高三数学试题精选届高考数学等差数列知识点复习测试题及答案.docx

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高三数学试题精选届高考数学等差数列知识点复习测试题及答案

2018届高考数学等差数列知识点复习测试题及答案

5第2讲等差数列

★知识梳理★

1等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数

称为等差数列的差

2通项式与前项和式

⑴通项式，为首项，为差

⑵前项和式或

3等差中项

如果成等差数列，那么叫做与的等差中项

即是与的等差中项，，成等差数列

4等差数列的判定方法

⑴定义法（，是常数）是等差数列；

⑵中项法（）是等差数列

5等差数列的常用性质

⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，差为

⑶；（,是常数）；（,是常数，）

⑷若，则；

⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；

⑹当项数为，则；

当项数为，则

★重难点突破★

1重点理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项式、前项和式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质

2难点利用等差数列的性质解决实际问题

3重难点正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题

⑴求等差数列的差、求项、求值、求和、求最值等通常运用等差数列的有关式及其性质

问题1已知,且和都是等差数列，则

分析问题转化为在插入若干个数，使其成等差，利用等差数列差的求法式解答

解析设等差数列和的差分别是

则，，，

同理，得，

⑵求“首末项和为常数”的数列的和，一般用倒序相加法

问题2已知函数则①；

②

分析①可以直接代入计算，也可以整体处理；②寻找规律，整体处理

解析，经计算，得，

★热点考点题型探析★

考点1等差数列的通项与前n项和

题型1已知等差数列的某些项，求某项

【例1】已知为等差数列，，则

【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质

【解析】方法1

方法2，

方法3令，则

方法4为等差数列，

也成等差数列，设其差为，则为首项，为第4项

方法5为等差数列，三点共线

【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法

题型2已知前项和及其某项，求项数

【例2】⑴已知为等差数列的前项和，，求；

⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数

【解题思路】⑴利用等差数列的通项式求出及，代入可求项数；

⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数

【解析】⑴设等差数列的首项为，差为，则

⑵

【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法⑴基本量法；⑵利用等差数列的性质

题型3求等差数列的前n项和

【例3】已知为等差数列的前项和，

⑴求；

⑵求；

⑶求

【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题

【解析】4，

当时，，

当时，，

当时，，

由，得，当时，；当时，

⑴；

⑵

；

⑶当时，，

当时，

【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论

【新题导练】

1已知为等差数列，（互不相等），求

【解析】

2已知为等差数列的前项和，，则

【解析】设等差数列的差为，则

3已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数

【解析】设这个数分别为则

解得

当时，这个数分别为；

当时，这个数分别为

4已知为等差数列的前项和，，求

【解析】方法1设等差数列的差为，则

；

方法2

考点2证明数列是等差数列

【例4】已知为等差数列的前项和，

求证数列是等差数列

【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法

【解析】方法1设等差数列的差为，，

（常数）

数列是等差数列

方法2，

，

，

数列是等差数列

【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有

⑴定义法（，是常数）是等差数列；

⑵中项法（）是等差数列；

⑶通项式法（是常数）是等差数列；

⑷前项和式法（是常数，）是等差数列

【新题导练】

5设为数列的前项和，，

⑴求常数的值；

⑵求证数列是等差数列

【解析】⑴，，

⑵由⑴知，

当时，，

，数列是等差数列

考点3等差数列的性质

【例5】⑴已知为等差数列的前项和，，则；

⑵已知为等差数列的前项和，，则

【解题思路】利用等差数列的有关性质求解

【解析】⑴；

⑵方法1令，则

，，

；

方法2不妨设

，

；

方法3是等差数列，为等差数列

三点共线

【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算

【新题导练】

6含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）

【解析】（本两小题有多种解法）

，选B

7设、分别是等差数列、的前项和，，则

【解析】填

考点4等差数列与其它知识的综合

【例6】已知为数列的前项和，；数列满足，

，其前项和为

⑴求数列、的通项式；

⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值

【解题思路】⑴利用与的关系式及等差数列的通项式可求；⑵求出后，判断的单调性

【解析】⑴，

当时，；

当时，

当时，，；

，是等差数列，设其差为

则，

⑵

，是单调递增数列

当时，

对都成立

所求最大正整数的值为

【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容

【新题导练】

8已知为数列的前项和，，

⑴求数列的通项式；

⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？

若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由

【解析】⑴当时，

，且，是以为差的等差数列，其首项为

当时，

当时，，；

⑵，得或，

当时，恒成立，所求最小的正整数

★抢分频道★

基础巩固训练

1（2018广雅中学）设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则

A．B．c．D．

【解析】c．

另法由，，得，，计算知

2在等差数列中，，则

【解析】

3数列中，，当数列的前项和取得最小值时，

【解析】由知是等差数列，

4已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其差是

【解析】已知两式相减，得

5设数列中，，则通项

【解析】利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法

6从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第项是

【解析】

综合拔高训练

7（2018广雅中学）已知等差数列中，

⑴求数列的通项式；

⑵若数列满足，设，且，求的值

【解析】⑴设数列的差为，则

⑵，

令，得∴当时，

8已知为等差数列的前项和，

⑴当为何值时，取得最大值；

⑵求的值；

⑶求数列的前项和

【解析】⑴等差数列中，差

，令

当时，；当时，当时，取得最大值；

⑵数列是等差数列

；

⑶由⑴得，当时，；当时，

9（2018执信中学）已知数列满足

⑴证明数列是等比数列；

⑵求数列的通项式；

⑶若数列满足证明是等差数列

【解析】⑴证明

,

是以为首项，2为比的等比数列。

⑵解由（I）得

⑶证明

①

②

②－①，得即，③

④

④－③，得即，

是等差数列

10（2018北京）数列满足，是常数

⑴当时，求及的值；

⑵数列是否可能为等差数列？

若可能，求出它的通项式；若不可能，说明理由；

⑶求的取值范围，使得存在正整数，当时总有

【解析】⑴由于，且，

所以当时，得，故从而

⑵数列不可能为等差数列证明如下

由，得

若存在，使为等差数列，则，即

于是

这与为等差数列矛盾，所以，对任意，都不可能是等差数列

⑶记根据题意可知，且，即且

，这时总存在，满足当时，bn＞0；当时，

所以，由及可知，若为偶数，则，从而当时；

若为奇数，则，从而当时

因此“存在，当时总有”的充分必要条是为偶数，

记，则满足

故的取值范围是

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