高中数学核心知识点常考题型精析集合文Word下载.docx
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①若m=1,则S={1};
②若m=﹣
,则
≤n≤1;
③若n=
,则﹣
≤m≤0.其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
14.50名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有30名,参加乙项的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为( )
A.50B.45C.40D.35
15.设
Ak=A1∪A2∪A3∪…An,n∈N*,设集合Ak={y|y=
,
≤x≤1,k=2,3,…,2015},则
Ak=( )
A.∅B.[2,
]C.{2}D.[2,
]
二、填空题(共13小题)
16.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:
①?
a≠2;
②‚b=2;
③ƒc≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 _________ .
17.已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(∁UA)∩B= _________ .
18.已知集合A={x∈R||x﹣1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于 _________ .
19.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是 _________ .
20.若规定E={a1,a2…a10}的子集
为E的第k个子集,其中k=2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1.则
(1){a1,a3}是E的第 _________ 个子集;
(2)E的第211个子集是 _________ .
21.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):
其中为凸集的是 _________ (写出所有凸集相应图形的序号).
22.若U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则∁U(A∪B)= _________ .
23.设全集U=A∪B={x∈N*|lgx<1},若A∩∁UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B= _________ .
24.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 _________ 人.
25.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 _________ .
26.设集合A={x|log2x<1},B={x|
<0},则A∩B= _________ .
27.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k﹣1∉A且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 _________ 个.
28.已知集合A={x||x﹣a|≤1},B={x|x2﹣5x+4≥0}.若A∩B=∅,则实数a的取值范围是 _________ .
三、解答题(共2小题)
29.已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)对于A=(a1,a2,…an,),B=(b1,b2,…bn,)∈Sn,定义A与B的差为A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…,|an﹣bn|);
A与B之间的距离为
.
(Ⅰ)当n=5时,设A=(0,1,0,0,1),B=(1,1,1,0,0),求d(A,B);
(Ⅱ)证明:
∀A,B,C∈Sn,有A﹣B∈Sn,且d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B);
(Ⅲ)证明:
∀A,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.
30.已知集合A={x|(x﹣2)(x﹣3a﹣1)<0},y=lg
的定义域为集合B.
(1)若A=B,求实数a;
(2)是否存在实数a使得A∩B=ϕ,若存在,则求出实数a的值,若不存在,说明理由.
参考答案与试题解析
A.
2
B.
1
C.
D.
﹣1
考点:
集合的相等.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论.
解答:
解:
根据集合相等的条件可知,若{a,b}={a2,b2},
则
①或
②,
由①得
∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,即a=1,b=1,此时集合{1,1}不满足条件.
由②得,若b=a2,a=b2,则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,即(a﹣b)(a+b)=﹣(a﹣b),
∵互异的复数a,b,
∴a﹣b≠0,即a+b=﹣1,
故选:
点评:
本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论.
{x|x≥0}
{x|x≤1}
{x|0≤x≤1}
{x|0<x<1}
交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有
先求A∪B,再根据补集的定义求CU(A∪B).
A∪B={x|x≥1或x≤0},
∴CU(A∪B)={x|0<x<1},
本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法.
{1,3,5,6}
{2,3,7}
{2,4,7}
{2,5,7}
补集及其运算.菁优网版权所有
根据全集U以及A,求出A的补集即可.
∵全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},
∴∁UA={2,4,7}.
此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.
3
5
7
集合中元素个数的最值;
交集及其运算.菁优网版权所有
根据M与N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可.
∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},
∴M∩N={1,2,6},即M∩N中元素的个数为3.
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
(﹣∞,2)
(﹣∞,2]
(2,+∞)
[2,+∞)
并集及其运算;
一元二次不等式的解法.菁优网版权所有
不等式的解法及应用;
当a>1时,代入解集中的不等式中,确定出A,求出满足两集合的并集为R时的a的范围;
当a=1时,易得A=R,符合题意;
当a<1时,同样求出集合A,列出关于a的不等式,求出不等式的解集得到a的范围.综上,得到满足题意的a范围.
当a>1时,A=(﹣∞,1]∪[a,+∞),B=[a﹣1,+∞),
若A∪B=R,则a﹣1≤1,
∴1<a≤2;
当a=1时,易得A=R,此时A∪B=R;
当a<1时,A=(﹣∞,a]∪[1,+∞),B=[a﹣1,+∞),
若A∪B=R,则a﹣1≤a,显然成立,
∴a<1;
综上,a的取值范围是(﹣∞,2].
故选B.
此题考查了并集及其运算,二次不等式,以及不等式恒成立的条件,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.
4
0或4
元素与集合关系的判断.菁优网版权所有
当a为零时,方程不成立,不符合题意,当a不等于零时,方程是一元二次方程只需判别式为零即可.
当a=0时,方程为1=0不成立,不满足条件
当a≠0时,△=a2﹣4a=0,解得a=4
故选A.
本题主要考查了元素与集合关系的判定,以及根的个数与判别式的关系,属于基础题.
{x∈R|0<x<2|}
{x∈R|0≤x<2|}
{x∈R|0<x≤2|}
{x∈R|0≤x≤2|}
先一元二次不等式的解法以及带绝对值不等式的解法求出全集U以及集合A,再结合补集的定义求出结论.
因为:
全集U={x∈R|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2},
∵|x+1|≤1⇒﹣1≤x+1≤1⇒﹣2≤x≤0,
∴集合A={x∈R||x+1|≤1}={x|﹣2≤x≤0},
所以:
∁UA={x|0<x≤2}.
本题考查了一元二次不等式的解法以及带绝对值不等式的解法,集合的交、并、补的运算,熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键.
集合的包含关系判断及应用.菁优网版权所有
先求出集合A,B由A⊆C⊆B可得满足条件的集合C有{1,2,},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},可求
由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4},
∵A⊆C⊆B,
∴满足条件的集合C有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个,
故选D.
本题主要考查了集合的包含关系的应用,解题的关键是由A⊆C⊆B找出符合条件的集合.
A⊊B
B⊊A
A=B
A∩B=∅
先求出集合A,然后根据集合之间的关系可判断
由题意可得,A={x|﹣1<x<2},
∵B={x|﹣1<x<1},
在集合B中的元素都属于集合A,但是在集合A中的元素不一定在集合B中,例如x=
∴B⊊A.
本题主要考查了集合之间关系的判断,属于基础试题.
N⊆M
M∪N=M
M∩N=N
M∩N={2}
由M={1,2,3,4},N={﹣2,2},则可知,﹣2∈N,但是﹣2∉M,则N⊄M,M∪N={1,2,3,4,﹣2}≠M,M∩N={2}≠N,从而可判断.
A、由M={1,2,3,4},N={﹣2,2},可知﹣2∈N,但是﹣2∉M,则N⊄M,故A错误;
B、M∪N={1,2,3,4,﹣2}≠M,故B错误;
C、M∩N={2}≠N,故C错误;
D、M∩N={2},故D正确.
本题主要考查了集合的包含关系的判断,解题的关键是熟练掌握集合的基本运算.
P⊆Q
Q⊆P
∁RP⊆Q
Q⊆∁RP
利用集合的补集的定义求出P的补集;
利用子集的定义判断出Q⊆CRP.
∵P={x|x<1},
∴CRP={x|x≥1},
∵Q={x|x>1},
∴Q⊆CRP,
本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集;
利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系.
a
b
c
d
集合的含义.菁优网版权所有
新定义;
先计算(a⊕c)的结果,再计算d⊗(a⊕c)的值.
由上表可知:
(a⊕c)=c,
故d⊗(a⊕c)=d⊗c=a,
本题考查集合的含义,正确理解2种运算⊕和⊗,属于基础题.
元素与集合关系的判断;
集合的确定性、互异性、无序性.菁优网版权所有
根据题中条件:
“当x∈S时,有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可:
对于①m=1,得
,②
对于③若
,最后解出不等式,根据解出的结果与四个命题的结论对照,即可得出正确结果有几个.
由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:
当x∈S时,有x2∈S知,符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保证m∈S时,有m2∈S即m2≥m,符合条件的n的值一定大于等于0,小于等于1,惟如此才能保证n∈S时,有n2∈S即n2≤n,正对各个命题进行判断:
对于①m=1,m2=1∈S故必有
可得n=1,S={1},
②m=﹣
,m2=
∈S则
解之可得
对于③若n=
解之可得﹣
≤m≤0,
所以正确命题有3个.
故选D
本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.
50
45
40
35
根据题意,结合交集与并集的元素数目的关系,C(A)+C(B)=C(A∩B)+C(A∪B),首先可求出两项活动都参加的人数,然后计算仅参加了一项活动的学生人数.
根据题意,两项活动都参加的人数=30+25﹣50=5,
仅参加了一项活动的学生人数=50﹣5=45,
本题考查集合间的关系及元素数目的运算,注意两个集合的交集与并集的元素数目的关系.
∅
[2,
{2}
并集及其运算.菁优网版权所有
探究型;
函数的性质及应用;
根据基本不等式和函数的单调性求出集合Ak,再由题意表示出
Ak,利用并集的运算求出即可.
因为,
≤x≤1,k=2,3,…,2015,
所以
=
≥2
=2,
当且仅当
时,即
时取等号,
所以函数y=
在[
,1]上的最小值是2,
由对号函数的单调性知,函数y=
,1]上单调递增,
所以当x=1时取到最大值
,即集合Ak=[2,
](k≥2),
因为
Ak=A1∪A2∪A3∪…An,n∈N*,且Ak={2},
Ak=A1∪A2∪A3∪…A2015={2}∪[2,
]∪…∪[2,
=[2,
],
本题是探究型的题目,考查基本不等式和函数的单调性在求函数的最值中的应用,以及并集的运算.
③ƒc≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 201 .
根据集合相等的条件,列出a、b、c所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出a、b、c的值后代入式子求值.
由{a,b,c}={0,1,2}得,a、b、c的取值有以下情况:
当a=0时,b=1、c=2或b=2、c=1,此时不满足条件;
当a=1时,b=0、c=2或b=2、c=0,此时不满足条件;
当a=2时,b=1、c=0,此时不满足条件;
当a=2时,b=0、c=1,此时满足条件;
综上得,a=2、b=0、c=1,代入100a+10b+c=201,
故答案为:
201.
本题考查了集合相等的条件的应用,以及分类讨论思想,注意列举时按一定的顺序列举,做到不重不漏.
17.已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(∁UA)∩B= {6,8} .
先求出集合A的补集,再利用交集的定义求(CUA)∩B
由题意∵U={2,3,6,8},集合A={2,3},
∴CUA={6,8},
又B={2,6,8},
故(CUA)∩B={6,8}
{6,8}.
本题考查交、并、补集的混合运算,正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义,并能根据所给的规则进行正确运算.
18.已知集合A={x∈R||x﹣1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于 3 .
先根据绝对值不等式求出集合A,然后根据交集的定义求出A∩Z,最后求出集合A∩Z中所有元素的和即可.
A={x∈R||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3},
而Z为整数集,集合A∩Z={0,1,2},
故集合A∩Z中所有元素的和等于0+1+2=3,
故答案为3.
本题属于以绝对值不等式为依托,求集合的交集的基础题,同时考查了集合中元素的和.
19.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是 a≤1 .
集合关系中的参数取值问题.菁优网版权所有
利用数轴,在数轴上画出集合,数形结合求得两集合的并集.
∵A={x|x≤1},B={x|x≥a},
且A∪B=R,如图,故当a≤1时,命题成立.
a≤1.
本题属于以数轴为工具,求集合的并集的基础题,也是高考常会考的题型.
(1){a1,a3}是E的第 5 个子集;
(2)E的第211个子集是 {a1,a2,a5,a7,a8} .
子集与真子集.
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