,以及曲线所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边。
Letbecontinuousandnonnegativeontheclosedinterval.Thentheregionboundedbythegraphof,the-axis,theverticallines,andiscalledthetrapezoidwithcurvededge.
黎曼和的定义(DefinitionofRiemannSum)
设是定义在闭区间上的函数,是的任意一个分割,
,
其中是第个小区间的长度,是第个小区间的任意一点,那么和
,
称为黎曼和。
Letbedefinedontheclosedinterval,andletbeanarbitrarypartitionof,,whereisthewidthofthethsubinterval.Ifisanypointinthethsubinterval,thenthesum
,,
IscalledaRiemannsumforthepartition.
二、定积分的定义(DefinitionofDefiniteIntegral)
定义定积分(DefiniteIntegral)
设函数在区间上有界,在中任意插入若干个分点,把区间分成个小区间:
各个小区间的长度依次为,,…,。
在每个小区间上任取一点,作函数与小区间长度的乘积(),并作出和
。
记,如果不论对怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分),记作,即
==,
其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,叫做积分区间。
Letbeafunctionthatisdefinedontheclosedinterval.Considerapartitionoftheintervalintosubinterval(notnecessarilyofequallength)bymeansofpointsandlet.Oneachsubinterval,pickanarbitrarypoint(whichmaybeanendpoint);wecallitasamplepointfortheithsubinterval.WecallthesumaRiemannsumforcorrespondingtothepartition.
Ifexists,wesayisintegrableon,where.Moreover,,calleddefiniteintegral(orRiemannIntegral)offromto,isgivenby
=.
Theequality=meansthat,correspondingtoeach>0,thereisasuchthat Inthesymbol,iscalledthelowerlimitofintegral,theupperlimitofintegral,andtheintegralinterval. 定理1可积性定理(IntegrabilityTheorem) 设在区间上连续,则在上可积。 Theorem1Ifafunctioniscontinuousontheclosedinterval,itisintegrableon. 定理2可积性定理(IntegrabilityTheorem) 设在区间上有界,且只有有限个间断点,则在区间上可积。 Theorem2Ifisboundedonandifitiscontinuousthereexceptatafinitenumberofpoints,thenisintegrableon. 三.定积分的性质(PropertiesofDefiniteIntegrals) 两个特殊的定积分 (1)如果在点有意义,则; (2)如果在上可积,则。 TwoSpecialDefiniteIntegrals (1)Ifisdefinedat.Then. (2)Ifisintegrableon.Then. 定积分的线性性(LinearityoftheDefiniteIntegral) 设函数和在上都可积,是常数,则和+都可积,并且 (1)=; (2)=+;andconsequently, (3)=-. Supposethatandareintegrableonandisaconstant.Thenandareintegrable,and (1)=; (2)=+;andconsequently, (3)=-. 性质3定积分对于积分区间的可加性(IntervalAdditivePropertyofDefiniteIntegrals) 设在区间上可积,且,和都是区间内的点,则不论,和的相对位置如何,都有=+。 Property3Ifisintegrableonthethreeclosedintervalsdeterminedby,,and,then =+ nomatterwhattheorderof,,和. 性质4如果在区间上1,则==。 Property4If1foreveryin,then ==. 性质5如果在区间上,则。 Property5Ifisintegrableandnonnegativeontheclosedinterval,then . 推论1。 2定积分的可比性(ComparisonPropertyforDefiniteIntegrals) 如果在区间上,,则 , 。 用通俗明了的话说,就是定积分保持不等号。 Corollary1,2Ifandisintegrableontheclosedinterval,andforallin.Then and 。 Ininformalbutdescriptivelanguage,wesaythatthedefiniteintegralpreservesinequalities. 性质6积分的有界性(BoundednessPropertyforDefiniteIntegrals) 如果在上连续,且对任意的,都有,则。 Property6Ifiscontinuousonandforallin.Then 。 性质7积分中值定理(MeanValueTheoremforDefiniteIntegrals) 如果函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一点,使下式成立 =, 且 = 称为函数在区间上的平均值。 Property7Ifiscontinuouson,thereisatleastonenumberbetweenandsuchthat =, and = iscalledtheaveragevalueofon. 5.2微积分基本定理(FundamentalTheoremofCalculus) 一.积分上限的函数及其导数(AccumulationFunctionandItsDerivative) 定理1微积分基本定理(FundamentalTheoremofCalculus) 如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是 ==. Theorem1Letbecontinuousontheclosedintervalandletbea(variable)pointin.Then=isdifferentiableon,and=. 定理2原函数存在定理(TheExistenceTheoremofAntiderivative) 如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数. Theorem2Ifiscontinuousontheclosedinterval,then=isanantiderivativeofon. 二.牛顿-莱布尼茨公式(Newton-LeibnizFormula) 定理3微积分第一基本定理(firstFundamentalTheoremofCalculus) 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数, 则 = 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式. Theorem3Letbecontinuous(henceintegrable)on,andletbeanyantiderivativeofon.Then = whichiscalledtheNewton-LeibnizFormula. 5.3定积分的换元法和分部积分法(integrationbySubstitutionandDefiniteIntgralsbyParts) 一.定积分的换元法(SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals) 二.定理定积分的换元法(SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals) 假设函数在区间上连续,函数满足条件 (1),; (2)在(或)上具有连续导数,且其值域,则有 =, 上面的公式叫做定积分的换元公式. TheoremLethaveacontinuousderivativeon(or),andletbecontinuouson.If,andtherangeofisasubsetof.Then =, whichiscalledthesubstitutionrulefordefiniteintegrals. 二.定积分的分部积分法(DefiniteIntegrationbyParts) 根据不定积分的分部积分法,有 简写为 = 或 =. Accordingtotheindefiniteintegrationbyparts, = = = Forsimplicity, =
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 积分 概念 性质 Concept
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)