1985年全国高中数学联赛试题及解答文档格式.docx
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S2C.S1≥S2D.有时S1>
S2,有时S1=S2,有时S1<
S2
⑶已知方程arccos
-arccos(-
)=arcsinx,则()
A.x=
B.x=-
C.x=0D.这样的x不存在.
⑷在下面四个图形中,已知有一个是方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(m≠0,n≠0)在同一坐标系中的示意图,它应是()
⑸设Z、W、λ为复数,|λ|≠1,关于Z的方程
-λZ=W有下面四个结论:
Ⅰ.Z=
是这个方程的解;
Ⅱ.这个方程只有一解;
Ⅲ.这个方程有两解;
Ⅳ.这个方程有无穷多解.则()
A.只有Ⅰ、Ⅱ正确B.只有Ⅰ、Ⅲ正确C.只有Ⅰ、Ⅳ正确D.以上A、B、C都不正确
⑹设0<
a<
1,若x1=a,x2=a
,x3=a
,…,xn=a
,……,则数列{xn}()
A.是递增的B.是递减的C.奇数项递增,偶数项递减D.偶数项递增,奇数项递减
二.填空题(本题满分24分,每小题6分)
⑴在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若角A、B、C的大小成等比数列,且b2-a2=ac,则角B的弧度为等于.
⑵方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非负整数解共有组.
⑶在已知数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相邻若干个数之和能被11整除的数组共有.
⑷对任意实数x,y,定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c为常数,等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数d,使得对于任意实数都有x*d=x,则d=.
第二试
(本试共有4题,每题满分15分)
1.在直角坐标系xoy中,点A(x1,y1)和点B(x2,y2)的坐标均为一位的正整数.OA与x轴正方向的夹角大于45°
,OB与x轴正方向的夹角小于45°
,B在x轴上的射影为B,A在y轴上的射影为A,△OBB的面积比△OAA的面积大33.5,由x1,y1,x2,y2组成的四位数
=x1∙103+x2∙102+y2∙10+y1.试求出所有这样的四位数,并写出求解过程.
2.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BC中点,F在AA1上,且A1F∶FA=1∶2.求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角.
3.某足球邀请赛有十六个城市参加,每市派出甲、乙两个队,根据比赛规则,比赛若干天后进行统计,发现除A市甲队外,其它各队已比赛过的场数各不相同.问A市乙队已赛过多少场?
请证明你的结论.
4.平面上任给5个点,以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比,证明:
λ≥2sin54.
C.甲是乙的充分必要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解:
由于a>
b-1成立时,必有a>
0,b<
0.故由乙可得甲,故选B
S2
设PQ与x轴夹角=θ,|PF|=ρ1,|QF|=ρ2,则|PM|=ρ1,|QN|=ρ2.
则S1=π(PM+QN)∙PQ=π(ρ1+ρ2)2,S2=π|MN|2=π(ρ1+ρ2)2sin2θ.
∴S1≥S2,当且仅当θ=90°
时等号成立.选C.
即arcsinx=2arccos
-π.设arccos
=θ,则cosθ=
,sinθ=
.
∴sin2θ=2sinθcosθ=
.即2θ为锐角.∴2θ-π<
-
.故选D.
⑷在下面四个图形中,已知有一个是方程与(m≠0,n≠0)在同一坐标系中的示意图,它应是()
由y2=-
x,若m、n均为正数,则此抛物线开口向左,且mx2+ny2=1表示椭圆,m<
n,|
|<
1.
此时抛物线与直线y=-x的交点横坐标应>
-1.故否定B、D.
若m、n符号相反,则抛物线开口向右.且mx+ny2=0图形是双曲线,m<
0,n>
0,m=-n.故选A.
原式两端取共轭:
Z-
=
,乘以λ再取共轭:
-||2Z=
W,相加,由||≠1,得方程有唯一解Z=
.选A.
作y=ax的图象,在图象上取点x1,x2,x3,x4,由0<
1,知x1<
x3<
x2,即A、B错,C正确.选C.
由余弦定理,b2-a2=c2-2accosB.故ac=c2-2accosB.即a=c-2acosB.sinA=sin(A+B)-2sinAcosB.=sin(B-A).
∴由b>
a,得B>
A.A=B-A,B=2A,C=4A.
或A+B-A=π(不可能)
∴B=
π.
x1=1时,x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1,共有9解;
x1=0时,x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3,共有9+A
+C
=9+72+84=165解.
∴共有174解.
把这些数mod11得1,4,-3,-1,5,-3,-1,3,-3,-1.
依次累加,得:
1,5,2,1,6,3,2,5,2,1.其中相等的和有7对(3对1,3对2,1对5),这表示原数列中共有7组相邻数之和能被11整除.
ax+bd+cxd=x.取x=0,代入得,bd=0,但d≠0,故b=0
a+2b+2c=3,2a+3b+6c=4.a=5,c=-1.取x=1代入,得d=4.
经验算:
x*y=5x-xy,对于一切x,有x*4=5x-4x=x成立.故d=4.
x2y2-x1y1=67.x1<
y1,x2>
y2.且x1,y1,x2,y2都是不超过10的正整数.
∴x2y2>
67,x2y2=72或81.但x2>
y2,故x2y2=91舍去.∴x2y2=72.x2=9,y2=8.
∴x1y1=72-67=5.x1=1,y1=5,∴
=1985.
设AB=1,则BE=
,A1F=
,故B1E=
,B1F=
,EF=
∴S
·
而△B1EF在平面A1C1上的射影面积=
∴cosθ=
,即所求角=arccos
又解:
设平面B1EF与平面AD1交于FG,(G在AD上),则由平面AD1∥平面BC1,得FG∥B1E.于是,延长GF、D1A1交于P,则P为截面与平面A1C1的公共点,故PB1为所求二面角的棱.AG=A1H=
,A1P=
,PB1=
作GH⊥A1D1于H,则GH⊥平面A1C1.作HK⊥PB1,连GK.则∠GKH为所求二面角的平面角.
∵HK∙PB1=A1B1∙HP.∴HK=
,tan∠GKH=
.即所求角=arctan
证明:
用32个点表示这32个队,如果某两队比赛了一场,则在表示这两个队的点间连一条线.否则就不连线.
由于,这些队比赛场次最多30场,最少0场,共有31种情况,现除A城甲队外还有31个队,这31个队比赛场次互不相同,故这31个队比赛的场次恰好从0到30都有.就在表示每个队的点旁注上这队的比赛场次.
考虑比赛场次为30的队,这个队除自己与同城的队外,与不同城有队都进行了比赛,于是,它只可能与比赛0场的队同城;
再考虑比赛29场的队,这个队除与同城队及比赛0场、1场(只赛1场的队已经与比赛30场的队赛过1场,故不再与其它队比赛)的队不比赛外,与其余各队都比赛,故它与比赛1场的队同城;
依次类推,知比赛k场的队与比赛30-k场的队同城,这样,把各城都配对后,只有比赛15场的队没有与其余的队同城,故比赛15场的队就是A城乙队.即A城乙队比赛了15场.
证明⑴若此五点中有三点共线,例如A、B、C三点共线,不妨设B在A、C之间,则AB与BC必有一较大者.不妨设AB≥BC.则
≥2>
2sin54.
⑵设此五点中无三点共线的情况.
①若此五点的凸包为正五边形.则其五个内角都=108.五点的连线只有两种长度:
正五边形的边长与对角线,而此对角线与边长之比为2sin54.
②若此五点的凸包为凸五边形.则其五个内角中至少有一个内角≥108.设∠EAB≥108,且EA≥AB,则∠AEB≤36,
∴
=
≥
=2cosE≥2cos36=2sin54.
③若此五点的凸包为凸四边形ABCD,点E在其内部,连AC,设点E在△ABC内部,则∠AEB、∠BEC、∠CEA中至少有一个角≥120>
108,由上证可知,结论成立.
④若此五点的凸包为三角形ABC,则形内有两点D、E,则∠ADB、∠BDC、∠CDA中必有一个角≥120,结论成立.
综上可知,结论成立.
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- 1985 全国 高中数学 联赛 试题 解答